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1、1六、解竞赛题的思想方法数学竞赛也就是解题的竞赛，只有通过问题才能学会解题。要提高解题能 力，必须反复。在解各类题中，善于总结，不仅要寻找各种不同的解法， 更要找出最佳的方法，应当注意数学的思想与数学的美，不断提高我们的鉴赏 能力，注意简捷明快，一针见血。 本讲中，我们选编了国内外一些值得欣赏的竞赛题，有些题多给几种解法， 灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试，以展现思维的过程，并且以资比较， 尽力寻求完美的解法。希望参加数学竞赛的学生们多掌握些解题的思考方法， 对数学的认识深度就会有所提高，随之而来，解题能力的增强就会有所突破， 也就可能在各类数学竞赛中大显身手。例 1、已知且, ,0x y
2、 z 2222221,3,4,xxyyyyzzzzxx 求的值.xyz 分析 常见的思路是求三元二次方程组的正实数解，常规方法是消元、降次，尝 试会遇到困难，关键是如何产生一次方程，联想到方程左边式子的特点，可通 过因式分解来实现. 解法 1 由得，3322()()xyxy xxyyxy由得 333().yzyz由得 334().zxzx以上三式相加，得，代入，得32zxy22331xyxy与联立，解得.2 (2 )0x xy但，故得，从而可解得.0x 2xy214,777xyz.7xyz解法 2 令.sxyz-并因式分解，得，()()1zx xyz，同理得.2zxs13,xyzyss+，并配
3、方得 222221()()()() 82xyzxyyzzx则有，2 2221194()82ssss即.42870ss解得. 1,7ss 又由知.1,7sxyzs .123,777xyzxzy可解得.214,777xyz上述两种解法是纯代数的，若用数形结合的思想，有 解法 3 由余弦定理，得,222222cos1201xxyyxyxyo,222222cos120( 3)yyzzyzyzo.222222cos1202zzxxzxzxo使我们想到构造三角形:作,使,在三角形内取点，使Rt ABC1,3,2ABBCACP.120APBBPCCPA o由余弦定理知，是原方程组的一组解.,PAx PBy
4、PCz将绕点旋转，得，易证共线，则APCC60oA P C , ,A P P B.xyzPAPBPCA B在中，有.Rt A BC22227A BA CBCACBC说明 数学中的同一个数学形式表示式可以作不同的语义解释，同一种数 学语义的内容可以用不同的数学语言形式来表示.数形结合的思想方法的实质是 通过同一数学对象进行代数释义与几何释义的互补，实现“数”解释为“形” 的语义转换，将“形”解释为“数” ，利用“数”的知识解决“形”的问题；将 “数”解释为“形” ，利用“形”的知识解决“数”的问题. 本例的解法 3 中，我们把方程组转化成直角三角形后，原来隐含的条件逐 渐显示出来，犹如居高观景，
5、对问题的解决有更多的方法.3解法 4 借助于三角形面积关系得：，APBBPCAPCABCSSSS.131()13222xyyzzx .2xyyzzx由已知三式相加，得,2222()()8xyzxyyzzx.2223xyz又，2222()2()3227xyzxyzxyyzzx.7xyz解法 5 （构造复数法）在平面上，设A，B，C三点对应的复数分别为，取点,0,3ABczi ZZ使P.120APBBPCCPA o记.13cos120sin12022ii oo有xyzPAPBPC|APBPcpzzzzzz2| ()| ()|APBPcpzzzzzz(同向共线)2| ()()()|ApBPCpzzz
6、zzz2| ()|ABCzzz.3133| ()()| |32 | 72222iii 说明 本题还可以建立直角坐标系，用解析法，又可以利用图形关系，应 用向量法等.例 2、求函数 的最大值.4242( )36131f xxxxxx分析和解 函数的结构复杂，无法用常规方法解，把问题由抽象向具( )f x4体转化，以使其中数量关系更容易把握：由根式我们会联想到距离，问题的关 键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式，通过变形得222222( )(2)(3)(1)f xxxxx问题就转化为：求点到点与点的距离之差的最大值.2( ,)P x x(3,2)A(0,1)B进一步将其直观具体化（如图）
7、，由A，B的位置知直线AB必交抛物线于第二象限的一点C.由三角形两边之差小于第三边知，P位于C时，2yx才能取得最大值，且最大值就是，故.( )f x|ABmax( )|10f xAB说明 上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化为具体的形， “形”使我们把握住了的变化情况.( )f x类似地，可考虑下面的问题：若，求的最大值与最小值.4sin 3cosk k这是一道三角函数求极值的问题，直接用代数法求解比较困难.仔细观察，发现与直线的斜率公式结构相4sin 3cosk 00yykxx似，这样，可以想象为过点与点的直线的斜率.由于k(3,4)P(cos ,sin )Q是单位圆上的一个动点，
