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1、固体物理复习提纲（Part 2） - 晶体结构和晶体电子理论部分（第21 讲第 24 讲）1.分别写出三维布拉维格矢nRr 和与其对应的倒格矢 hGr的表达式，以及它们的点乘nhRGrr表达式。答：123233112123123123123112233,i1,2,2,2 ()()()2, 32,inhiinhn Rn an bn c Gh bh bh bh Naaaaaa bbb aaaaaaaaGm maR，为 整 数 。2.分别写出简立方、体心立方和面心立方布拉维格子的固体物理学原胞的基矢表达式。它们对应的倒空间中的原胞基矢是什么？答：见课本P24 和 P43. 3.体心立方和面心立方布拉
2、维格子的Wigner-Seitz 原胞是什么形状？(课本 P25) 答：体心立方布拉维格子的Wigner-Seitz 原胞是截角正八面体。面心立方布拉维格子的Wigner-Seitz 原胞是正十二面体。4.什么是第一布里渊区(First Brillouin Zone) ？面心立方布拉维格子的第一布里渊区由几个正 六边形和几个正四边形围成？答：倒格子空间的Wigner-Seitz 原胞称为第一布里渊区(First Brillouin Zone) 。面心立方布拉维格子的倒格子为体心立方布拉维格子，体心立方布拉维格子的Wigner-Seitz 原胞是截角正八面体，即面心立方布拉维格子的第一布里渊区是
3、截角正八面体，由8 个正六边形和6 个正四边形围成。5.正空间中一个固体物理学原胞的体积与倒空间中的一个原胞的体积有何关系？答：正空间一个原胞的体积123()aaarrr。倒空间中一个原胞的体积为123()bbbbrrr ，它与正空间一个原胞的体积的关系是31232 ()bbbbrrr 。6.如何表示布拉维格子中的点、线和晶面？（课本P23）答：格点：晶向：晶面 Crystal Planes 米勒指数Miller Indices 7.四方晶系的4点群中的元素有4 个，写出4点群中个元素的符号并解释符号的意义。（课本P28）答：8.三维晶体的对称型表现在有几种布拉维格子？可以分为几种晶系？几种点
4、群？（课本P31）答：三维晶体的对称型表现在有14 个布拉维格子，可以分为7 个晶系， 32 种点群。9.按照布洛赫（ Bloch ）定理，晶体电子的单电子能量本征函数是周期调幅平面波，请写出它的数学表达式，并指出何为标识该态的好量子数。答：晶体电子的单电子能量本征函数为：()();()(), w h ere ()()nikRikrnnkkkkrRerrureouruRrrrrrrrrrrrrrrrrrr标识该态的好量子数为312 123123,0,1,2,innn kbbbn NNNrrrr L10. 第一布里渊区中包含多少好量子数kr 的数目？答：第一布里渊区中包含好量子数kr ，222
5、,0,1,2,nn kbnk NNaN aLL。倒空间中一个原胞内共有N（正空间晶体的原胞总数）kr 点。11. 如何构造其它布里渊区？各个布里渊区的体积是否一样？答 : 在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。12. 晶体电子能量平移对称性或周期对称性发生在什么空间里？请写出相应的数学表达式。答：晶体电子能量平移对称性或周期对称性发生在kr
6、空间（即倒空间） 里。()()hEkEkGrrr13. 由能量本征值()E kr 的周期平移对称性，比较在kr 空间中()Ekr 的三种表示方法：扩展图示（周期图示） 、简约图示和重复图示的不同之处。（课本 P57）答：扩展图示（周期图示）中，将不同的能带绘制于kr 空间中不同的布里渊区中；简约图示中将所有的能带()nEkr 都绘制到第一布里渊区；重复图示由能量本征值()E kr 的周期平移对称性，允许kr 的取值遍及全kr 空间。14. 简要指出弱周期近似和紧束缚近似方法在求解晶体电子能量本征态的不同之处。答： 弱周期场近似 （又称近自由电子近似）是在自由电子的基础上，加上势场的微扰， 在_
7、Brillouin区边界处出现禁带而形成能带；而紧束缚近似是在原子轨道的基础上，能级分裂而形成能带。近自由电子只能应用于碱金属，所以也叫金属自由电子模型；至于紧束缚两个相邻原子能量函数发生交叠，忽略一阶小量等，其他电子还是束缚于单个原子核的，并没有归为自由移动，只不过是和旁边的势发生了关系，所以两个模型建立的就不同。相同就是都用了近似的方法15. 例举能带的对称性包含的内容，并指出这些对称性对在倒空间中表示能带的影响和作用。（课本 P68）答： A）()nEkr 在倒空间中的周期平移对称性：()()nnhEkEkGrrr ，使能带的计算可限制在一个原胞内；B）()nEkr 的时间对称性：()(
8、)nnEkEkrr ，若,()n krrr为能量本征函数的解，则,()nkrrr也是能量本征函数的解，即,()n krrr于,()nkrrr是简并的。B ）()nEkr 的时间对称性的推论：在布里渊区边界处有() 0nEkk，表现在布里渊区处出现能隙，费米面几乎总与布里渊区边界垂直相交，布里渊区的边界面和反应面平行，即此反应面垂直平分连接布里渊区一对边界面的倒格矢。C）()nEkr在倒空间中的点群对称性：?()()nnEkEkrr ，其中?代表晶体所属点群的任意对称操作，使在能带的计算中，可将第一布里渊区分成若干等份的小区域，而只讨论其中的一个，这一小区域的体积占第一布里渊区体积的1/f，其中
9、 f 是晶体点群的元素（对称操作）数。16. 指出能带在布里渊区边界处的特点和晶体电子的费米面与自由电子的费米面的区别。答： 能带在布里渊区边界处有() 0nEkk，表现在布里渊区处出现能隙，费米面几乎总与布里渊区边界垂直相交。自由电子的费米面是圆形，连续的，没有能隙。17. 从倒空间中不同kr 方向上能带的交叠来解释为什么在晶体电子模型中会产生两个不满带？而在金属自由电子模型中不会产生两个不满带？答：在晶体电子模型中18. 在晶体电子的近自由电子近似模型中，“有效质量” 、 “晶体动量”的定义是什么？在外电场 作用下，晶体电子的“运动速度”的定义是什么？这几个物理量的关系是什么？答：有效质量
10、：*m，22()11 , *nijijEk ijxyz mkkrh； “晶体动量”：c r y sta lpkrrh；“运动速度” ：1 ()()nnkvkEkrrrrh，这几个物理量的关系是：1()()externalcrystalextenkxntpeEdddFvEkEkkvkd kF ddtdtdttgrrrrr hrrrrrrQhh h1*e x te r n a lFaFa mmrrrr19. 在外电场作用下，标识晶体电子单电子态的kr 矢量如何变化？答：每一个电子的波矢以同一速率逆外电场方向改变。( )(0 )extdFeEk dteEktktrrr hrrrh20. 为什么满带电
11、子不导电？（课本P82）答： a) No external electric field1()(),()(),()()()()0()()( ),()()( ) 22nnnnnnkfilledb andb andban dnnEkEkvkEkvkvkIIkIknn w h ere Ike vtand Ike vtrrrrrrrrrrh rrrrrrb) With external electric field 1 ( )()( ),( )( ),()()( )(0)nnnnnkItne vtvtvktvkEkeE ktktrrrrrrrrh r rrh21. 绝缘体，半导体和金属的能带有什么区别？（课本P83）答：
