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1、第 1 页 共 18 页递推数列题型归纳解析递推数列题型归纳解析 郭玉竹整理郭玉竹整理 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解特别是在一些综合性比较强的数各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解特别是在一些综合性比较强的数 列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈本文总结出几种求解数列通项列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈本文总结出几种求解数列通项 公式的方法，希望能对大家有帮助公式的方法，希望能对大家有帮助类型类型 1 )(1nfaann解法：把原递推公式转化为解法：把原递推公式转化为，利用累加法，利用累加法(逐差相加法逐差相加法)
2、求解求解)(1nfaann例例:已知数列已知数列满足满足，求，求 na211annaann211na解：由条件知：解：由条件知：，111 ) 1(1121nnnnnnaann分别令分别令，代入上式得，代入上式得个等式累加之，个等式累加之，) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n即即)()()()(1342312 nnaaaaaaaa)1 11()41 31()31 21()211 (nn 所以所以， ，naan111211aQnnan1 231121变式变式:已知数列已知数列，且，且 a2k=a2k1+(1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中其中 k=1,2,3,.11aan中（
3、I）求）求 a3, a5； （II）求）求 an的通项公式的通项公式.解：解：，Qk kkaa) 1(1222123 .k kkaa，kk kk kkaaa3) 1(312212即即21213( 1) .kk kkaa ， ， ) 1(313aa22 35) 1(3aakk kkaa) 1(31212 将以上将以上 k 个式子相加，得个式子相加，得 22 211(333 )( 1)( 1)( 1) 31(31)( 1)122kk kkkaa 将将代入，得代入，得，11a1) 1(213211 12 kk ka1) 1(21321) 1(122kkk kkaa经检验经检验也适合，也适合，11a第
4、 2 页 共 18 页 )( 1) 1(21321)( 1) 1(213212221 21为偶数为奇数nn annnnn类型类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法，利用累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解求解)(1nfaann例例:已知数列已知数列满足满足，求，求 na321annanna11na解：由条件知解：由条件知，分别令，分别令，代入上式得，代入上式得个等式累乘之，即个等式累乘之，即11 nn aann) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n又又，1342312 nn aa aa aa aa nn 1 43 32 21 naan
5、11321aQnan32例例:已知已知， ，求，求31annanna23131) 1( nna解：解：12313 223123 2)2(31)2(3 2) 1(31) 1(3ann nnan 34 375 26331 348 531nn nnn L 变式变式:已知数列已知数列an，满足，满足 a1=1， 1321) 1(32 nnanaaaa(n2)，则，则an的通项的通项1 _na 1 2n n 解：由已知，得解：由已知，得，nnnnaanaaaa 13211) 1(32用此式减去已知式，得用此式减去已知式，得 当当时，时，即，即，又，又，2nnnnnaaa1nnana) 1(1112 aa
6、，naa aa aa aaann 1342312 1, 4, 3, 1, 1将以上将以上 n 个式子相乘，得个式子相乘，得2! nan)2( n类型类型 3 （其中（其中 p，q 均为常数，均为常数，） qpaann1)0) 1(ppq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，再利用换元法转化为等比数列求解)(1taptannpqt1第 3 页 共 18 页例例:已知数列已知数列中，中，求，求. na11a321nnaana解：设递推公式解：设递推公式可以转化为可以转化为即即.故递推故递推321nnaa)(21
7、tatann321ttaann公式为公式为,令令，则，则,且且.所以所以是是)3(231nnaa3nnab4311 ab23311nnnn aa bb nb以以为首项，为首项，2 为公比的等比数列，则为公比的等比数列，则,所以所以.41b11224nn nb321n na变式变式: 在数列在数列中，若中，若， na111,23(1)nnaaan则该数列的通项则该数列的通项_ （key:） na321n na变式变式:已知数列已知数列满足满足 na* 111,21().nnaaanN（I）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； na（II）若数列）若数列bn滿足滿足证明：数列证明：数列bn是等差
8、数列；是等差数列；12111*444(1) (),nnbbbb nanNL（）证明：）证明：*122311.().232nnaaannnNaaa（I）解：）解：* 121(),nnaanNQ112(1),nnaa 是以是以为首项，为首项，2 为公比的等比数列为公比的等比数列头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1na112a 即即 12 .n na *21().n nanN（II）证法一：）证法一：12111*444(1) (),nnbbbb nanNL12(b.)42.nnbbnnb 122(.),nnbbbn
9、nb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得，得即即112(1)(1),nnnbnbnb1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得，得 即即 2120,nnnnbnbnb2120,nnnbbb是等差数列是等差数列头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 * 211(),nnnnbbbb nN nb证法二：同证法一，得证法二：同证法一，得 令令得得1(1)20nnnbnb1,n 12.b 设设下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明 22(),bd dR2(1) .nbnd（1）当）当时，
10、等式成立时，等式成立头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 （2）假设当）假设当时，时，那么那么1,2n (2)nk k2(1) ,kbkd1222(1) 2(1) 1 .1111kkkkbbkdkdkkkk 这就是说，当这就是说，当时，等式也成立时，等式也成立头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1nk根据（根据（1）和（）和（2） ，可知，可知对任何对任何都成立都成立头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http
11、:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 2(1)nbnd*nN是等差数列是等差数列头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1,nnnbbdbQ（III）证明：）证明：第 4 页 共 18 页Q1 121211,1,2,., ,12122(2)2kk k kkkakna 12231.2nnaaan aaa11 121111111 1.,1,2,., ,2122(21)23 22223 2k k kkkkk kakna Q12 2 2311 111111.(.)(1),23 22223223n nn n
12、aaannn aaa*122311.().232nnaaannnNaaa变式变式:递推式：递推式：。解法：只需构造数列。解法：只需构造数列，消去，消去带来的差异带来的差异 nfpaann1 nb nf类型类型 4 （其中（其中 p，q 均为常数，均为常数，） n nnqpaa1)0) 1)(1(qppq（或（或,其中其中 p，q, r 均为常数）均为常数） 1n nnaparq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：，得：引入辅助数列引入辅助数列1nqqqa qp qann nn111（其中（其中） ，得：，得：再待定系数法解决再待定系数法解决 nbnn nqab qbqpbnn11例例:已知数列已知数列中，中，,，求，求 na651a1 1)21(31 n nnaana解：在解：在两边乘以两边乘以得：得：1 1)21(31