8、所以直线是经过定点P（3，4）的动直(cos ,sin )Q线，的值是变化的.k 利用数形结合的方法可知：动直线以单位圆的两条切线为界，所以的最k 大值与最小值就可以确定了.例 3、已知为正数且.求表达式的最小值., ,x y z()1xyz xyz()()xyyz解法 1 构造一个，使其三边长分别为ABC.,axy byz czx则半周长，1()2pabcxyz的面积ABC()()()Sp papbpc()1xyz xyz另一方面，()()xyyzab222sinS SinCC当且仅当时取等号，此时，90C o222()()()xyyzxz5化简，得.()y xyzxz构造一组实数，满足，即
9、式等号成立，所以1xz21y 有最小值 2.()()xyyz解法 2 应用均值不等式，得2()()xyyzxyxzyyz()2()2xzy xyzxyz xyz不等式中等号成立的条件是.()xzy xyz此式为解法 1 中的式，以下同解法 1.例 4、设有两个属于区间2，3的实数根.20,( )44af xaxbxc（1）证明存在一个以为边长的三角形；, ,a b c（2）证明.abc acbabc 分析与解 充分挖掘条件中的隐含信息，把有利于解题的数量关系和直观表象 显示出来，另外，又要把结论关系式分拆，两者结合起来，打通解决问题的通 道.由是开口向上的抛物线，且0,( )af x，(2)4
10、840fabc，(3)91240fabc.2423,16162bbaca即给出关于的不等式组：, ,a b c22,4129 ,3,2cbacbaababac 考虑给出结论中能构成三角形的充分条件，我们充分利用不等式组中的关 系.由，可知，即。,2ab cbababc6另一方面，由知.下面证明.事实上，2bcacab22225()42aaabbab由知，22231()()222abaaa，222()a abbaabb22251044aaa.2 2(),ba abbabca故存在以为边长的三角形., ,a b c（2）由于，abcab所以.cabab bcbcbcbcab acba 换元法换元法
11、：解数学题时，我们常常对变量作替换，这就是换元，通过换元， 把原来的问题转化成另一类问题，以达到化难为易，从而帮助解题.例 5、设是正实数，且满足，求 , ,x y z0xyzxzy的最大值.222223 111Sxyz解 由已知条件得 .(1)xzxz y虽然，所以.10xz1xzyxz 由此联想到正切和角公式，于是令.arctan ,arctan ,arctan , ,(0,)2xyz 则.tantantantan()1tantan由于，所以，于是,(0, ) 222223 tan1tan1tan1S2222cos2cos ()3cos2(cos21)cos(22 )13cosa22sin
12、sin(2)3cos722sin3(1sin).2110103(sin)333 等号在，即12,sin23时成立，故欲求的最大值为.22,2,24xyz10 3例 6、设为大于或等于 3 的整数，证明：在平面上存在一个由个点组成的集nn 合，集合中任两点的距离为无理数，任三点组成一个非退化的面积为有理数的 三角形. 分析 在平面上由个点组成的集合无限多，我们可以考虑一类特殊的点集n 由整数点（纵坐标与横坐标均为整数）构成的集合，只要在其中构成满足题 目条件的点集，也就解答了此题，进一步特殊化，考虑无穷点集.2( ,)|0,1,2,Sk kkL证明 考虑无穷点集.2( ,)|0,1,2,Sk k
13、kL中任两点，的距离为：S2( ,)A a a2( ,)B b b2222( , )()()d A Babab.2| 1()abab由于不是完全平方数，从而为无理数.即中20,1()abab( , )d A BS任两点的距离为无理数.另一方面，由于点集中的点都在抛物线上，又直线与抛物线的交S2yx点不多于两个，故中任意三点不共线，而对于中任意三点SS（不妨设）所形成三角形的面积222( ,), ( ,),( ,)A a aB b bC c cabc2221 111()()()221ABCaaSbbba cb cacc为非零有理数. 所以，中任意个点所成集合即为所求点集，问题得证.Sn 说明 本
14、问题的解决过程中运用了构造特殊集合转化问题，将“在平面内存 在某种点集”的问题特殊化为“在它的某个子集S中存在这种点集”的问题， 后者的解决使原问题获证.这种解决策略常称为特殊化策略.即视原问题为一般 问题，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决. 特殊化作为化归策略，基本思想是很简单的：相对于“一般”而言， “特殊”8问题往往显得简单、直观和具体，容易解决.并且在特殊问题的解决过程中，常 常孕育着一般问题的解决思想，因此，当我们在对某个一般性的数学问题解决 有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或 结果应用或推广到一般问题中，而获得一般性问题的解决. 特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题.例 7、求方程的全部实数解，其中为实数参数。2221xpxxp解 若，则，此时原方程无解，故可设0p 22221xpxxpx，并且0p 1,xxp再将方程形式变为2221xxxp平方并整理，得22
