迭代与分形几何

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1、几何画板迭代详解之：迭代与分形几何几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学 谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能

2、体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。1. 用(A,B,C)表示有顺序的两点 A、B 和 C。2.表示 A 映射到 D，B 映射到 D，C 映射到 F,然后(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)添加映射 A 映射到 G，B 映射到 H，C 映射到 I,如此类推。【Sierpinski 三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、 “谢氏三角”、 “谢氏海绵”、 “谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有

3、趣，而且有助于形象地理解分形。著名的 Sierpinski 三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割-随着分割不断进行 Sierpinski 三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski 三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】1. 在平面上任意画一个三角形 ABC，取三边中点为 D、E、F，连接 DEF。2. 新建参数 n33. 顺次选择 B,C,A 三点和参数 n，作深度迭代,。(B,C,A)(D,F,A)4. 添加新的映射, 。

4、(B,C,A)(B,E,D)第 3 步第 4 步5. 继续添加映射。(B,C,A)(E,C,F)6. 改变参数 n 可观察图形变化。第 5 步第 6 步【Sierpinski 地毯】和 Sierpinski 地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】1. 平面上任取线段 AB，以线段 AB 构造正方形 ABCD

5、。2. 以 A 为缩放中心，B、D 缩放为 1/3,得到 E、F；以 D 为缩放中心，A、C 缩放为 1/3 得到 G、H。同理得到 I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；3. 并填充中间的正方形 MNOP，度量 MNOP 的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】 【颜色】 【参数】 ，单击确定。则该 MNOP 的颜色随它的面积变化而变化。第 2 步第 3 步4. 新建参数 n4，顺次选择 A、B 两点和参数 n，作深度迭代， （A，B）（G，P） ；（P，O） ；（O，J） ；（F，M） ；（M，N） ；（N，K） ；（A，E） ；（E，L） ；（L，B） 。注意迭代中点的对应

6、，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的 Sierpinski 三角形和任意四边形的 Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点） ，然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上， （如下图）可以制作空间的 Sierpinski 三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【摇曳的 Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988 年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的

7、 J 集。【步骤】1. 在屏幕上以任取两点 A 和 B，作正方形 ABCD，以 CD 为直径作圆 O，取半圆弧，在该弧上任取一点 E，连接 CE，DE。隐藏不必要的对象。OCD2. 填充四边形 ABCD，度量 ABCD 的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】 【颜色】 【参数】 。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3. 新建参数 n4，选择 A、B 和 n，作深度迭代，。(A,B)(D,E),(E,C)第 2 步第 3 步4. 选择 E 点，单击【编辑】 【操作类按钮】 【动画】 ，E 点变动，很漂亮的效果。当 E 点在的中点时，整个树显出对称美。OCD【分形树】【分析】和毕达哥拉斯树

8、类似，树枝按一定的规律生长。【过程】1. 在垂直方向上画线段 AB，在 AB 左上区域任取一点 C。 2. 度量 CB，BA 的长度，计算 CB/BA；度量的大小。CBA3. 双击 C 点作为旋转中心，旋转角度为，旋转 B 得到点 E；继续CBA以 CB/BA 为缩放比例，E 点缩为 F 点；双击线段 CB 作为标记镜面，得到 F 点关于线段 CB 的对称点 G。连接 GC，FC。4. 双击线段 AB 作为标记镜面，得到 C、F、G 关于线段 AB 的对称点D、H、I，连接 BD、HD、ID。第 3 步第 4 步5. 新建参数 n=3。顺次选择 A、B、C 三点和参数 n，作深度迭代，(A,B

9、,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。6. 移动 C 点的位置，改变树枝的形状。【KOCH 曲线】瑞典数学家柯赫于 1904 年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年 他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为 L 的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为60o的两个等长的直线，每段长度均为 L/3，这是 n=1 的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为 L/3 的线段都进行三等分，现在每段长度为 L/9

10、，并将它们中间的一段改成夹角为60o的两个长度为 L/9 的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。【步骤】1. 画线段 AB，以 A 为缩放中心，B 缩短为 1/3,得到 C 点；同理以 B 为缩放中心，A 缩短为 1/3，得到 D 点。以 C 点为旋转中心，D 点顺时针旋转 60 度，得到 E 点。2. 隐藏线段 AB，连接线段 AC、CE、ED、DB。3. 新建参数 n3，顺次选择 A、B 两点和 n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。 （如下图所示）4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”

11、。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示） 。5. 改变参数 n，观察图形变化。【KOCH 雪花】因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的 1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的 12 条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得 48 条边星形，如图 4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步

12、操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端” ，用数学的语言讲，曲线虽然 连续，但处处不可微，即没有切线。【步骤】1. 在平面上取 AB 做一个 KOCH 曲线，然后在 A 的左端任取一点 G，在 B的右边任取一点 F，分别在 AG 和 BF 上做 KOCH 雪花，注意三个迭代深度都必须为 n。2. 以 B 点为旋转中心，A 顺时针旋转 60 度得到 H 点。选择 G，H 两点，单击【编辑】 【合并点】 ，则 G 点与 H 点合并。同理，再合并 H、F 两点。KOCH 雪花完成了。【数学之美】【 步骤】1.

13、任取两点 A、B，并作正方形 ABCD。2. 在 AB 上任取一点 E,连接 BE，度量线段 BE 的长度并计算 BE/AB。3. 双击 A 点作为缩放中心，选择 D 点，单击【变换】 【缩放】以计算结果AE/AB为比例缩放，得到点 F；同理以 D 点为中心，缩放 C 点得到点 G；以 C 点为缩放中心，缩放 B 点得到点 H。连接正方形 EFGH。4. 新建参数 n5，顺次选择 A、B 两点，和参数 n，按下 shift 键不放，作深度迭代， 。如下图所示：(A,B)(F,E)5. 选择 E 点，点击【编辑】 【操作类按钮】 【动画】 。E 点变动，产生梦幻般的效果。【H 迭代】【步骤】1.

14、 在水平直线上取两点 A 和 B，连接 AB。以 A 点为旋转中心，B 点顺时针旋转 90 度，得到 C 点，再取 AC 中点 D。2. 以 D 为旋转中心，C 点顺时针旋转 90 度得到 E 点，取 DE 中点 F。以 D为旋转中心，F 点再旋转 180 度得到 G 点。连接 FG。3. 同理再画出 H、I 两点。以 AB 为标记镜面，得到 F、G、H、I 关于 AB的对称点 J、K、L、M，连接线段 JK，LM。 （如下图所示）4. 隐藏不必要的点，新建参数 n4。顺次选择 A、B 两点、参数 n，作深度迭代，. (A,B)(F,G),(H,I),(J,K),(L,M)5. 单击迭代，隐藏各点的标签。【蜂巢】蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。【步骤】1. 屏幕上任取线段 AB，以 B 为旋转中心，A 点顺时针旋转 120 度得到点C，A 点逆时针旋转 120 度得到点 D。2. 新建参数 n5。选择 A、B 和参数 n，作深度迭代，。(A,B)( ,),(B,D)B C3. 单击迭代，得到蜂巢的图像。上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：