刍议数学命题的非形式化解法及功能

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1、2014 年第 12 期 福建中学数学 1 任勇数学教育文集三部之三：任勇数学教育文集三部之三：“微观卷微观卷”探索数学解题的奥秘（探索数学解题的奥秘（12） 通法特法不可偏废 通法特法不可偏废 （发表于考试报 ，海南省考试局主办，1993 年 5 月 28 日） 任 勇 福建省厦门市教育局（361003） （发表文章时为福建省龙岩第一中学教师） 通法，是指解题中的一般方法特法，是指解 题中的特殊技巧特殊技巧应该建立在一般方法基 础上，但两者相辅相成，不可偏废具体解题时， 应因题而异通法使人深刻，特法使人灵活 例例 1 已知(1)(2)nan nn=+=，求nS 特法特法 11(1)2nkkn

2、 n=+， 211(1)(21)6nkkn nn=+，321(1)2nkn nk=+=， 1(1)(2)nn kSk kk=+321(32 )nkkkk=+3211132nnnkkkkkk=+=? 通法通法 (1)(2)nan nn=+ 1 (1)(2)(3)(1) (1)(2)4n nnnnn nn=+， 1(1 2 3 40 1 2 3)4nS= (2 3 4 5)(1 2 3 4)+ +? (1)(2)(3)(1) (1)(2)n nnnnn nn+ 1(1)(2)(3)4n nnn=+ 这里，通法优于特法 用通法类似地可处理更一般的问题，得到：11(1)(1)(1)()1nkk kkm

3、n nnmm=+=+? 通法使人“深刻”地认识一类问题的解法 例例 2 求复数34i+的平方根 通法通法 23334i5cos(arccos )isin(arccos )55x =+=+， 33arccos2 arccos2 555(cosisin)22kk x+ =+ (0 1)k =， 113135cos(arccos )+isin(arccos )2525x = 215(i)2i55=+=+， 213135cos(arccos )isin(arccos )2525x =+ 215(i)2i55= 特法特法 1 设34i+的平方根为()abi a b+R， 则有223 24abab=， ，

4、2 1a b=， ，或2 1a b= = ， ，34i +的平方根为2i+与2i 特法特法 2 22234i22 2 i+i(2i)+=+ =+， 34i +的平方根是(2i)+ 这里，通法冗长繁琐，而特法简洁明快! 特法使人灵活地运用各种知识进行解题 下面这道题，是否有通法或特法，读者不妨解 解看，究竟哪种方法更优越 已知1z，2z为复数， 且|12| | 1zz=，12| 2zz=，求12|zz+=的值 刍议数学命题的非形式化解法及功能 刍议数学命题的非形式化解法及功能 熊成华1 陈永建2 1 福建省松溪县中等职业技术学校（353500） 2 福建省建瓯市教师进修学校（353100） 教育

5、部制订的普通高中数学课程标准(实验)所倡导课程基本理念的第 7 条是“强调本质，注意适2 福建中学数学 2014 年第 12 期 度形式化” 笔者注意到，在基础教育层面上提及“形式化” 早已有之：1992 年，陈重穆、宋乃庆首先提出了“淡 化形式， 注重实质”这样一个观点， 认为“在数学教学 中，(1)要淡化文字叙述；(2)要淡化形式追求，允许 非形式化，注重对实质的理解”这实际上也就使得 “非形式化”这一概念客观上进入了基础教育的教 学之中，也使得关于“形式化”与“非形式化”的 讨论为诸多基础教育工作者所关注 基于研究的视角，本文只是试图通过实例来解 读非形式化解题的策略方法带来的益处与其不

6、可缺 性，以及由此可能产生的数学教育上的意义，为相 关人士提供一些参考 1 国内高考题中的非形式化解法国内高考题中的非形式化解法 例例 1 (1998 年高考全国卷理 10) 向高为H的水瓶中水，注满为止如果 注水量V与水深h的函数关系的图象如 图 1 示，那么水瓶的形状是（ ） （被 选项省略） 非形式化思路：非形式化思路：由图象可以看出，随着h的匀速 增大，v的变化是先快后慢，也就是体积的积累速度 是先快后慢，对照着不同形状瓶子，答案即得 形式化思路：形式化思路：写出函数表达式，注重严密的形 式化地推理，这是最糟的思路，效率极低 本题考查功能体现在：运用动态的、灵活的形 象思维，并且对有关

7、函数知识和生活现实有着深刻 认识，才能创造性地解决本题 本题是一道非常新颖的高考题，它不完全是考 学生严密的逻辑推理能力但这一类的高考题在近 些年来却是少有出现，令人遗憾 2 美国美国 SAT 考试中的非形式化解法考试中的非形式化解法 在国外的一些大型考试中非形式化思维考查是 很常见的， 非形式化解题是被允许的， 如美国的 SAT 考试，就提出了允许的 17 个非形式化的解题策略， 我们不一一述说，仅举两例（两个策略） （1）策略 5（TACTIC 5）提出从中间答案开始 试着选择（Test the Choices， Starting with C)方法 例例 2 （美国高考 SAT 题例）如

8、果五个连续偶数 的和是 740，其中最大的数是（ ） A156 B152 C146 D144 E142 非形式化思路：非形式化思路：试着取居中答案 C146 当作最 大数，则其它四个分别是 144，142，140，138，很快求出它们的和是 710；从 710 比 740 小，可以排除 答案 C，D，E；如果你注意到 710 比 740 小 30，你 将会意识到那五个数必须同时增加 6， 这样最大的数 就是 152（答案 B） ；如果你没有意识到，再试 152 也可得到答案这是 SAT 要求学生掌握的一种解题 策略 形式化思路：形式化思路：设最大数为n，列方程(2)nn+ (4)(6)(8)7

