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1、定积分不等式证明方法定积分不等式证明方法 一一 柯西不等式方法柯西不等式方法 利用柯西不等式证明的问题经常含有特殊的形态，比如涉及两个 积分项相乘，或者含有函数平方、平方根的积分。柯西不等式柯西不等式 设在上连续，则有( ), ( )f x g x , a b222( ) ( )d ( )d( )dbbbaaaf x g xxfxxgxx等号成立的充分必要条件是存在常数使得或者。注意有些问k( )( )f xkg x( )( )g xkf x题（不一定在不等式证明中）会涉及到等号成立的条件。例例1 1 设在上连续，证明。( )f x , a b22( )d ()( )dbbaaf xxbafx
2、x证明证明 在柯西不等式中设，即证。( )1g x 例例2 2 设在上连续，且恒正，证明( )f x , a b21( )dd()( )bbaaf xxxbaf x证明证明 在柯西不等式中设，取函数，可证。( )1g x 1( ),( )f xf x例例3 3 设在上具有连续导数，如果，求证( )f x , ()a bba( )( )0f af b12 222 2()( ) d( )d(1)nnnbbnnaambafxxxfx xn其中为在上最小值，。m2( )fx , a b0n 证明证明 在柯西不等式中，分别设函数为，有( ),( )nnfx x fx22 22211( ) d( )d(
3、)( )dd( )1bbbbnnnnnnaaaafxxxfx xx fx fx xxfxn222 11111 221( )( )d( )d(1)(1)bbnnnnnnaabnx fxnfx xxfx xxann22(1)2(1)22 11 222( )()()( )d(1)(1)(1)nnnnnnbnnanfbambafxxnnn 等式中，这是由推广积分中值定理得到： , a b设设是是上恒大于等于零的连续函数，如果上恒大于等于零的连续函数，如果在在上连续，则存在上连续，则存在( )f x , a b( )g x , a b使得使得 , a b。( ) ( )d( )( )dbbaaf x g
4、 xxgf xx例例4 4 在上具有连续导数，如果，求证( )f x , ()a bba( )0f a 2221( )d()( ) d2bbaafx xbafxx证明证明 因为，所以( )0f a 2 2222( )( ) 1 dd( ) d()( ) dxxxxaaaafxftttfttxaftt由积分可加性，有222( )()( ) d()( ) dxbaafxxafttxaftt两边取定积分，得 22( )d()( ) d dbbbaaafxxxafttx。2 22()( ) d()d( ) d2bbbaaabafttxa xftt例例5 5 设在上连续，且，证明( )f x0,11(
5、)f xa。211001(1)1( )dd( )4af xxxf xa证明证明 左边不等式由柯西不等式得。1 21111000012( )dd( )dd( )( )aaf xxxf xxxf xf x101( ( )( ( ) 1)d(1)( )f xaf xxaf x由条件，有，所以1( )f xa( ( )( ( ) 1)0f xaf x1 2110012( )dd1( )af xxxaf x得。211001(1)( )dd( )4af xxxf xa例例6 6 设为上连续周期函数，周期为1，如果满足：( )f x(,) ( )f x，且，求证0( )1f x10( )d1f xx 。27
6、13000( )d( )d( )d11xxxf ttf ttf tt以及取等号的条件。证明证明 由条件，有0( )1f x2713000( )d( )d( )d2713xxxf ttf ttf ttxxx利用离散柯西不等式，有23127131(13)2 (27)322xxxxxx 。231(12)(13)(27)11322xxx且取等式充分必要条件是：，31132722xxx即。所以6x 。2713000( )d( )d( )d11xxxf ttf ttf tt特别当时，有6x 2713362000000( )d( )d( )d( )d( )d( )dxxxf ttf ttf ttf ttf
7、ttf tt根据周期性，以及，有10( )d1f xx ，36210000( )d( )d( )d11( )d11f ttf ttf ttf tt所以取等号充分必要条件是。6x 注注 本题并不是利用连续型柯西不等式方法证明结论，而是利用离散型柯西不等式方法 证明结论，但问题是在利用柯西不等式时采用了“一般人”想不到的“技巧”，这种技巧 并不明显。确实柯西不等式形式上是简洁的，但对于什么样不等式，我们会想到采用柯西 不等式来证明呢？这才是问题的所在，回答它并不容易。当然这地方可以避免使用离散型柯西不等式证明：，而是利用导数方法证明。271311xxx二二 常数变异法常数变异法 将区间某端点看成变
