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1、1高中数学专题训练（一）高中数学专题训练（一）抽象函数抽象函数1. 已知函数 y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数1x，2x，恒有 f(1x2x)=f(1x)+f(2x),试判断 f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若 f (1-m)0.(1)求(1)f;(2)求和(1)(2)(3).( )ffff n*()nN;(3)判断函数( )f x的单调性,并证明.14.函数( )f x的定义域为 R,并满足以下条件:对任意xR,有( )f x0;对任意, x yR,有() ( )yf xyf x;1( )13f.(1)求(0)f的值;(2
2、)求证: ( )f x在 R 上是单调减函数;(3)若0abc且2bac,求证:( )( )2 ( )f af cf b.15.已知函数( )f x的定义域为 R,对任意实数,m n都有()( )( )f mnf mf n,且当0x 时,0( )1f x.(1)证明:(0)1,0fx且时, f (x)1;(2)证明: ( )f x在 R 上单调递减;(3)设 A=22( , )()()(1)x yf xf yf,B=( , )(2)1,x yf axyaR,若ABI=,试确定a的取值范围.16.已知函数( )f x是定义在 R 上的增函数,设 F( )( )()xf xf ax.5(1)用函数
3、单调性的定义证明:( )F x是 R 上的增函数;(2)证明:函数y=( )F x的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17.已知函数( )f x是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线1x 对称.(1)求(0)f的值;(2)证明: 函数( )f x是周期函数;(3)若( )(01),f xxx求当xR时,函数( )f x的解析式,并画出满足条件的函数( )f x至少一个周期的图象.18函数( )f x对于 x0 有意义，且满足条件(2)1,()( )( ),( )ff xyf xf yf x是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若( )(3)2f xf x成立，求 x 的取值范围。1
4、9设函数( )f x在(,) 上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间0，76上，只有(1)(3)0ff（1）试判断函数( )yf x的奇偶性；（2）试求方程( )f x=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0 时，f（x） 0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0 时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。参考答案：参考答案：71. 解：令1x= -1，2x=x，得 f (-x)
5、= f (-1)+ f (x) 为了求 f (-1)的值，令1x=1，2x=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即 f(1)=0,再令1x=2x=-1 得 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0 代入式得f(-x)=f(x),可得 f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是 1- m 和 m 分别在-2，0和0，2的哪个区间 内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则 f (x)有性质 f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可 避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)0, 令0,2xy得,2(
6、0) (0)(0)1fff(2)任取任取1212,x xRxx且,则令112211,33xp xp,故12pp函数( )f x的定义域为 R,并满足以下条件:对任意xR,有( )f x0;对任意, x yR,有() ( )yf xyf x;1( )13f12 12121111()()()() ( ) ( )3333ppf xf xfpfpff012()()f xf x函数( )f x是 R 上的单调减函数.(3) 由（1） （2）知，( )(0)1f bf，( )1f b ( )()( ),( )( )ac bbacf af bf bf cbf bbb( )( )( )( )2 ( )a ca
7、c bbbf af cf bf bf b ，而2222acacbb2 2( )2( )2 ( )a cb bbf bf bf b ( )( )2 ( )f af cf b15. (1)证明:令0,1mn,则(0 1)(0)(1)fff当0x 时,0( )1f x,故(1)0f,(0)1f,当0x 时,0( )1f x当0x 时,0x ,则(0)1()()( )( )1()()ffxxfxf xf xfxfx (2)证明: 任取1212,x xRxx且,则112121112111()()()()()()()f xf xfxxxf xf xxf xf x211 () 1 ()f xxf x210x
8、x,00( )F x是 R 上的增函数;(2)设00(,)M xy为函数y=( )F x的图象上任一点,则点00(,)M xy关于点(,0)2a的对称点为 N(,m n),则00,0222xmyna,故00,max ny 把0,max代入 F( )( )()xf xf ax得, 0000()()()()f axf aaxf axf x=-0y函数y=( )F x的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17.(1)解:( )f x为 R 上的奇函数, 对任意,xR都有()( )fxf x ,令0,x 则( 0)(0)ff 12(0)f=0(2)证明: ( )f x为 R 上的奇函数, 对任意,x
9、R都有()( )fxf x ,( )f x的图象关于直线1x 对称, 对任意,xR都有(1)(1)fxfx, 用1x代x得,(2)1 (1)()( )fxfxfxf x 2(2)(2)( )( )fxf xf xf x ,即(4)( )fxf x( )f x是周期函数,4 是其周期.(3)当1,3x 时，( 11)( )2(13)xxf xxx 当4141kxk 时，( )4f xxk，kZ当4143kxk 时，( )24f xxk ，kZ4 (4141)( ),24 (4143)xkkxkf xzRxkkxk 图象如下：y-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)证明：令1xy，
10、则(1 1)(1)(1)fff，故(1)0f（2）(2)1f，令2xy，则(2 2)(2)(2)2fff， (4)2f( )(3)2f xf x22 (3)(4)(3 )(4)3414f x xff xxfxxx ( )(3)2f xf x成立的 x 的取值范围是13x 。19解:（1）由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy 的对称轴为72xx和,13从而知函数)(xfy 不是奇函数,由)14()4()14()()4()( )7()7()2()2(xfxfxfxfxfxf xfxfxfxf )10()(xfxf,从而知函数)(xfy 的周期为10T又0)7(
11、, 0)0() 3(fff而,故函数)(xfy 是非奇非偶函数;(2)由)14()4()14()()4()( )7()7()2()2(xfxfxfxfxfxf xfxfxfxf )10()(xfxf又0)9()7()13()11(, 0)0()3(ffffff故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数)(xfy 在0,2005上有 402 个解,在-2005.0上有 400 个解,所以函数)(xfy 在-2005,2005上有 802 个解.20. 解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数， f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。21. 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。
