《dfs[高考]2009年清华大学自主招生数学试题简解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《dfs[高考]2009年清华大学自主招生数学试题简解（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中学数学杂志2 0 0 9年第 5期 2 0 0 9年清华大学 自主招生数学试题简觎 山东淄博第一 中学 2 5 5 1 0 0 孙书娥 李 敬 高校 自主招 生考 试数 学试 题 材 料鲜 活 ， 内容 丰 富， 灵活， 反映了高校对学生数学素养、 数学能力的 关注， 试题以解答题型为主， 也有类似高考题样式， 总体难度略高， 考出了学生在平时的知识积累， 和解 决问题的能力下面针对2 0 0 9 年清华大学 自主招生 数学试题给以简单解答 ， 个人简解 ， 作为交流 ， 欢迎 广大师生批评指正 例 l 的整数部分为 A， 小数部分 B； 一 1 ( 1 ) 求A 、 B ； ( 2 ) 求
2、A + + A ； ( 3 ) 求当凡 _ + 时 ， S =B+B +B +日 的极限 解 = = = 吾 ,5 1 珥 4 z + = 2 +字 一 号 ，而 0 1 ， 则 +y 2 “ 1 1 2 卜 ( nZ ) 否 贝 4令 = c o s ，Y = s i n ，贝 0 = 1 + c o s 2 l e o s 2a ；_， Y ； _， 于是 z n +y ：( ) z +( ) z n =二 + c c 0 s 2 + c ； c o s 2 + + c ； ： 一 C O S 一 2 a+c 22 n c o s 2 2 a+ c + c ( 一 c o s 2 c )
3、+ c ； ( 一 e o s 2 a ) + +c ； ： ( 一 c o s 2 c ) I 1 +c 22 n ( 一 c o s 2 a ) = ： 1 ( 2 c 1 + 2 c ；c o s 2 + 2 c o s 4 2 + + 2 2 n c 0 s 2 ) =2 1 - 2 n ( 当且仅当 C O S 2 O l =0 ， 即 =Y- 时取等号) 综上 ， 若 +Y=1 ， 对于任意正整数 n ， 均有 +y 2 2 一 ： ( 2 )因为 口 ， b ， c ， ， y ， 均大于 0 ， 满足基本不等 式 口+b+c3 0 6 c ， 所以 号+ + 3 = 3 ( 当
4、 且 仅 当 旦： Y z 、 x y z 号= C 时 取 等 ， 即 口 = ， 6 ： y ，c = z 时 取 等 ) 分析 此题 旨在考查 同学们三角 以及均值不 等式的应用 例 3 请写出所有三个数都是质数 ， 且公差为 8 的等差数列 ， 并证明之 解 不妨设三个数分别为 口， 0+8 ， 口+1 6 ， 由8=3 X 2+2 ， 1 6=35+1 ， 若 口=3 n+1 ( nN ) ， 贝 0 口+8=3 n+1+3 X 2+2=3( n+3 )爿 E 质数 ， 若 口=3 n+2 ( 凡N ) ， 贝 0 0+1 6=3 n+2+ 3 X 5+1=3 X( +6 )非质数
5、， 所 以n只能是3 n 形式， 而口也是质数 ， 故口=3 ， 此时三数为 ： 3 ，1 1 ，1 9 例4过椭圆左顶点 做直线 ， 交椭 圆于P， 交 Y 轴于 ， 再 过原点做其平行线 ， 交椭 圆于 q， 求证 ： A R、 4 g o o、 P成等比数列 证明 如图 1 ， 设椭圆方程为 + =1 ( 口 f ； 1 b0 ) ， 则 A ( 一a ， 0 ) ， 设 P ( 。 ， Y 0 ) ， Q ( 1 ， Y 。 ) ， ( 1 )当 P斜率不存在时， 显 然 ， P、 Q、 R三点均不存 在 ， 不合 题意； ( 2 ) 当A P斜率存在时， 不妨 设 为 k ， +yo
6、 ：1 + 6一 + ： l j + ：一 一： n+ a l J A = ； 尸Q 、 图 1 于 是 ： 6 +a 2 y =a 2 b b 2 x +a 2 y ；=a 2 b Y l： 代入 得： 6 +n - ) =。 6 ， a2 b 。 ( o+ ) b ( +0 ) 。+a 2 ， ， o2一 2 2 2 a b a 2 b 6 2 + 0 + 0 + 式代人 化简得： = 1 口 ( + 口 ) 2 = a ( x o+a ) 因为 0( 一a ， a ， 所以 +a0， 又因为： I A P l = 1+k I o 一( 一a ) I ， I O Q I= 1+ I x l
7、 I ， l A R I = 、 _ 由 式知 ： 2 l O Q I =I A P 1 1 A R I ， 所以A P、 D Q、 A R成等 比数列 分析 本题借助弦长公式 I A 曰I =, 1 +k l 一 I 中斜率相等的情况下 ， 弦长和自变量之间的 关系 例 5 s i n t +c o s t=1 ， S=c o s t +i s i n t ， 求_厂 ( )= 1+ S + S + S 。+ + S 解 由s i n t +c o s t=1 两边平方得 1 +2 s i n t c o s t 1 ， 所 以 0 n c os t 。0cos t s l nt， L ：l
