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1、12.2.函数与导数函数与导数1 函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多问题 1 设A0,1,2,4，B，判断下列对应关系是否是A1 2，0，1，2，6，8到B的映射(请在括号中填“是”或“否”)f：xx31( ) f：x(x1)2( )f：x2x1( ) f：x2x( )答案 否 否 是 否2 求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题 2
2、函数y的定义域是_log12x2答案 (0，1 43 用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题问题 3 已知f(cos x)sin2x，则f(x)_.答案 1x2(x1,1)4 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题 4 已知函数f(x)Error!则f_.f(1 e)答案 1 e5 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响问题 5 f(x)是_函数(填“奇” “偶”或“非奇非偶”)lg1x2 |x2|2答案 奇解析 由Error!得定义域为(1,0
3、)(0,1)，2f(x).lg1x2 x22lg1x2 xf(x)f(x)，f(x)为奇函数6 弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)的定义域中含有 0，则必有f(0)0.故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件问题 6 设f(x)lg是奇函数，且在x0 处有意义，则该函数为( )(2 1xa)A(，)上的减函数B(，)上的增函数C(1,1)上的减函数D(1,1)上的增函数答案 D解析 由题意
4、可知f(0)0，即 lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函数f(x)的定义域是(1,1)，1x 1x在此定义域内f(x)lg lg(1x)lg(1x)，1x 1x函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2是增函数选 D.7 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“， ”隔开单调区间必须是“区间” ，而不能用集合或不等式代替问题 7 函数f(x) 的减区间为_1 x答案 (，0)，(0，)8 求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数
5、(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)分离常数法：适合于一次分式(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子无论用什么方法求最3值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域问题 8 函数y(x0)的值域为_2x 2x1答案 1 2，1)解析 方法一 x0，2x1，1，y 1y解得 y0)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.1 fx问题 10 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x2)，若当 20 且a1，b
6、0 且b1，M0，N0.则 loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，M NlogaMnnlogaM，对数换底公式：logaN.logbN logba推论：logamNn logaN；logab.n m1 logba(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)问题 12 函数yloga|x|的增区间为_答案 当a1 时，(0，)；当 01 时，在第一象限内，图象是下凸的(2)增减性：当0 时，在区间(0，
7、)上，函数yx是增函数，当0.又函数yg(x)的图象是一条连续曲线，函数f(x)在区间(1,2)内有零点因此方程f(x)0 在(1,2)内必有实数根15求导数的方法基本导数公式：c0 (c为常数)；(xm)mxm1 (mQ Q)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ex)ex；(ax)axln a；(ln x) ；(logax)1 x(a0 且a1)1 xln a导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)(u v)uvuv v2复合函数的导数：yxyuux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则6(f(axb)f(u)a.问题 15 f(x)，则f(x)_.ex
8、 x答案 exx1 x216利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，b0)，b a1 xb a7axdx| .b aax ln a b a问题 18 计算定积分 (x2sin x)dx_.11答案 2 3解析 (x2sin x)dxError! .11112 3易错点 1 函数概念不清致误例 1 已知函数f(x23)lg，求f(x)的定义域x2 x24错解 由0，得x2 或x2 或x0，即x24，t34，即t1.x2 x24f(x)的定义域为x|x1易错点 2 忽视函数的定义域致误例 2 判断函数f(x)(1x
9、)的奇偶性1x 1x错解 因为f(x)(1x)，1x 1x1x 1x1x21x2所以f(x)f(x)，1x21x2所以f(x)(1x)是偶函数1x 1x找准失分点 对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，或f(x)f(x)正解 f(x)(1x)有意义时必须满足010.73 Blog0.50.4log0.50.6C0.750.1lg 1.4答案 C解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于 A，构造幂函数yx3，为增函数，故 A 对；对于 B、D，构造对数函数ylog0.5x为减函数，ylg x为增函数，B、D 都正确；对于 C，构造指数函数y0.75
10、x，为减函数，故 C 错104 函数f(x) log2x的一个零点落在下列哪个区间( )1 xA(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案 B解析 根据函数的根的存在性定理得f(1)f(2)f(0)0，x(0，)，y1，故选 C.x sin x6 对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR R，cZ Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A4 和 6 B3 和 1C2 和 4 D1 和 2答案 D解析 f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc，且c是整数，f(1)f(1)2c是偶数在选项中只有 D 中两数和为奇数，不可
11、能是 D.7 已知f(x)Error!则f的值为_(5 6)答案 1 2解析 ff1(5 6)(5 61)f1sin1(1 6)( 6)11 1 .1 21 28 若函数f(x)是定义在 R R 上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)1 时，两个函数图象的交点只有一个所以实数a的取值范围是(1，)10已知函数f(x)Error!为 R R 上的单调函数，则实数a的取值范围是_答案 1,0)解析 若a0，则f(x)在定义域的两个区间内都是常数函数，不具备单调性；若a0，函数f(x)在两段上都是单调递增的，要想使函数在 R R 上单调递增，只要(a2)e01，即a1，与a0 矛盾，此时无解；若20x2，f(x)0；当x1 时，h(x)0.所以当x1 时，h(x)取得极大值也是最大值，h(x)max2，所以a2.所以a的取值范围是2，).
