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1、1题根研究题根研究 数列数列 向递推寻根（向递推寻根（1 1） 一、数列与递推一、数列与递推 问：数列是函数吗？ 答：定义在自然数集上的函数，函数式为 an = f (n) 问：有何实际意义？ 答：数列的每个函数值，都按自然数序号排了座位，前后间的邻居关系非常清楚，知 道了前面的一个数，就可知道它的后面数是谁. 因此数列有“递推关系”：an+1 = f (an ).问：一般函数有这关系吗？答：没有！如一次函数 y = x，你知道后的紧跟数是谁！二、等差与递比数列都是递推数列二、等差与递比数列都是递推数列 1 1、等差数列是递推数列、等差数列是递推数列【定义定义】 一个数列an，如果从它的第 2
2、 项开始，每项与它的前面一项的差等于一个 常数d ，即 a2 - a1 = a3 - a2 = =an+1 - an =d 则这个数列叫等差数列. 【递推式递推式】 由等差数列的定义，可得等差数列的递推式2 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 在等差数列an的递推式中依次令k=1，2，n 得n+1 元n+1 列方程组两边相边，消去a1，a2，an 得 an+1= a + nd 或 an= a + (n -1)d 3 3、等比数列是递推数列、等比数列是递推数列 【定义定义】 一个数列an，如果从它的第 2 项开始，每项与它前面一项的比等于一个常 数q ，即则这个数列叫等比数列. 【递推式
3、递推式】 由等比数列的定义，可得等比数列的递推式4 4、等比数列的通项公式、等比数列的通项公式在等比数列的递推式中2依次令k=1，2，n 得n+1 元 n+1 列方程组两边相乘，消去b1，b2，bn，得 bn+1 = bqn 或 bn= bq n-1 三、一次式递推三、一次式递推a an+n+1 1=ka=kan n+m+m 研究函数式时，我们是从简单的正比例函数、一次函数开始的.在这种启发下，我们想 到了递推式中的“一次式”： an+1 = kan + m （）非常凑巧，等差、等比数列正好是这种“一次式”的特殊情况.在递推式（）中：（1）k = 1 时，得等差数列 an+1 =an+m（2）
4、m = 0 时，得等比数列 an+1 =kan如果k1（当然也不为 0） ，m 0 呢？ 【例例 1】1】 已知数列an中，a1=2，an+1=2an -1 求这个数列的通项公式和前n项和. 【分析分析】 递推公式是一个典型的“一次式” ，我们考虑将其转化为等差或等比数列求解.【解答解答】 an+1 = 2an-1an+1-1=2(an -1) 令 bn = an -1得 bn+1 = 2bn bn=2n - 1 an = bn+1 = 2n- 1 +1 （下略） 【点评点评】 一次递推数列 an+1 = 2an-1 通过转换，bn = an - 1 化为等比数列 bn+1 = 2bn 【例例
5、 2】2】 已知m0，k0，1，a1=a (0)，an+1=kan+m，求数列an的通项公式. 【分析分析】 按例 1 的经验，转化到等比数列，关键在常数c匹配.【解答解答】 设(an+1-c) = k(an-c)令 c kc =m，得令 bn =an c即 四、等和数列与等积数列四、等和数列与等积数列 我们可以类比等差等比数列定义等和等积数列.【定义定义】 等和数列 等积数列 【递推式递推式】 等和数列 等积数列 【说明说明】 等和数列是一次递推数列an+1 = kan+m 在k= -1 时的特殊形式. 等积数列是反比例递推数列.【例例 1】1】 已知数列首项a1=2，若an+a n+1=3
6、，求数列通项公式.3【解答解答】 由 a1+a2 = a2+a3 = an+an+1得 a1 = a3 = =a2m -1=2a2 = a4 = =a2m = 1故数列的通项公式为 【说明说明】 等和数列一般形式为 a1=a，an + an+1=m通项公式为 等和数列一般为摆动数列，只当 m = 2a 时，为常数列.【例例 2】2】 已知数列首项 b1 =2【解答解答】 由b1b2 = b2b3 =bnbn+1得 b1 = b3 = =b2m -1=2 b2 = b4 = =b2m =故数列的通项公式为 【说明说明】 等积数列一般形式为 b1=b bn bn+1=p通项公式为 等积数列一般为摆
7、动数列，只当 p = b2时，为常数列.题根研究题根研究 数列数列 向递推寻根（向递推寻根（2 2） 五、变差数列与迭代法五、变差数列与迭代法在等差数列an中 ，如果让公差d（常数）变动起来，由d变为dn，得数列 我们可以称其为“变差”数列. 当变差dn 为等差或等比数列时，我们可以将其转化 为等差或等比数列求通项公式. 【例题例题】 已知 a1 =1，an+1=an + 2n +n 求通项公式.【分析分析】 这是一个变差数列，“变差” dn = 2n + n是一个等比数列与等差数列的和. 【解答解答】 在差式 an+1-an= 2n + n 中，对n进行“迭代”：依次令n=1，2，k，得方程