8、 L ：l 当 S = c o s t+i s i n t I c o s t S = c o s t+i s i n t 6 2 =1 t )=n+1 ， + 当 n=4 k ， kN 时 ， 厂 ( ) =1 ， 当 n=4 五+1 ， kN 时 ， t ) =1+i ， 当 n=4 k+2 ， kN时 ， 厂 ( t )=i ， 当 17 , =4 +3 ， kN 时 ， )=0 例6 一个四面体A B C D中， A B =C D， A C = B D， A D =B C， 求证 ： ( 1 )四个面都是锐角三角形； ( 2 )同一个面上三个二面角分别为 ， ， ， 证 明 C O S
9、 O +e o +c o s T 1 证明 如图 2 此题关键在 于如何构造 四面体 A B C D， 使其 对棱相等， 以 a ， b ， C为边长建立 长方体 ， 取各面对角线构成 四面 体 A 】 B C 】 D，其 中 A l B = C l D， Al Cl： BD， Al D = BCl ； 图 2 ( 1 ) 任取四面体A 。 B C D中 一个面， 如 ： 在 A B D中， 因为A B ：A A + A B = c。 + a ，A1 D。 = AA + AD。 = c + b ，BD。 = AB + AD = a2+ b 所以Al +A l D 。B D 。 ， A l D
10、。+B D。A l B 。 ， BD +A1 B Al D ， 即 A 。 B D各角均为锐角 ， 所以 4 。 B D是锐角 三 角形 同理 ， 其他各面亦为锐角三角形 ( 2 ) 作 B l 上A I c l ， Dl ， 上Al c l ， 且分另 0 交A l C 1 于 、 N； 因为 B B I上面 A B 1 C l D ， D D 上面 A l 1 C l Dl ， 所 以 B M 上A C i ， D N 上A J C J ， 于是取 =， 即二面角 B一|4 l C 1 一 J D的平面角， 记 B MB 1=0 ， 则 Z _ D N Dl= _ B MB ：0 ， 因为
11、二面角 B 。 一A C 一D。 是平角为 订， 所以O t ： 订 一2 在 R t X B MB】 中， B B l=c ， B1 M = ， 所 以 t a n O C 一= ab lI a C +D a b C O S O =C O S ( 订一2 0 )=一c o s 2 0=一 口2 c2 +b c 一 0 b f z 2 c 2 +6 c +n b 类似地， 1 t a n 2 0 1 + t a n 2 0 记 为 二 面 角 B 。 D C ，则 c o = a 2 c 2+ 0 b 一 b c =i f )=1+i +i +i + n 2 c +6 c +a 2 b 。 ，
12、 ， 、 L 南 一 ： 中学数学杂志2 0 0 9年第 5期 琵 馁 彩 g ： 五 蕴 记 为 二 面 角 DC lAl ，则 e o s ) l= b c + 口 6 一 2 2 C 2 n2 c2+ 6 c + 0 6 ， l 2 T 2 故c o s + c o + c o s y=竿 + “C 1_ 0 1 U ， 口2 c2+ 0 6 一 b c 6 c + n b 一 a2 c + L 分析 此题将等腰四面体 ， 拓展为长方体， 借 助平面角作差 ， 得出所求二 面角 ； 利用三角函数化 简避免了向量方法中讨论二面角是否为钝角的情 况 ； 关于等腰四面体的几个等价命题 ： (
13、1 )各顶点处 的各面角之和为 1 8 0 。 ； ( 2 )各 面 周长均相等 ； ( 3 )各面面积相等； ( 4 )外接球与内切 球同心； 均是一个 四面体成 为等腰 四面体的等价条 件 简单结论 ( 1 ) 等腰四面体各面均为锐角三角 形 ； ( 2 )等腰 四面体的四条高线长相等 ； ( 3 ) 等腰 四 面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等 常用方法 由长方体各面对角线构造等腰 四 面体 ， 类似于 由正方体构造正四面体 例 7 求证 ： 一个数列 ， 口 2 ， 0 3 ， 口 + 中各数 相等的充分必要条件是 P ： 其中任意 2 几个元素 中 7 , 个元素之和等于另外
14、, 个元素之和 证明 一个数列 口 l ， 0 2 ， 口 3 ， + l ， P： 其中任意 2 n个元素 中 n个元素之和等于另 外 n个元素之和； g ： 各数均相等 “g ” ： 若满足 q ， 则数列 a l ， a 2 ， 口 3 ， 0 2 中 各数均相等 ， 所以任意从中取 2 n个元素 ， 不论如何 安排 ， 其中 ir l, 个元素之和一定等于另外 n个元素之 和 “p g ” ： 若满足P ， 则假设此2 凡+1 个元素之中， 至少有一个与其他元素不同， 我们将此 2 n+1 个元素重新按从小到大顺序排 列 ， 记为 b l b 2 6 3 b b l ， 即 6 2 一b l0 ， 所以 B 2一B tb 2 州 一b 10 与 P矛盾 综上 ， 数 列 a 。 ， 8 ， c t ， ， 口 ： 川 中各数相等的充 分必要条件是满足条件 P， 即其 中任意 2 n个元素中 iq , 个元素之和 =另外 n个元素之和 例8 求证： 当P ， q 都为奇数时， ) ， = 一 2 p x+ 2 q与 轴交点
