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1、 2.72.7 幂函数幂函数【考纲要求考纲要求】1 1、了解幂函数的概念、了解幂函数的概念. .2 2、结合函数、结合函数 的图像，了解它们的变化情况。的图像，了解它们的变化情况。【基础知识基础知识】一、幂函数的定义一、幂函数的定义形如形如的函数叫幂函数，其特征是以幂的底为自变量的函数叫幂函数，其特征是以幂的底为自变量，(,ayxaR ax是常数，是自变量）指数为常数，其定义域随着常数指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同。函数取值的不同而不同。函数不是幂函数，是复合函数。不是幂函数，是复合函数。aaxy3二、常见幂函数的图像二、常见幂函数的图像 来源来源: :学学* *科科* *网网
2、Z*X*X*KZ*X*X*K 来源来源:Zxxk.Com:Zxxk.Com 来源来源: :学科网学科网 三、三、幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质所有幂函数都在所有幂函数都在有定义，并且图像都过点（有定义，并且图像都过点（1 1，1 1） ；幂函数在幂函数在是增函数，是增函数，(0,)0,a (0,)，幂函数在，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线。幂函数的图像一定会出现在第一象限，是减函数，且以两条坐标轴为渐近线。幂函数的图像一定会出现在第一象限，0a (0,)一定不会出现在第四象限，并且最多只能出现在一定不会出现在第四象限，并且最多只能出现在两个象限。作幂函数的图像时，要联系函数的定
3、义域、两个象限。作幂函数的图像时，要联系函数的定义域、 单调性、奇偶性等，先作幂函数在第一象限的图像，然后根据函数的性质就可作出它在定义域内完整单调性、奇偶性等，先作幂函数在第一象限的图像，然后根据函数的性质就可作出它在定义域内完整 的图像。的图像。 四、方法总结四、方法总结1 1、幂函、幂函数数与指数函数与指数函数的区别：的区别：(,ayxaR ax是常数，是自变量）(0,1)xyaaa且幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数；幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数；而指数函数是底数为常数，自变量则处在幂指数的位置。而指数函数是底数为常数，自变量则处在幂指数的位置。 幂函数的指数幂函数的指数是一
4、个常数，可以是负数，可以是正数，也可以是零，但是指数函数的底数是一个常数，可以是负数，可以是正数，也可以是零，但是指数函数的底数的范围的范围aa是是，且，且。0a1a 2 2、作幂函数的图像时，通常将分式指数、作幂函数的图像时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨 论。论。【例题精讲例题精讲】例例 1 1 幂函数幂函数的图像不经过原点，求实数的图像不经过原点，求实数的值。的值。222( )(33)mmf xmmxm【解析解析】 因为函数是幂函数，所以因为函数是幂函数，所以2102313322mmmmmm或当当或或时，函数
5、的图像都不经过原点，所以时，函数的图像都不经过原点，所以或或。1m2m1m2m例例 2 2 已知函数已知函数，当，当取什么值时，取什么值时， （1 1）是是正比例函数；正比例函数；2222)()(mmxmmxfm)(xf（2 2）是反比例函数；（是反比例函数；（3 3）在第一象限它的图像是上升的曲线。在第一象限它的图像是上升的曲线。)(xf)(xf【解析解析】222222010(1)313221010(2)12121212221010(3)1132201313mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 且由题得或且由题得或或或由题得或或2.72.7 幂函数强化训练幂函数强化训练【
6、基础精练基础精练】1、函数、函数的图像可由幂函数的图像可由幂函数的图像（的图像（ ）1yx1 2yx(A)向左平移一个单位得到向左平移一个单位得到 (B) 向右平移一个单位得到向右平移一个单位得到 (C) 向上平移一个单位得到向上平移一个单位得到 (D) 向下平移一个单位得到向下平移一个单位得到2、若、若，则使函数，则使函数的定义域为的定义域为，且在，且在上单调递增的上单调递增的值为值为 .11,2,32a ayxR(,0)a3、幂函数的图像经过点（、幂函数的图像经过点（2，） ，则，则的值为的值为 。1 41( )2f4、比较下列各组中两个数的大小、比较下列各组中两个数的大小（1）与与 （2
