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1、期末复习-函数与导数 3一.选择题1设是集合到集合的映射，若，则为 ( )2:fxxAB 1,2B ABIAB1C或2 D或12若0log2a，121 b ,则( )A1a,0b B1a,0b C10 a,0b D10 a,0b3设函数 1,log11,2)(21xxxxfx ，则满足2)(xf的 x 的取值范围是( )A1，2 B0，2 C1, D0,4.曲线sin1 sincos2xyxx在点(,0)4M处的切线的斜率为( )A1 2 B1 2C2 2 D2 25已知函数 xf的最小正周期是 8，且xfxf44对一切实数x成立，则 xf( )A是偶函数不是奇函数 B是奇函数不是偶函数C既是
2、奇函数又是偶函数 D不是奇函数，也不是偶函数6.设直线xt与函数2( ), ( )lnf xxg xx的图像分别交于点,M N，则当|MN达到最小时t 的值为( )A1 B1 2C5 2D2 27.已知函数1( )lg( )2xf xx有两个零点21,xx，则有( )A1201x x B121x x C121x x D120x x 8已知函数1( )(*)nf xxnN的图象与直线1x 交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为nx，则12013logx22013logx20122013logx的值为( )A1 B 1log20132012C-log20132012 D19已知函数(
3、)f x满足(1)( )f xf x ，且( )f x是偶函数，当0,1x时，2( )f xx，若在区间 1,3内，函数( )( )g xf xkxk有 4 个零点，则实数k的取值范围是( )A (0,) B 1(0, 2C 1(0, 4D 1 1 , 4 310.给出定义：若11 22mxm（其中m为整数） ，则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即 .xm在此基础上给出下列关于函数( ) f xxx的四个命题：11()22f ；(3.4)0.4f ；11()( )44ff；( )yf x的定义域是 R R，值域是1 1, 2 2.则其中真命题的序号是（ B ） ABCD 二.填空题11.已知
4、函数22( )21f xxaxa的定义域为A, 2A,则a的取值范围是 ；12.已知定义域为 R 的函数( )yf x满足(1)f x(1)1f x，且(1)3f，则(2011)f= ；13.已知函数23( )loglog3f xaxbx，若1()22011f，则 f（2011）=_；14.若函数2( )log (3)(01)af xxaxaa且，满足对任意的1x、2x，当221axx时，0)()(21xfxf，则实数a的取值范围为 ； 15.下列说法正确的题号为 集合 A= 2|3100x xx） ，B=|121x axa ，若 BA，则-3a3函数( )yf x与直线 x=l 的交点个数为
5、 0 或 l函数 y=f（2-x）与函数 y=f（x-2）的图象关于直线 x=2 对称a41(，+）时，函数)lg(2axxy的值域为 R与函数2)(xfy关于点（1，-1）对称的函数为fy（2 -x）三.解答题16.若( )f x为二次函数，-1 和 3 是方程( )40f xx的两根，(0)1f（1）求( )f x的解析式； （2）若在区间 1 , 1上，不等式mxxf 2)(恒成立，求实数 m 的取值范围。17.已知函数4( )log (41)xf xkx()kR是偶函数（1）求k的值;（2）设44( )log (2)3xg xaa,若函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共
6、点,求实数a的取值范围18一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池， 池的深度一定（平面图如图所示） ，如果池四周围墙建造单价 为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造 单价为 80 元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造 价最低.19. 已知函数)0( 3ln)(aRaaxxaxf且（）求函数)(xf的单调区间；（）若函数)(xfy 的图像在点)2(, 2(f处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范
