§8.5 空间向量及其运算空间向量及其运算1． 空间向量的概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．(2)向量的夹角：过空间任意一点 O 作向量 a，b 的相等向量和，则∠AOB 叫作向OA→OB→量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ，0≤〈a，b〉≤π.2． 共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb.(2)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3使得 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中 e1，e2，e3叫作空间的一个基底．3． 空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉 ，记作 a·b.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4． 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)，a⊥⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b 均为非零向量)．(3)模、夹角公式设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，a·aa2 1＋a2 2＋a2 3cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0) .a·b|a||b|a1b1＋a2b2＋a3b3a2 1＋a2 2＋a2 3· b2 1＋b2 2＋b2 31． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )(3)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c.( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.( √ )AB→BC→CD→DA→(6)|a|－|b|＝|a＋b|是 a、b 共线的充要条件．( × )2． 如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向AB→AD→AA1→BM→量是( )A．－ a＋ b＋c B. a＋ b＋c12121212C．－ a－ b＋c D. a－ b＋c12121212答案 A解析 ＝＋＝＋ (－)BM→BB1→B1M→AA1→12AD→AB→＝c＋ (b－a)＝－ a＋ b＋c.1212123． 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若＝＋x＋y，则 x，y 的值分别为AE→AA1→AB→AD→( )A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝12C．x＝ ，y＝ D．x＝ ，y＝1121212答案 C解析 如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)．AE→AA1→A1E→AA1→12A1C1→AA1→12AB→AD→4． 同时垂直于 a＝(2,2,1)和 b＝(4,5,3)的单位向量是_______________．答案 或(13，－23，23) (－13，23，－23)解析 设与 a＝(2,2,1)和 b＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是 c＝(p，q，r)，则Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!即同时垂直于 a，b 的单位向量为或.(13，－23，23) (－13，23，－23)5． 在四面体 O－ABC 中，＝a，＝b，＝c，D 为 BC 的中点，E 为OA→OB→OC→AD 的中点，则＝________(用 a，b，c 表示)．OE→答案 a＋ b＋ c121414解析 ＝＋＝＋＋OE→12OA→12OD→12OA→14OB→14OC→＝ a＋ b＋ c.121414题型一 空间向量的线性运算例 1 三棱锥 O—ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC的重心，用基向量，，表示，.OA→OB→OC→MG→OG→思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解 ＝＋＝＋MG→MA→AG→12OA→23AN→＝＋ (－)12OA→23ON→OA→＝＋ [ (＋)－]12OA→2312OB→OC→OA→＝－＋＋.16OA→13OB→13OC→＝＋＝－＋＋OG→OM→MG→12OA→16OA→13OB→13OC→＝＋＋.13OA→13OB→13OC→思维升华 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，O 为 AC 的中点．(1)化简－－＝________；A1O→12AB→12AD→(2)用，，表示，则＝________.AB→AD→AA1→OC1→OC1→答案 (1) (2)＋＋A1A→12AB→12AD→AA1→解析 (1)－－＝－A1O→12AB→12AD→A1O→12AC→＝－＝.A1O→AO→A1A→(2)＝＋＝＋＋.OC1→OC→CC1→12AB→12AD→AA1→题型二 共线定理、空间向量基本定理的应用例 2 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，(1)求证：E、F、G、H 四点共面；(2)求证：BD∥平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有＝ (＋＋＋)．OM→14OA→OB→OC→OD→思维启迪 对于(1)只要证出向量＝＋即可；对于(2)只要证出与共线即可；EG→EF→EH→BD→EH→对于(3)，易知四边形 EFGH 为平行四边形，则点 M 为线段 EG 与 FH 的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示．OM→OG→OE→OG→OE→OC→OD→OA→OB→证明 (1)连接 BG，则＝＋EG→EB→BG→＝＋ (＋)EB→12BC→BD→＝＋＋＝＋，EB→BF→EH→EF→EH→由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面．(2)因为＝－EH→AH→AE→＝－＝ (－)＝，12AD→12AB→12AD→AB→12BD→所以 EH∥BD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH.(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知＝，同理＝，EH→12BD→FG→12BD→所以＝，即 EH 綊 FG，EH→FG→所以四边形 EFGH 是平行四边形．所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分．故＝ (＋)＝＋OM→12OE→OG→12OE→12OG→＝＋12[12OA→＋OB→]12[12OC→＋OD→]＝ (＋＋＋)．14OA→OB→OC→OD→思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A，B，C 三点共线，即证明，AB→共线，亦即证明＝λ(λ≠0)．AC→AB→AC→(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点 O，有＝＋x＋y或PA→PB→PC→OA→OP→PB→PC→＝x＋y＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直OP→OA→OB→线共面的充要条件．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 是 A1B 上的点，F 是 AC 上的点，且 A1E＝2EB，CF＝2AF，则 EF 与平面 A1B1CD的位置关系为________．答案 平行解析 取＝a，＝b，＝c 为基底，AB→AD→AA1→易得＝－ (a－b＋c)，EF→13而＝a－b＋c，即∥，故 EF∥DB1，DB1→EF→DB1→且 EF平面 A1B1CD，DB1平面 A1B1CD，所以 EF∥平面 A1B1CD.题型三 空间向量数量积的应用例 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于a，点 M、N 分别是 AB、CD 的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．思维启迪 两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a|2＝a·a 可以求线段长；利用 cos θ＝可求两条直线所成的角．a·b|a||b|(1)证明 设＝p，＝q，＝r.AB→AC→AD→由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°.＝－＝ (＋)－＝ (q＋r－p)，MN→AN→AM→12AC→AD→12AB→12∴·＝ (q＋r－p)·p＝ (q·p＋r·p－p2)MN→AB→1212＝ (a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.12∴⊥.MN→AB→即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.(2)解 由(1)可知＝ (q＋r－p)，MN→12∴||2＝ (q＋r－p)2MN→14＝ [q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]14＝ [a2＋a2＋a2＋2(－－)]14a22a22a22＝ ×2a2＝.14a22∴||＝a.MN→22∴MN 的长为a.22(3)解 设向量与的夹角为 θ.AN→MC→∵＝ (＋)＝ (q＋r)，AN→12AC→AD→12＝－＝q－ p，MC→AC→AM→12∴·＝ (q＋r)·(q－ p)AN→MC→1212＝ (q2－ q·p＋r·q－ r·p)121212＝ (a2－ a2cos 60°＋a2cos 60°－ a2cos 60°)121212＝ (a2－＋－)＝.12a24a22a24a22又∵||＝||＝a，AN→MC→32∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.AN→MC→AN→MC→3232a22∴cos θ＝ .23∴向量与的夹角的余弦值为 ，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 .AN→MC→2323思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为 α 时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 θ 来进行计算．应该注意的是 α∈(0， ]，θ∈[0，π]，所以 cos α＝|cos θ|＝；π2|a·b||a||b|(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解．a2已知空间中三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a＝，b＝.AB→AC→(1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值；(2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求实数 k 的值．解 (1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝＝，12＋12＋022|b|＝＝，－12＋02＋225∴cos〈a，b〉＝＝＝－，a·b|a||b|－1101010即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为－.1010(2)方法一 ∵ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2 或 k＝－ ，52∴当 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直时，实数 k 的值为 2 或－ .52方法二 由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，25∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝。