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1、随机模拟方法在用传统方法难以解决的问题中，某些问题含有不确定的随机因素，分析起来 通常比确定性的问题困难。有的模型难做定量分析，得不到解析的结果或者是有解 析结果，但计算代价太大以至不能使用，在这种情况下，可以考虑随机模拟的方法 即 Monte Carlo 方法。该方法是一类以概率统计理论为指导的非常重要的数值计算 方法，也是一种用于解决数值问题的基于计算机的统计抽样方法。目前，随机模拟 方法已广泛应用于诸如生物信息学、统计物理学、计算机科学、材料科学、金融学 和经济学等领域。基本知识基本知识基本思想 为了求解物理、数学、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率 或者随机过程，使它的
2、参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或者抽样 实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。而解的精确度可用估 计值的标准误差来表示。随机模拟方法是一种独具风格的数值计算方法，其优点大 致有如下三方面：（A）方法的程序结构简单；（B）算法的概率性和问题的维数无 关；（C）方法的适应强。随机数和伪随机数 用 Monte Carlo 方法模拟某过程的时候，需要产生各种概率分布的随机变量。最基本、最简单、最重要的随机变量是在上均匀分布的随机变量。为了方便，通常0,1把上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都可以0,1借助于随机数来实现，因此，随机数是随机抽样的基
3、本工具。在计算机上用数学的 方法产生随机数是目前广泛使用的方法，它的特点是占用内存少、产生速度快、又 便于重复产生，比如说平方取中法、移位指令加法、同余法等等。然而这种随机数 是根据确定的递推公式求得的，存在着周期现象，初值确定后所有随机的数便被唯 一确定下来，不满足真正随机数的要求，所以通常称数学方法产生的随机数为伪随 机数。在实际应用中，只要这些伪随机数序列通过一系列的统计检验，还是可以把 它当称“真正”的随机数来使用。产生随机数的命令产生随机数的命令在 Matlab 软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，相关命令如下：(1)产生阶均匀分布的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m,
4、n)；m n , a b( , )U a b产生一个均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)； , a b(2)产生阶均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)；m n0,1产生一个均匀分布的随机数：rand；0,1(3) 产生阶均值为，方差为的正态分布的随机数矩阵：normrnd (,m, m n2, n)； (4) 产生阶期望值为的指数分布的随机数矩阵：exprnd(,m,n)m n若连续型随机变量的概率密度函数为,X0( )00xexf xx其中为常数，则称服从参数为的指数分布。排队服务系统中顾客到0X达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。指数分布 在排队
5、论、可靠性分析中有广泛应用。注：参数为的指数分布的期望值为，故在 MATLAB 中产生参数为的指数分1 布的命令为：exprnd()1/（5）产生阶参数为的泊松分布的随机数矩阵：poissrnd(,m,n)m n注：参数为的泊松分布的期望值为。应用示例应用示例例一：排队论中的模拟例一：排队论中的模拟排队论主要研究随机服务系统的工作过程。在排队系统中，服务对象的到达时 间和服务时间都是随机的。排队论通过对每个个别的随机服务现象的统计研究，找 出反映这些随机现象平均特性的规律，从而为设计新的服务系统和改进现有服务系 统的工作提供依据。对于排队服务系统, 顾客常常注意排队的人是否太多, 等候的 时间
6、是否长, 而服务员则关心他空闲的时间是否太短。 于是人们常用排队的长度、 等待的时间及服务利用率等指标来衡量系统的性能。单服务员的排队模型： 在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，售货员逐个地接待顾客。当到来的顾客 较多时，一部分顾客便须排队等待，被接待后的顾客便离开商店。 设：(1)顾客到来间隔时间服从参数为 0.1 的指数分布； (2)对顾客的服务时间服从4,15上的均匀分布；(3)排队按先到先服务规则，队长无限制。 假定一个工作日为 8 小时，时间以分钟为单位。要求： 1 模拟一个工作日内完成服务的个数及顾客平均等待时间 。t2 模拟 100 个工作日，求出平均每日完成服务的个数及每日顾客
7、的平均等待时间。假设： （1）顾客源是无穷的；（2）排队的长度没有限制； （3）到达系统的顾客按先后顺序依次进入服务， 即“先到先服务” 。符号说明 ：总等待时间； ：第 个顾客的到达时刻；wici：第 个顾客开始服务时刻； ：第 个顾客服务结束时刻；ibiiei：第 个顾客与第个顾客之间到达的间隔时间；ixi1i：对第 个顾客的服务时间。iyi显然，如下关系式成立：；1iiiccxiiieby1max( ,)iiibc e2e1c2c3c4c5c2b1e5b4e3e模拟框图：4b3b初始化：令11,0,0iiew产生间隔时间随机数参数为 0.1 的指数分布ix:,iiiicx bx产生服务时
8、间随机数4, 15的均匀分布iy:iiieby累计等待时间：iiwwbc准备下一次服务：1ii 产生间隔时间随机数参数为 0.1 的指数分布ix:1iiiccx确定开始服务时间：1max( ,)iiibc e480?ib 1;/iitw i 输出结果：完成服务个数： mi平均等待时间：w停 止YN图 8-1 程序框图求解经过编写程序计算，模拟出一个工作日内完成服务的顾客数人，平均34m 等待时间约分钟。注意每次运行的结果会不一样，甚至结果的偏差较大。42t 类似地，模拟出 100 个工作日内完成服务的顾客数人，平均等待时间约43m 分钟。注意每次运行的结果会不一样，但是结果的偏差较小，总的来说
