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1、1题根研究题根研究 数列数列 向递推寻根(向递推寻根(1 1) 一、数列与递推一、数列与递推 问:数列是函数吗? 答:定义在自然数集上的函数,函数式为 an = f (n) 问:有何实际意义? 答:数列的每个函数值,都按自然数序号排了座位,前后间的邻居关系非常清楚,知 道了前面的一个数,就可知道它的后面数是谁. 因此数列有“递推关系”:an+1 = f (an ).问:一般函数有这关系吗?答:没有!如一次函数 y = x,你知道后的紧跟数是谁!二、等差与递比数列都是递推数列二、等差与递比数列都是递推数列 1 1、等差数列是递推数列、等差数列是递推数列【定义定义】 一个数列an,如果从它的第 2
2、 项开始,每项与它的前面一项的差等于一个 常数d ,即 a2 - a1 = a3 - a2 = =an+1 - an =d 则这个数列叫等差数列. 【递推式递推式】 由等差数列的定义,可得等差数列的递推式2 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 在等差数列an的递推式中依次令k=1,2,n 得n+1 元n+1 列方程组两边相边,消去a1,a2,an 得 an+1= a + nd 或 an= a + (n -1)d 3 3、等比数列是递推数列、等比数列是递推数列 【定义定义】 一个数列an,如果从它的第 2 项开始,每项与它前面一项的比等于一个常 数q ,即则这个数列叫等比数列. 【递推式
3、递推式】 由等比数列的定义,可得等比数列的递推式4 4、等比数列的通项公式、等比数列的通项公式在等比数列的递推式中2依次令k=1,2,n 得n+1 元 n+1 列方程组两边相乘,消去b1,b2,bn,得 bn+1 = bqn 或 bn= bq n-1 三、一次式递推三、一次式递推a an+n+1 1=ka=kan n+m+m 研究函数式时,我们是从简单的正比例函数、一次函数开始的.在这种启发下,我们想 到了递推式中的“一次式”: an+1 = kan + m ()非常凑巧,等差、等比数列正好是这种“一次式”的特殊情况.在递推式()中:(1)k = 1 时,得等差数列 an+1 =an+m(2)
4、m = 0 时,得等比数列 an+1 =kan如果k1(当然也不为 0) ,m 0 呢? 【例例 1】1】 已知数列an中,a1=2,an+1=2an -1 求这个数列的通项公式和前n项和. 【分析分析】 递推公式是一个典型的“一次式” ,我们考虑将其转化为等差或等比数列求解.【解答解答】 an+1 = 2an-1an+1-1=2(an -1) 令 bn = an -1得 bn+1 = 2bn bn=2n - 1 an = bn+1 = 2n- 1 +1 (下略) 【点评点评】 一次递推数列 an+1 = 2an-1 通过转换,bn = an - 1 化为等比数列 bn+1 = 2bn 【例例
5、 2】2】 已知m0,k0,1,a1=a (0),an+1=kan+m,求数列an的通项公式. 【分析分析】 按例 1 的经验,转化到等比数列,关键在常数c匹配.【解答解答】 设(an+1-c) = k(an-c)令 c kc =m,得令 bn =an c即 四、等和数列与等积数列四、等和数列与等积数列 我们可以类比等差等比数列定义等和等积数列.【定义定义】 等和数列 等积数列 【递推式递推式】 等和数列 等积数列 【说明说明】 等和数列是一次递推数列an+1 = kan+m 在k= -1 时的特殊形式. 等积数列是反比例递推数列.【例例 1】1】 已知数列首项a1=2,若an+a n+1=3
6、,求数列通项公式.3【解答解答】 由 a1+a2 = a2+a3 = an+an+1得 a1 = a3 = =a2m -1=2a2 = a4 = =a2m = 1故数列的通项公式为 【说明说明】 等和数列一般形式为 a1=a,an + an+1=m通项公式为 等和数列一般为摆动数列,只当 m = 2a 时,为常数列.【例例 2】2】 已知数列首项 b1 =2【解答解答】 由b1b2 = b2b3 =bnbn+1得 b1 = b3 = =b2m -1=2 b2 = b4 = =b2m =故数列的通项公式为 【说明说明】 等积数列一般形式为 b1=b bn bn+1=p通项公式为 等积数列一般为摆
7、动数列,只当 p = b2时,为常数列.题根研究题根研究 数列数列 向递推寻根(向递推寻根(2 2) 五、变差数列与迭代法五、变差数列与迭代法在等差数列an中 ,如果让公差d(常数)变动起来,由d变为dn,得数列 我们可以称其为“变差”数列. 当变差dn 为等差或等比数列时,我们可以将其转化 为等差或等比数列求通项公式. 【例题例题】 已知 a1 =1,an+1=an + 2n +n 求通项公式.【分析分析】 这是一个变差数列,“变差” dn = 2n + n是一个等比数列与等差数列的和. 【解答解答】 在差式 an+1-an= 2n + n 中,对n进行“迭代”:依次令n=1,2,k,得方程
