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1、2015 永州国家公务员考试行测：浅析历年国考行测中的小题型永州国家公务员考试行测：浅析历年国考行测中的小题型-剩余问题剩余问题在古书孙子算经中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。我们称这类问题为孙子问题。类似问题在公务员考试行测中也会考到，考生们也要对其进行全面了解。一、剩余问题的基础解法【例 1】 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2。求满足条件的最小自然数。【中公解析】这道例题就是孙子算经中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解
2、答。那么，我们能不能先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢?我们试试看。满足“除以 3 余 2”的数，有 2，5，8，11，14，17，在上面的几个数字中再找满足“除以 5 余 3”的数，这个数就是 8，8 是同时满足“除以 3 余 2”、“除以 5 余 3”两个条件的数，容易看出，8 再加上 3 与 5 的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有8，23，38，53，68，在上面的数中再找满足“除以 7 余 2”的数，可以找到 23，23 是同时满足“除以 3 余2”、“除以 5 余 3”、“除以 7 余 2”三个条件的数。23 再加上或减去 3
3、，5，7 的公倍数，仍然满足这三个条件，3，5，7=105，因为 23105，所以满足这三个条件的最小自然数是 23。在例 1 中，若找到的数大于3，5，7，则应当用找到的数减去3，5，7的倍数，使得差小于3，5，7，这个差即为所求的最小自然数。二、剩余问题的特殊情况(1)余同(余数相同)加余【例题 2】某校二年级全部共 3 个班的学生排队，每排 4 人，5 人或 6 人，最后一排都只有 2 人，这个学校二年级有( )名学生。A.120 B.122 C.121 D.123【答案】B【中公解析】由题意可知该校二年级的学生人数除以 4、5、6 均余 2，余数相同，属于余同，因此该班学生人数满足通项
4、公式 N=60n+2 ，(n=0，1，2，3)，当 n=2 时，N=122，选择 B 项。注：n 前面的系数 60 是取 4、5、6 三个除数的最小公倍数。(2)和同(除数和余数的和相同)加和【例题 3】某个数除以 5 余 3，除以 6 余 2，除以 7 余 1，求在 0 至 500 内满足这样的自然数有多少个?A.3 B.2 C.4 D.5【答案】A【中公解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为 8，则该自然数应满足 N=210n+8(n=0，1，2)因此在 0 至 500 以内满足题干条件的自然数有 8，218，428三个数。注：n 前面的系数 210 是取 5、6、7 三个除数
5、的最小公倍数。(3)差同(除数与余数之差相同)减差【例题 4】三位运动员跨台阶，台阶总数在 100-150 级之间，第一位运动员每次跨 3级台阶，最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶，最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶，最后一步还剩 4 级台阶。问：这些台阶总共有多少级?A. 119 B. 121 C. 129 D. 131【答案】A【中公解析】通过观察我们会发现除数与余数的差均为 1，因此台阶数满足：N=60n-1(n=1，2，3)，可发现 A 项满足该通项公式。三、剩余问题的特殊情况用同余特性解题【例题 5】三位数的自然数 P 满足：除以 3 余
6、2，除以 7 余 3，除以 11 余 4，则符合条件的自然数 P 有多少个?A.5 B. 4 C. 6 D. 7【答案】B【中公解析】此题不满足我们前面所讲的特殊情况，但是通过观察我们发现，P 满足除以 3 余 2，除以 7 余 3 两个条件时，在 P 的基础上加上 4，即(P+4)这个数一定是能够被3 整除以及被 7 整除的，因此(P+4)=21n，所以 P=21n-4，得到的这个通项公式再与除以 11 余 4 进行找通项公式。该自然数 P=21n-4=11a+4，等式左边都是被 11 除，等式左边的余数为 10n-4，等式右边的余数为 4，我们知道一个数被 11 除余 4，也可以认为这个数被 11 除余 15，或被 11 除余 26 等。根据同余特性可知，等式左边的余数 10n-4 应与等式右边的余数 4，15，26 等数值相等。因为 n 要取整数，所以取 10n-4=26 可以得到 n=3 代入式得到 P=59，所求的 59 这个数是满足题干三个条件的最小数，所以，满足题干三个条件的数 P=231n+59(n=1，2，3)，所以在三位数以内的数有 290，521，752，983 四个数。选择 B 项。中公教育专家相信考生通过以上讲解一定能对剩余问题有更深刻、全面的认识，同时提高做题效率，提升行测分数。
