全国高中数学卷

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1、第 1 页共 10 页2007 年全国高中数学联合竞赛一试试卷 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1. 如图，在正四棱锥 PABCD 中，APC=60，则二面角 APBC 的平面角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 71 7121 212. 设实数 a 使得不等式|2xa|+|3x2a|a2对任意实数 x 恒 成立，则满足条件的 a 所组成的集合是（ ）A. B. C. D. 3，331,3121,2131,413. 将号码分别为 1、2、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同， 其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出 一个球，其号

2、码为 b。则使不等式 a2b+100 成立的事件发生的概率等于（ ）A. B. C. D. 8152 8159 8160 81614. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(xc)=1 对任意实数x 恒成立，则的值等于（ ）acbcosA. B. C. 1D. 121215. 设圆 O1和圆 O2是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都相切，则圆 P 的圆心轨迹 不可能是（ ）6. 已知 A 与 B 是集合1，2，3，100的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数 相同，且为 AB 空集。若 nA 时总有 2n+2B，则集合 AB 的元素个数最多

3、 为（ ） A. 62B. 66C. 68D. 74 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点 A(3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D(1，3) 及一个动点 P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为_。 8. 在ABC 和AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6，若，则与的夹角的余弦值等于33CA2AFACAEABEFBC _。9. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，以顶点 A 为球心，为半径作一332个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_。 10. 已知等差数列an的公差 d 不

4、为 0，等比数列bn的公比 q 是小于 1 的正有理DABCP第 2 页共 10 页数。若 a1=d，b1=d2，且是正整数，则 q 等于_。3212 32 22 1 bbbaaa 11. 已知函数，则 f(x)的最)45 41(2)cos()sin()(xxxxxf小值为_。 12. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格 内，每个小方格内至多填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不 同列，则不同的填法共有_种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13. 设，求证：当正整数 n2 时，an+10 得 2b0(1)，(2)，(

5、3)，由此解得。对求导，01121kxx01121kxx143 kxxy1第 6 页共 10 页得，则，于是直线 l1的方程为211xy2 111| 1xyxx2 211| 2xyxx，即，化简后得到直线 l1的方程为)(11 (12 11xxxyy)(11 ()1(12 111xxxxxy(4)。同理可求得直线 l2的方程为(5)。(4)(5)得12 12)11 (xxxy22 22)11 (xxxy，因为 x1x2，故有(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得022)11(212 12 2xxxxxp 21212 xxxxxpxp=2。(4)+(5)得(7)，其中，)11(2)11(2(2

6、212 22 1xxxxxypp111212121xxxx xx，代入(7)12)1 (212)(2)(112122121 2 22 1212 21 2 22 12 22 1 2 22 1kkxxxxxx xxxxxx xxxx xx式得 2yp=(32k)xp+2，而 xp=2，得 yp=42k。又由得，即点 P 的轨迹为143 k252py(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。15.证明：记，则 f(x)=g(x)+h(x)，且 g(x)是偶2)()()(xfxfxg2)()()(xfxfxh函数，h(x)是奇函数，对任意的 xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x

7、)。令，2)()()(1xgxgxf 202cos2)()()(2kxkxxxgxgxf，其中 k 为任意整 kxkxxxhxh xf 0sin2)()( )(32022sin2)()()(4kxkxxxhxhxf数。 容易验证 fi(x)，i=1，2，3，4 是偶函数，且对任意的 xR，fi(x+)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的 xR，有 f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，2kx2kx因为，而2)()()(cos)()(121xgxgxfxxfxf，故对)()2()2() 1(223()23()(xgkgkgkkgkgxg任意的 xR，f1(x)

8、+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的 xR，有 f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当 x=k 时，h(x)2kx =h(k)=h(k2k)=h(k)=h(k)，所以 h(x)=h(k)=0，而此时 f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故 h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，2kx第 7 页共 10 页，故)()2()2() 1(223()23()(xhkhkhkkhkhxh，又 f4(x)sin2x=0，从而有 h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。)(2)()(sin)(3xhxhxhxxf于是，对任意的

