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1、20072007 年考研数学二真题年考研数学二真题 一选择题一选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是 （ ） 0xxA. B. C. D.1xe1ln1x x 11x1 cosx（2）函数在区间上的第一类间断点是( )11()tan( ) ()xxeexf x x ee , x A. 0 B. 1 C. D. 22（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上、下半( )yf x3, 2 , 2,3圆周，在区间上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设2
2、,0 , 0,2则下列结论正确的是： （ ） 0( )( ) ,xF xf t dt. . A(3)F3( 2)4F .B(3)F5(2)4F.C( 3)F 3(2)4F .D( 3)F 5( 2)4F (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若存在，则 B. 若存在, 0( )lim xf x x(0)0f 0( )()lim xf xfx x(0)0fC. 若存在, 则 D. 存在, 0( )lim xf x x(0)0f 0( )()lim xf xfx x(0)0f（5）曲线渐近线的条数为 （ ）1ln(1),xyex0 1 2 3. A.B.C.D(6
3、)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则( )f x(0,)“( )0fx nu( )1,2., ,f nn下列结论正确的是 ( )A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 12uu nu12uu nuC. 若，则必收敛 D. 若，则必发散12uu nu12uu nu（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ）( , )f x yA. ,0,0lim,0,00 x yf x yf B. ，且0,00,0lim0 xf xf x00,0,0lim0 yfyf yC. 22,0,0,00,0lim0 x yf xfxy D. 且 0lim,0 (0,0)0,xxxfxf 0lim,0 (
4、0,0)0,yyyfxf （8）设函数连续，则二次积分等于 （ ）( , )f x y1sin2( , )xdxf x y dy . A10arcsin( , )ydyf x y dx.B10arcsin( , )ydyf x y dy.C1arcsin02( , )ydyf x y dx .D1arcsin02( , )ydyf x y dx （9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) 123, （A） （B） ,122331 ,122331 （C） （D）1223312,2,2 1223312,2,2 （10）设矩阵 A=，B=,则 A 于 B， （ ） 211 1 21
5、11 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空题：二填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上_.(11)30arctansinlim xxx x曲线上对应于的点处的法线斜率为_(12)2coscos1 sinxttyt 4t设函数，则_.(13)1 23yx 0ny二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 y_.(14)2 4 32xyyye设是二元可微函数，,则.(15)( , )f u v(,)y xzfx y_zzxyxy设矩阵，则的秩为_.(16)0
6、1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0A 3A三、解答题：三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.（17）设是区间上单调、可导函数，且满足( )f x0,4 ，其中是的反函数，求.( )100cossin( )sincosf xxttft dttdttt1ff( )f x（18） （本题满分 11 分）设 D 是位于曲线 下方、轴上方的无界区域.yxa1,0ax x（）求区域 D 绕轴旋转一周所成旋转体的体积；x( )V a（）当为何值时，最小？并求此最小值.a( )V a（19）求微分方程满足初始
7、条件的特解.2yxyy(1)(1)1yy（20）已知函数具有二阶导数，且1，函数由方程所( )f a(0)f( )yy x11yyxe确定.设求，.(lnsin ),zfyx0xdz dx202xd z dx(21)（本题 11 分）设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，( ), ( )f x g x , a b( , )a b证明：存在使得.( )( ),( )( )f ag af bg b( , )a b，( )( )fg（22） （本题满分 11 分）设二元函数222.1.( , )1,12.xxyf x yxy xy 计算二重积分其中( , ).Df x y d( , )
8、2Dx yxy(23)（本题满分 11 分）设线性方程组1231232 123020(1)40xxxxxaxxxa x 与方程12321(2)xxxa有公共解，求的值及所有公共解 a(24)设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值是 A 的属于1231,2,2, 1(1, 1,1)T的一个特征向量,记其中为 3 阶单位矩阵1534BAAEE验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；( ) I1BB求矩阵.()IIB20072007 年考研数学二真题解析年考研数学二真题解析 一选择题一选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有 一项符合题目要求，
9、把所选项前的字母填在题后括号内）（2）当时，与等价的无穷小量是 （B） 0xxA. B. C. D.1xe1ln1x x 11x1 cosx（2）函数在区间上的第一类间断点是(A)11()tan( ) ()xxeexf x x ee , x A. 0 B. 1 C. D. 22（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上、下半( )yf x3, 2 , 2,3圆周，在区间上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设2,0 , 0,2则下列结论正确的是：（C） 0( )( ) ,xF xf t dt. . A(3)F3( 2)4F .B(3)F5(2)4F.C( 3)F 3(2)4F
10、.D( 3)F 5( 2)4F (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若存在，则 B. 若存在, 0( )lim xf x x(0)0f 0( )()lim xf xfx x(0)0fC. 若存在, 则 D. 存在, 0( )lim xf x x(0)0f 0( )()lim xf xfx x(0)0f（5）曲线渐近线的条数为 （D）1ln(1),xyex0 1 2 3. A.B.C.D(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则( )f x(0,)“( )0fx nu( )1,2., ,f nn下列结论正确的是 (D)A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 1
11、2uu nu12uu nuC. 若，则必收敛 D. 若，则必发散12uu nu12uu nu（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B）( , )f x yA. ,0,0lim,0,00 x yf x yf B. ，且0,00,0lim0 xf xf x00,0,0lim0 yfyf yC. 22,0,0,00,0lim0 x yf xfxy D. 且 0lim,0 (0,0)0,xxxfxf 0lim,0 (0,0)0,yyyfxf （8）设函数连续，则二次积分等于 （B）( , )f x y1sin2( , )xdxf x y dy . A10arcsin( , )ydyf
12、x y dx.B10arcsin( , )ydyf x y dy.C1arcsin02( , )ydyf x y dx .D1arcsin02( , )ydyf x y dx （9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) 123, （A） （B） ,122331 ,122331 （C） （D）1223312,2,2 1223312,2,2 （10）设矩阵 A=，B=,则 A 于 B， （B）211 1 21 11 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 二填空题：二填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11)30arctansinlim xxx x1 6曲线上对应于的点处的法线斜率为（）.(12)2coscos1 sinxttyt 4t21设函数，则.(13)1 23yx 0ny2 3n二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 y_.(14)2 4 32xyyye32 122xxxC eC ee设是二元可微函数，,则(15)( , )f u v(,)y xzfx y.1222(,)(,)zzyy xxy xxyffx