8、量（或者转换为变量），然后利用上限函数求导。 此类定积分不等式问题中，通常含有某些函数满足连续、单调条件，此时可以通过将上限 或下限涉及到的常数符号，在整个不等式中换成与变量积分变量无关的变量，然后作辅助 函数，再通过求导对辅助函数的单调性进行研究。例1设在上连续，且单调增加，证明( )f x , a b( )d( )d2bbaaabtf ttf tt分析分析 将定积分不等式视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明，将要证的不等式两端做差，并将上限换成，作辅助函数如下bx( )F x( )( )d( )d2xxaaaxF xtf ttf tt如果证明，即证得原命题。( )0F b
9、证明证明 对求导，得( )F x11( )( )( )d( )( )( )d2222xxaaaxxaF xf x xf ttf xf xf tt111( )d( )d( ( )( )d222xxxaaaf xtf ttf xf tt由于在上单调增加，且因为，所以有，再根据定积分( )f x , a b , ta x( )( )0f xf t性质，有。由此知在上单调增加，则，得( )0F x ( )F x , a b( )( )0F xF a，得证。( )0F b 例例2 2 设在上连续，且单调增加，证明 存在使得( )f x , a b(0)0f2ab( )d( )dbbaatf ttf tt
10、分析分析 假设结论成立，则有，而由上例知道，此不等式成立。( )d( )d2bbaaabtf ttf tt再由，且单调增加，知在上满足，则由推广积分中值(0)0f( )f x( )f x , a b( )0f x 定理有使得，如此得 , a b( )d( )dbbaatf ttf tt( )d( )d( )d2bbbaaaabtf ttf ttf tt即可证明结论。例例3 3 设在上有连续导数，且求证( )f x , a b20( ),( )01fxf an2 21( )d( )dbbnnaafxxfxx证明证明 设辅助函数2 21( )( )d( )dxxnnaaF xfttftt则。211
11、( )2( )( )d( )( )2( )d( )xxnnnnnnaaF xfxfttfxfxfttfx设，则1( )2( )d( )xnnaG xfttfx1( )2( )(1)( )( )2( )(1( )2nnnnG xfxnfx fxfxfx因为，所以严格单调递增，且，所以( )0,( )0f afx( )f x( )( )0,( , f xf axa b。又因为，所以得，由此得：( )0,( , nfxxa b11( )02nfx( )0G x ( )( )0,( , G xG axa b所以有，得，即得( )0, , F xxa b( )( )0F bF a。2 21( )d( )
12、dbbnnaafxxfxx注注 当时，此题为94北方交通大学数学竞赛试题，美国数学竞赛试题。2n 例例 4 4 设在上连续，如果对于任意在上有一阶连续导数，且在( ), ( )f x g x , a b , a b点取值为零的函数，都满足b( )h x， ( ) ( )( ) ( )d0baf x h xg x h xx求证 可导，且。( )g x( )( )g xf x证明证明 设，则有( )( )dxaF xf tt( ) ( )d( )d ( )( ) ( )( ) ( )d( ) ( )dbbbbaaaabf x h xxh xF xF x h xF x h xxF x h xxa 由
13、条件得 ( )( ) ( )d0baF xg x h xx下证，在上与恒等。 , a b( )F x( )g x采用反证法，如果存在，使得（同理可证情况）0 , xa b00()()F xg x00()()F xg x，则由连续性有，存在，使得在(或者，000(,) , xxa b00,) , x xa b或者，下面仅对第一种情况说明)且在此区间上。构造函00(, , xxa b( )( )F xg x数满足：在取常值，在上取零，在内单调递增，( )h x0 ,a x0, xb00(,)xx则在上有。由此由定积分性质得 , a b( )0, ( )0h xh b ( )( ) ( )d0baF
14、 xg x h xx矛盾。所以得在上与恒等，即证得题中命题。 , a b( )F x( )g x三三 微分中值定理方法微分中值定理方法 当题目条件含有一阶以上连续导数时，可考虑微分中值定理证明 方法。例例1 1（前苏联竞赛题）设在上有一阶连续导数，求证( )f x , a b( )( )0f af b2()( ) d4babaf xxM其中为在上的最大值。M|( )|fx , a b证明证明 利用拉格朗日中值定理得：11( )( )( )( )(),( , )f xf xf afxaa x22( )( )( )()(),( , )f xf xf bfxbx b所以有|( )|(),|( )|()f xM xaf xM bx则由定积分性质得22( ) d( ) d( ) da bbba baaf xxf xxf xx。2 22()( - )d()d4a bba babaM x axM bxxM习题习题 1. 设在上有一阶连续导数，求证( )f x , a b( )0f a 2()(