9、，数27t 值结果比较稳定。例二：零件的参数设计例二：零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。 零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数 的平均值，容差则给出了参数偏离标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量， 则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的 3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两个方面因素： 当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损 失，偏离越大，损失越大。 零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试
10、通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作）由 7 个零件的参数（记作）决定，经验公y127,x xxL式为：7616. 1242356. 024 85. 01235136. 0162. 2142.174xxxx xxxxx xxy 的目标值（记作）为 1.50。当偏离 0.1 时，产品为次品，质量损失为y0yy0y1000 元；当当偏离 0.3 时，产品为废品，质量损失为 9000 元。y0y零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为 A、B、C 三个等级，用与标 定值的相对值表示，A 等为 1%，B 等为 5%，C 等为 10%。7 个零件参数标定 值的容许范
11、围及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号 / 表示无此等级零件） ：表 8-1 零件参数的相关数据标定值容许范围C 等B 等A 等1x0.075, 0.125/25/2x0.225, 0.3752050/3x0.075, 0.12520502004x0.075, 0.125501005005x1.125, 1.87550/6x12, 2010251007x0.5625, 0.935/25100现成批生产，每批产量 1000 个。在原设计中，7 个零件参数的标定值为：= 1x0.1，= 0.3，= 0.1，= 0.1，= 1.5，= 16， = 0.75；容差均取最便宜的2x3x4x5x6x
12、7x等级。请你综合考虑偏离造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定y0y值和容差） ，并与原设计比较，总费用降低了多少。（1） 关于零件参数的假设 由于零件在加工制造过程中存在许多随机因素，因此，由中心极限定理知道零 件的参数可以看成是服从正态分布的随机变量。设七个零件的加工是独立的，则七 个零件参数可以视作是相互独立的正态随机变量。即，2 0(,),1,2,.,7iiixN xi:其中，是第 个零件参数的标定值，也就是随机变量的均值。0ixiixix另一方面，零件参数的容差的选择均取最便宜的等级（C 等：10%） ，又根r 据概率统计中的原则，即容差通常是均方差的 3 倍，因此，3容
13、差=，03iiix r所以，。0/3,1,2,.,7iiix ri（2） 产品参数的分布y为求产品质量的损失费用，必须求出产品的次品率和废品率，因而必须求出产品参数的分布，设由七个零件的参数表示的经验公式为：yy，127( ,.,)yf x xx从理论上，利用的分布函数以及函数的形式，可推导出的近似分布。此处，ixfy采用随机模拟的方法来假设、验证的分布。y步骤一：利用计算机命令产生组相互独立的正态分布随机数n， 。127(,.,)jjjjxxxx1,2,.,jn步骤二：由得到的一组样本值，画出频率直方图（如图） ，127(,.,)jjjjyf xxxy用分布拟合的检验法检验服从正态分布的假设
14、。2y1.41.61.822.22.42.6050100150200250300350图 8-2 产品参数的直方图y（3） 模型的建立显然，目标函数应该是产品的总费用最小，而产品总费用=零件总成本+质量损 失费用，因为问题带有随机因素，所以费用应该选择期望值。引入：第 个参数取第个容差等级时所需的成本，。ijcij1,2,.,7i 1,2,3j ：0-1 变量，如果第 个参数取第个容差等级则取 1，否则取 0。ijdij根据（2）的分析结果，概率密度函数，利2( ,)yyN y%:22()21( )2yy yyf ye %用一般正态分布和标准正态分布的关系，所以 正品的概率,1.5 0.111
15、.5 0.1( )pf y dy类似地，次品的概率1.41.821.21.6( )( )pf y dyf y dy,1.41.21.81.6()()()()yyyyyyyy %表示标准正态分布的分布函数。( ) g废品的概率1.231.8( )( )pf y dyf y dy.1.81.21()()yyyy %因此目标函数为.7323 111000 (10009000)ijij ijc dpp问题就是要使目标函数最小的零件参数的标定值和容差等级，则问题的数学0ixijd模型即为min7323 111000 (10009000)ijij ijc dpp，. .stiiiaxb，311ij jd0,1,1,2,.,7ijdi其中是零件参数标定值的下界和上界，在问题中已经给出。,iia b（4） 模型的求解上述模型有较多的算法求解，在这我们仍然采用随机模拟的方法来求解。 步骤一：枚举种容差等级组合；1081 2 3 3 1 3 2 步骤二：在每种组合下，产生上均匀分布的随机数，并形成一个初始的可 ,iia bix行点，127(,.,)iii