9、40nnn+=，也容易解出 这题给出了让两种层次的学生都能解出该题的 两个方法，对于数学功底较好的学生能用形式化方 法解出，但对于数学功底很差的学生通过积极的思 维努力也有希望能非形式化的办法得到答案两种 解题的思维能力不能说有高下之分，只是运用的数 学知识是有层次之分的数学教育的本质是培养学 生的思维能力，从这点出化，该题的教育功能（不 管从形式化解法还是非形式化解法） 这一“本质”都达 到了，这应该就是“淡化形式，注重本质”的体现 （2）策略 3（TACTIC 3）提出动手画真实图， 然后用自己的眼睛观察的方法 例例 3 （美国高考 SAT 题例）如图 2 在一个正三 角形XYZ中，如果改

10、变图形让XYYZZX，下面 那一个说法是正确的： 图 2 图 3 A60x B60z Cyz Dxz Eyx 非形式化思路：非形式化思路：如果不知大边对大角这一规律， 也没有关系，动手画一个切合实际（满足题目条件 所述）的图（图 3） ，用眼睛容易看出 A 为答案 形式化思路：形式化思路：只能是运用大边对大角这一公理， 更深的形式化数学知识学生没有触及 本题两种解法比较，非形式化解法需要有思维， 而形式化的思路只需要知识不需要思维其实本题 的功能目的也只是在于训练或考查学生思维能力 对于例 2 的非形式化解题方法，其实质就是规 化一种合理的解题程序以利高效地求解，这种思维 模式迁移到生活和工作

11、中很有用处 对于例 3 的这种非式化解题在我们的数学教学 中时常是被老师禁止的，但在美国则被作为一种被 允许的方法，其中原因应该是基于这类题研究对象x y z xyzOHhv图 12014 年第 12 期 福建中学数学 3 原本就是“图”这一事实，它包含一种直观的行动思 维 这两道例题的解法重视的都是“思维”这一本质要 素 3 我国公务员考试中的非形式化解法我国公务员考试中的非形式化解法 例例 4 （2007 年山东中公试题）甲、乙、丙、丁 四人共做零件 325 个如果甲多做 10 个，乙少做 5 个，丙做的个数乘以 2，丁做的个数除以 3，那么， 四个人做的零件数恰好相等问：丁做了多少个？

12、A180 B158 C175 D164 非开式化思路：非开式化思路：根据“丁做的个数除以 3”，说明 丁所做的总数能被 3 整除，只有 A 符合要求 形式化思路：形式化思路：由题意可设四人做零件个数分别 为10a；5a+；/ 2a；3a它们的和(10)(aa+ 5)( / 2)3325aa+=，所以3180a =，答案为 A 或根据题意列方程 325 10523+=甲 乙丙丁=， 甲乙丙丁，解得丁180 个 这题的两种思路对比，在解题效益上是有天壤 之别，但非形式化思路是需要直觉的，没有平时很 好的思维练习，很难感悟出该题答案的特列殊性， 从而也就难想到其解法；而形式化思路中，方程组 方法最为

13、繁琐，列一次方程略为简单，从思维过程 来说正好相反，前者思维量小，后者思维量大 例例 5 （2006 广东中公试题） 已知甲的 13%为 14， 乙的 14%为 15，丙的 15%为 16，丁的 16%为 17， 则甲、乙、丙、丁四个数中最大的数是： A甲 B乙 C丙 D丁 非形式化思路：非形式化思路：只要比较14 13、15 14、16 15、17 16的大小即可，由14111313= +，15111414= +可知甲大于乙，依此类推其它，得出最大数为甲 形式化思路：形式化思路：求出甲、乙、丙、丁各数，比较 后而得 本题非形式化解法体现对数学规律的掌握（或 者说感悟） ， 并加以简化， 体现

14、了思维的展开与浓缩， 思维量大；而本题形式化思路体现按部就班的思维 过程，若仅从这一种思路考虑，该题是一个很低层 次且无趣无意义的题，计算起来也耗时 从例 4 的非形式化解法看有类似 SAT 的解题策 略，从题的特殊性入手，巧夺天工，是辩证思维的 一种体现而例 5 主要用到转化的方法，虽然非形式化不是那么明显，但思维的跳跃性强一些，辩证 的成份是多一些的我国公考所采用的数学试题大 多源于中国传统的算术内容，其解法技巧性、灵活 性强些，而形式化少在测试考生的思维灵活性上 具备很好的考查功能 4 思考与总结思考与总结 长期以来在我们的数学教育活动中已经将“形式 演绎”的严格性提高到“过分”的程度，过犹不及数 学命题也受其影响，这样很大程度上缩小了对思维 的考查功能，弱化了全面培养学生思维的导向作 用这非常不利于青少年的思维正常发展 从国内外的数学教育改革实践可以证明，进行 非形式化思维培养教学，首先有助于数学底子弱的 学生，原因是这种非形式化思维可以使数学易于理 解；其次，长期以来过多的形式化数学内容滞结了 一些学生的思维，导致他们的数学认识获取不到生 长点，而非形式化教学在一定程度上可以改变这一 局面；再次，非形式化的教学，可以满足学生创造 过程的需要因此在中高考数学命题中要有非形式 化解题的导向，如在好的非形