7、）与与53 5 . 153 7 . 132 )2 . 1(32 )25. 1(5、幂函数、幂函数的图像不经过原点，求实数的图像不经过原点，求实数的值。的值。222( )(33)mmf xmmxm【拓展提高拓展提高】1、已知函数、已知函数，当，当取什么值时，取什么值时， （1）是正比例函数；（是正比例函数；（2）2222)()(mmxmmxfm)(xf是反比例函数；（是反比例函数；（3）在第一象限它的图像是上升的曲线。在第一象限它的图像是上升的曲线。)(xf)(xf【基础精练参考答案基础精练参考答案】4、 【解析解析】 （1）考察幂函数）考察幂函数的单调性，在第一象限单调递增，的单调性，在第一象
8、限单调递增，32 xy 53 53 7 . 15 . 17 . 15 . 1Q5.【解析解析】 因为函数是幂函数，所因为函数是幂函数，所以以当当或或时，函数的图像都不经过时，函数的图像都不经过2102313322mmmmmm或1m2m原点，所以原点，所以或或。1m2m（2）先将负指数化为正指数幂，可知它是偶函数，）先将负指数化为正指数幂，可知它是偶函数，32 32 32 32 25. 1)25. 1( ,2 . 1)2 . 1( Q又又32 32)32 32 )25. 1(2 . 1(25. 12 . 1 【拓展提高参考答案拓展提高参考答案】1.【解析解析】222222010(1)313221
9、010(2)12121212221010(3)1132201313mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 且由题得或且由题得或或或由题得或或2.72.7 函数的图像函数的图像【考纲要求考纲要求】 会运用函数图像理解和研究函数的性质。会运用函数图像理解和研究函数的性质。 【基础知识基础知识】 1 1、函数图像的作法有描点法和图像变换法。、函数图像的作法有描点法和图像变换法。 2 2、描点法作函数的图像的一般步骤是：描点、描点法作函数的图像的一般步骤是：描点连线连线 ，描点法一般在知道函数图像的图像和性质，描点法一般在知道函数图像的图像和性质 的情况下使用。的情况下使用。 3 3
10、、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。 （1 1）平移变换（左加右减，上加下减）平移变换（左加右减，上加下减）把函数把函数的图像向左平移的图像向左平移个个单位，得到函数单位，得到函数的图的图像，像，( )f x(0)a a a()f xa把函数把函数的图像向右平移的图像向右平移个个单位，得到函数单位，得到函数的图像，的图像，( )f x(0)a a a()f xa把函数把函数的图像向上平移的图像向上平移个个单位，得到函数单位，得到函数的图像，的图像，( )f x(0)a a a( )f xa把函数把函数的图像
11、向下平移的图像向下平移个个单位，得到函数单位，得到函数的图像。的图像。( )f x(0)a a a( )f xa（2 2）伸缩变换）伸缩变换把函数把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得倍得 (01)1)( )yf xw1()yfx把函数把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得倍得 ( ( 1)1)( )yf xw( )yf x把函数把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得倍得 (00)(x0)的图象的图象e e2 2 x xf(x)f(x)x x2 22ex2exm m1 1(x(xe)e)2 2m m1 1e e2 2. .其对称轴为其对称轴为 x xe e，开口向下，最大值为，开口向下，最大值为 m m1 1e e2 2. .故当故当 m m1 1e e2 22e2e，即，即 mme e2 22e2e1 1 时，时，g(x)g(x)与与 f(x)f(x)有两个交点，有两个交点，即即 g(x)g(x)f(x)f(x)0 0 有两个相异实根有两个相异实根m 的取值范围是(e22e1，)