7、围取值时，对于任意的 2 , 1t，函数 )( 2)(23xfmxxxg在区间)3 ,(t上总存在极值？20. 已知函数( )lnf xxx（I）求函数( )f x的单调递减区间；（II）若2( )6f xxax 在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点2(,0)Ae作函数( )yf x图像的切线，求切线方程21. 对于三次函数32( )f xaxbxcxd(0)a 定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数( )fx( )yf x( )yfx( )0fx解，则称点为函数的“拐点” ；0x00,()xf x( )yf x定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切
8、实数，都0xR( )yf xx有成立，则函数的图象关于点对称000()()2 ()f xxf xxf x( )yf x00,()xf x己知，请回答下列问题：32( )322f xxxx（1）求函数的“拐点”的坐标( )f xA（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关( )f xA “拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）( )G x( 1,3)期末复习-函数与导数 3 参考答案一、选择题 15：DDDBA610：DAAC 二、填空题11.1,3 12. 1 313 4 14.)32, 1 (15 三、解答题16. 解：（
9、1）设( )4(1)(3),f xxa xx 即( )(1)(3)4,f xa xxx由(0)3411faa 1)(2xxxf（2）由题意：mxxx212在 1 , 1上恒成立，即231mxx在 1 , 1上恒成立设2( )31, 1,1g xxxx ，则)(xg在 1 , 1上递减，min( )(1)1mg xg 17. 解：（1）由函数( )f x是偶函数可知：( )()f xfx44log (41)log (41)xxkxkx 即 441log241xxkx 即2xkx 对一切xR恒成立 1 2k （2）函数( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点即方程4414log (41)
10、log (2)23xxxaa有且只有一个实根 化简得：方程142223xx xaa有且只有一个实根 令20xt ，则方程24(1)103atat 有且只有一个正根 314at ，不合题意； 304a 或3 若31 42at ，不合题意；若132at 一个正根与一个负根，即1011aa综上：实数a的取值范围是 3(1,) 18、解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为 x162米则总造价162802248)16222(400)(xxxxf38880129601002129612960)100(1296129601296001296xxxxxx（元）当且仅当)0(100xxx，即10x时取等号当长
11、为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38 880 元 （2）由限制条件知168110,161620160 xxx设).168110(100)(xxxxg)(xg在16,8110上是增函数，当 8110x时（此时16162x） ，)(xg有最小值，即)(xf有最小值当长为 16 米，宽为8110米时，总造价最低19解：（）由xxaxf)1 ()( 知：当0a时，函数)(xf的单调增区间是) 1 , 0(，单调减区间是), 1 ( ；当0a时，函数)(xf的单调增区间是), 1 ( ，单调减区间是) 1 , 0(；（）由 212af 2a , 223f xlnxx ， 22
12、f xx. 故3232( )( )(2)222mmg xxxfxxxx，2( )3(4)2g xxm x, 函数)(xg在区间)3 ,(t上总存在极值，0)( xg有两个不等实根且至少有一个在区间)3 ,(t内又函数)( xg是开口向上的二次函数，且02)0( g， 0) 3( 0)( gtg由4320)( ttmtg，)(tH432 tt在 2 , 1上单调递减，所以9) 1 ()(min HtH；9m，由023)4(27)3( mg，解得337m；综上得：379.3m 所以当m在)9,337(内取值时，对于任意的 2 , 1t，函数 )( 2)(23xfmxxxg在区间)3 ,(t上总存在
13、极值。20、解：（）( )ln1fxxQ( )0fx得ln1x 10xe 函数( )f x的单调递减区间是1(0, )e； （）Q2( )6f xxax 即6lnaxxx设6( )lng xxxx则2226(3)(2)( )xxxxg xxx 当(0,2)x时( )0g x ，函数( )g x单调递减；当(2,)x时( )0g x ，函数( )g x单调递增；( )g x最小值(2)5ln2g实数a的取值范围是(,5ln2； （）设切点00(,)T xy则0()ATkfx00 002lnln11xxx xe 即2 00ln10e xx 设2( )ln1h xe xx，当0x 时( )0h x ( )h x是单调递增函数 ( )0h x 最多只有一个根，又2 222111()ln10heeee 021xe由0()1