9、 xR，有 f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。第 8 页共 10 页2007 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午 10：0012：00） 一、 （本题满分 50 分）如图，在锐角ABC 中， ABAC，AD 是边 BC 上的高，P 是线段 AD 内一点。过 P 作 PEAC，垂足为 E，做 PFAB，垂足为 F。O1、O2分别是BDF、CDE 的外心。求证： O1、O2、E、F 四点共圆的充要条件为 P 是ABC 的垂心。二、 （本题满分 50 分）如图，在 78 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如 果两个棋子所在的小方格共边或

10、共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取出一 些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少 取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。三、 （本题满分 50 分）设集合 P=1，2，3，4，5，对任意 kP 和正整数 m，记 f(m，k)=，其中a表示不大于 a 的最大整数。求证：对任意正整数 n，存在 kP 和正 5111iikm整数 m，使得 f(m，k)=n。O2 O1FEPDABC第 9 页共 10 页2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、证明：连结 BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因 为 PDBC，PFAB

11、，故 B、D、P、F 四点共圆，且 BP 为该圆的直径。又因为 O1是BDF 的外心，故 O1 在 BP 上且是 BP 的中点。同理可证 C、D、P、E 四点 共圆，且 O2是的 CP 中点。综合以上知 O1O2BC，所 以PO2O1=PCB。因为 AFAB=APAD=AEAC，所 以 B、C、E、F 四点共圆。 充分性：设 P 是ABC 的垂心，由于 PEAC，PFAB，所以 B、O1、P、E 四点共线， C、O2、P、F 四点共线，FO2O1=FCB=FEB=FEO1，故 O1、O2、E、F 四点共圆。 必要性：设 O1、O2、E、F 四点共圆，故O1O2E+EFO1=180。 由于PO2

12、O1=PCB=ACBACP，又因为 O2是直角CEP 的斜边中点，也就是CEP 的外心，所以PO2E=2ACP。因为 O1是直角BFP 的斜边中点，也就是BFP 的外心， 从而PFO1=90BFO1=90ABP。因为 B、C、E、F 四点共圆，所以 AFE=ACB，PFE=90ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180得 (ACBACP)+2ACP+(90ABP)+(90ACB)=180，即ABP=ACP。又因为 ABAC，ADBC，故 BDCD。设 B是点 B 关于直线 AD 的对称点，则 B在线段 DC 上且 BD=BD。连结 AB、PB。由对称性，有ABP=ABP，从而ABP=ACP，

13、所以 A、P、B、C 四点共圆。由此可知PBB=CAP=90ACB。因为PBC=PBB， 故PBC+ACB=(90ACB)+ACB=90，故直线 BP 和 AC 垂直。由题设 P 在边 BC 的高 上，所以 P 是ABC 的垂心。二、解：最少要取出 11 个棋子，才可能满足要求。其原因如 下： 如果一个方格在第 i 行第 j 列，则记这个方格为(i，j)。 第一步证明若任取 10 个棋子，则余下的棋子必有一个五子连 珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。 用反证法。假设可取出 10 个棋子，使余下的棋子没有一个五 子连珠。如图 1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子， 后三列

14、的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10 个被取 出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性， 也不会分布在其他角上的阴影部分。第 1、2 行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、 (1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取 出 2 个棋子。在第 1、2、3 列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、 (4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、 (4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(

15、5，8)所在区域内至少取出 3 个棋子。这样，在这 些区域内至少已取出了 10 个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于 、这 4 个棋子至多被取出 2 个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。BO2 O1FEPDABC第 10 页共 10 页图 1图 2 第二步构造一种取法，共取走 11 个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图 2，只要取出有标 号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述，最少要取走 11 个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。三、证明：定义集合 A=|mN*，kP，其中 N*为正整数集。由于对任意 k、iP 且1kmki，是无理数，则对任意的 k1、