8、组 两边相加,消去a1, a2, , ak ,得a k+1=1+(21 + 22 +2k )+(1+2+k)得通项公式 4“迭代法”求变差数列通项公式. 【题设题设】 设有变差数列 a1=a,an+1 = an+dn其中 d1+ d2 +dn = D(n)【迭代迭代】 在 an+1 - an= dn 中,依次令n=1,2,k,得k元k列方程组【解解a ak k+1+1】 方程组两边相加,消去 a1,a2,ak 解得 ak+1 =a +(d1 + d2 + + dk ) = a + D(k) 【求求a an n】 由此得 an =a+D (n-1)为所求通项公式.六、由六、由a an+n+1 1
9、= =f f ( (a an n ) ) 到到F F ( (a an n,a an+n+1 1) )数列的递推式,如等差数列的递推式 an+1 = an+d = f (an) 是用an的函数式来表示an+1 其实,函数式只为方程式的一种特殊形式,将等差数列的递推式改写为 an+1 an d =F (an+1,an ) = 0 则是一个关于an和an+1的方程式. 方程式表示递推关系,则更有其普遍意义.【例题例题】 数列an中a1=1,且有 2nan+1+anan+1=2nan,求通项公式. 【分析分析】 递推式是关于an和an+1的方程,“参数”2n还是一个变数,首先可进行求 函数an+1=
10、f (an)的尝试. 【解析解析】 由方程式 2nan+1 + an a n+1= 2n an 得用迭代法可以解得 七、复合数列与换元法七、复合数列与换元法 复合数列相对基本数列而言. 中学的基本数列有 2 个,一是等差数列,二是等比数列, 其他数列可看作是两种基本(之一)的复合数列. 复合数列的解法是通过转换 换元化为这两种基本数列(之一)来解决. 一次递推数列 an+1 c = kan + m 可变形为 通过换元 bn = an c 而转化为等比数列 bn+1 = kbn 而求解. 一次递推数列再延伸一步,让常数m变起来 ak+1 = kan + mn 当 mn具备一定条件时,也可通过换元
11、法转化为一次递推数列an+1=kan + mn【例题例题】 数列an中a1=2,且有an+1 =4an+2n+1,求通项公式. 【分析分析】 这就是一次递推数列的变m形式: an+1 = kan + mn,其中mn = 2 n+1是等比数列 【解析解析】 由方程式 2nan+1 + an a n+1= 2n an 得5令 则原数列转化为 bn+1 = 2bn + 1 (一次递推数列) bn= 2n1 an=2n bn+1=24n -2n 【说明说明】 这里的一次递推数列的变 m 形式an+1 = 4an + 2n+1转到一次递推数列bn+1 = 2an +1八、含八、含S Sn n的递推式的递
12、推式 F F( (a an n, a an n+1+1, S Sn n) ) = = 0 0 数列求和公式与通项公式有如下关系这实际上是一个关于an 与Sn 的递推式.如等差数列 在含 Sn的递推式中,作出 Sn+1 Sn = an代换即得关于an,an+1的递推式.【例题例题】 数列an前n项和设为,求数列通项公式. 【分析分析】 这是一个含有Sn的递推式,先利用它求a1.【解答解答】 在中令 n=1,由S1 = a1 得 又 an+1 = Sn+1 - Sn(问题转化为前面问题 下略) 【说明说明】 含Sn的递推式,通过an+1 = Sn+1 - Sn转化为不含Sn的式子.九、递推式与数学
13、归纳法九、递推式与数学归纳法对等差数列,a1=a,an+1 = an+d 求通项,用了迭代法求得 an+1= a1+nd 其实,这种不完全归纳法得出的an=a1+(n-1)d只是一个“猜想”,只是因其直观而将 证明过程省去了. 为什么可省去呢?因为在用数学归纳法时,在由k到k+1 的过程正好是用它的递推式. 当关系“不直观时”,对“猜想”得到的通项公式还得进行严格的数学归纳的证明. 特别地,直接利用递推式,用数学归纳法证明数列某性质.【例题例题】 数列an中,a1=1,且有an = a1+2a2 +3a3+(n-1)an-1(n2),求数列通项. 【探试探试】 a2 = a1 = 1 a3 =
14、 a1 + 2a2 = 3 a4 = a1 + 2a2 + 3a3 = 12a5 = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 = 60 【猜想猜想】 a3 = 3a2 ,a4 = 4a3,a5=5a4,推猜通项为an =6【证明证明】 (1)n =2 时,a2 = 命题真(2)假设n = k 时,命题真,即有 两边同时加上kak ,则有 综合(1),(2),对一切n2,有【例题例题】 数列an中,a1=1,且有an = a1+2a2 +3a3+(n-1)an-1(n2),求数列通项. 【别解别解】 an = a1+2a2 +(n-1) an-1(n2)两边加上nan 得:an + nan= an+1,an = nan-1 依次令n = 2,3,n, 得两边相乘,消去a2,a3,an-1 得 an = n(n 1)431=通项公式为 【点评点评】 另解用迭代法求an,实为一种不完全归纳法,在关系直观时,此法也有效. 题根研究题根研究 函数的周期性函数的周期性 一、正弦函数的周期一、正弦函数的周期 三角函数,以正弦函数 y = sin x为代表,是典型的周期函数. 幂函数 y = x 无周期性,指数函数 y = ax 无周期性,对数函数 y =logax无周期,一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函 数 y = ax3+b