8、组 两边相加，消去a1， a2， ， ak ，得a k+1=1+(21 + 22 +2k )+(1+2+k)得通项公式 4“迭代法”求变差数列通项公式. 【题设题设】 设有变差数列 a1=a，an+1 = an+dn其中 d1+ d2 +dn = D(n)【迭代迭代】 在 an+1 - an= dn 中，依次令n=1，2，k，得k元k列方程组【解解a ak k+1+1】 方程组两边相加，消去 a1，a2，ak 解得 ak+1 =a +(d1 + d2 + + dk ) = a + D(k) 【求求a an n】 由此得 an =a+D (n-1)为所求通项公式.六、由六、由a an+n+1 1
9、= =f f ( (a an n ) ) 到到F F ( (a an n，a an+n+1 1) )数列的递推式，如等差数列的递推式 an+1 = an+d = f (an) 是用an的函数式来表示an+1 其实，函数式只为方程式的一种特殊形式，将等差数列的递推式改写为 an+1 an d =F (an+1，an ) = 0 则是一个关于an和an+1的方程式. 方程式表示递推关系，则更有其普遍意义.【例题例题】 数列an中a1=1，且有 2nan+1+anan+1=2nan，求通项公式. 【分析分析】 递推式是关于an和an+1的方程，“参数”2n还是一个变数，首先可进行求 函数an+1=
10、f (an)的尝试. 【解析解析】 由方程式 2nan+1 + an a n+1= 2n an 得用迭代法可以解得 七、复合数列与换元法七、复合数列与换元法 复合数列相对基本数列而言. 中学的基本数列有 2 个，一是等差数列，二是等比数列， 其他数列可看作是两种基本（之一）的复合数列. 复合数列的解法是通过转换 换元化为这两种基本数列（之一）来解决. 一次递推数列 an+1 c = kan + m 可变形为 通过换元 bn = an c 而转化为等比数列 bn+1 = kbn 而求解. 一次递推数列再延伸一步，让常数m变起来 ak+1 = kan + mn 当 mn具备一定条件时，也可通过换元
11、法转化为一次递推数列an+1=kan + mn【例题例题】 数列an中a1=2，且有an+1 =4an+2n+1，求通项公式. 【分析分析】 这就是一次递推数列的变m形式： an+1 = kan + mn，其中mn = 2 n+1是等比数列 【解析解析】 由方程式 2nan+1 + an a n+1= 2n an 得5令 则原数列转化为 bn+1 = 2bn + 1 （一次递推数列） bn= 2n1 an=2n bn+1=24n -2n 【说明说明】 这里的一次递推数列的变 m 形式an+1 = 4an + 2n+1转到一次递推数列bn+1 = 2an +1八、含八、含S Sn n的递推式的递
12、推式 F F( (a an n， a an n+1+1， S Sn n) ) = = 0 0 数列求和公式与通项公式有如下关系这实际上是一个关于an 与Sn 的递推式.如等差数列 在含 Sn的递推式中，作出 Sn+1 Sn = an代换即得关于an，an+1的递推式.【例题例题】 数列an前n项和设为，求数列通项公式. 【分析分析】 这是一个含有Sn的递推式，先利用它求a1.【解答解答】 在中令 n=1，由S1 = a1 得 又 an+1 = Sn+1 - Sn（问题转化为前面问题 下略） 【说明说明】 含Sn的递推式，通过an+1 = Sn+1 - Sn转化为不含Sn的式子.九、递推式与数学
13、归纳法九、递推式与数学归纳法对等差数列，a1=a，an+1 = an+d 求通项，用了迭代法求得 an+1= a1+nd 其实，这种不完全归纳法得出的an=a1+(n-1)d只是一个“猜想”，只是因其直观而将 证明过程省去了. 为什么可省去呢？因为在用数学归纳法时，在由k到k+1 的过程正好是用它的递推式. 当关系“不直观时”，对“猜想”得到的通项公式还得进行严格的数学归纳的证明. 特别地，直接利用递推式，用数学归纳法证明数列某性质.【例题例题】 数列an中，a1=1，且有an = a1+2a2 +3a3+(n-1)an-1(n2)，求数列通项. 【探试探试】 a2 = a1 = 1 a3 =
14、 a1 + 2a2 = 3 a4 = a1 + 2a2 + 3a3 = 12a5 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 = 60 【猜想猜想】 a3 = 3a2 ，a4 = 4a3，a5=5a4，推猜通项为an =6【证明证明】 （1）n =2 时，a2 = 命题真（2）假设n = k 时，命题真，即有 两边同时加上kak ，则有 综合（1），（2），对一切n2，有【例题例题】 数列an中，a1=1，且有an = a1+2a2 +3a3+(n-1)an-1(n2)，求数列通项. 【别解别解】 an = a1+2a2 +(n-1) an-1（n2）两边加上nan 得：an + nan= an+1，an = nan-1 依次令n = 2，3，n， 得两边相乘，消去a2，a3，an-1 得 an = n(n 1)431=通项公式为 【点评点评】 另解用迭代法求an，实为一种不完全归纳法，在关系直观时，此法也有效. 题根研究题根研究 函数的周期性函数的周期性 一、正弦函数的周期一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函 数 y = ax3+b
