对2007年高考数学试题立体几何部分的评析

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1、复 习 考 试对 2007 年高考数学试题立体几何部分的评析合肥工业大学附属中学 邹杨枝 王邦龙 ( 邮编: 230009)1 考点分析 立体几何是高中数学的重要模块之一, 它既有自身的独立地位, 也可与代数、 三角、 向量等主干知识相关联. 立体几何主要培养学生的空间想象能力、 逻辑思维和逻辑推理能力, 同时也与函 数与方程、 特殊与一般、 归纳与证明、 分类讨论等数学思想方法相结合, 故立体几何在全国各地高考试题中的地位不可撼动, 试题分量与分值历年 保持相对稳定.2007 年全国各地的高考试卷中立体几何分布情况(理科)卷型 题号(分值)考点分析安徽2( 5) 8( 5)线线垂直、 线面垂

2、直; 球面距离17( 14)两直线共面; 平面与平面垂直; 二面 角北京3(5)线线垂直与线面垂直16(14)平面与平面垂直; 异面直线所成的 角; 直线与平面所成的角福建8(5) 10( 5)直线与平面平行与垂直; 两点的球 面距离18(12)直线与平面垂直; 二面角; 点到平面 的距离广东12(5)异面直线概念19(14)棱锥体的体积; 异面直线所成的角海、 宁12(5)棱柱、 棱锥的体积18(12)直线与平面垂直; 二面角湖北4(5)直线在平面内的射影概念; 直线与 直线垂直18(12)平面与平面垂直; 直线与平面所成 的角湖南8(5)两点的球面距离18(12)平面与平面垂直; 直线与平

3、面所成 的角江苏4(5) 14(5)两直线平行与垂直; 点到平面的距 离18( 12)四点共面; 直线与平面垂直; 二面角江西7( 5)直线与平面垂直; 两异面直线所成 的角20( 12)直线与平面平行; 二面角; 几何体体 积辽宁7(5) 15(4) 线面平行与垂直; 球的体积18( 12)直线与直线垂直; 点到平面的距离全国7( 5)两异面直线所成的角19( 12)两直线垂直; 直线与平面所成的角全国7(5) 15(5)直线与平面所成的角; 球内接四棱 柱的表面积19( 12)直线与平面平行; 二面角山东3( 5)三视图19( 12)直线与平面平行; 二面角陕西6(5) 11(5) 三棱锥

4、体积; 点线间的距离19( 12)直线与平面垂直; 二面角上海10( 4)直线的射影、 直线位置关系16( 12)直线与平面所成的角四川4(5) 6(5) 14( 5)直线与直线、 直线与平面的位置关 系; 球面距离; 直线与平面所成的角19( 12)平面与平面垂直; 二面角; 三棱锥体 积天津6(5) 12(4) 直线与平面平行、 垂直; 球的表面积19( 12)异面直线垂直; 直线与平面垂直; 二 面角浙江6( 5)两直线位置关系;19( 14)两直线垂直; 直线与平面所成的角重庆3( 5)空间概念;19( 13)异面直线间的距离; 二面角由上表我们可以得出如下结论:(1) 任何一份试卷都

5、涉及立体几何, 而且绝36中学数学教学2008 年第 1期大多数都是一至二道客观题, 一道主观题, 分值20 分左右.(2) 客观题重点考查基础知识, 如直线与直线的平行、 垂直; 直线与平面、 平面与平面的平行 与垂直; 以及简单的面积、 体积的求解计算, 试题难度中档偏易. 解答题则突出立体几何的主干知识, 一般由二至三小题构成, 它是空间几何与函 数、 三角、 向量、 解析几何等知识的整合, 着重考查学生的空间概念、 分析与判断、 推理与证明以及代数运算的能力, 题目由浅入深, 得分不难, 满分不易. (3) 立体几何主干知识的考查与其他模块的联系并不十分密切, 这也充分体现了立体几何在

6、高中数学中相对独立的地位. 立体几何的综合题 往往是高考解答题的前三道题之一, 难度适中.(4) 与其他版本(教材) 的试卷相比, 新课标卷立体几何的题型、 题量、 分值、 难度都没有太大变化. 新老教材对立体几何的考查基本上保持原 有的风格, 保持相对稳定.(5) 纵观所有试题, 题型比较常规, 出新点、亮点不多, 给人一种缺乏创新之感. 2 典型试题分类解析(1) 有关位置关系判断掌握空间线线、 线面、 面面间的相互关系及其转化十分重要. 空间平行关系及转化:线 M线 Z 面 M面判定和性质 Z 面 M面 Z线 M面的判定和性质 Z 线 M面 空间垂直关系及转化: 线 L 线 Z 面 L

7、面的判定及性质 Z 线 L 面判定及性质 平行与垂直关系及转化.例 1 ( 2007 年江苏卷 4) 已知两条直线 m、 n, 两个平面 A 、 B , 给出下面四个命题: m Mn, m L A n L A AMB , m =OA #CD OA#CD=6 2 3 #2 2=6 4.所以异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arccos6 4.( ) 显然OC 为面 AOB 的法向量, 则OC =(2, 0, 0), 当 OD 最小时, NCDO 最大, 这时, ODL AB,垂 足 为 D, D 0,3 2,3 2,则 DC =2, -3 2, -3 2,设NCDO=H , sinH =O

8、C #DC OCDC=2 7 7, _ H= arcsin2 7 7.评析 本题能够轻易地建立坐标系, 再利用向量求两异面直线所成的角, 是我们首选的重要方法. 如果在题中有动点或变化图形等, 可设未 知数, 借助向量列方程求解. 问题(2) 就可以这样处理, 应指出的是: 当 cos =n #OA n #OA=3 3,所以二面角 A - SC - B 的余弦值为3 3.评析 本题求二面角的余弦值, 只要能建立坐标系, 问题就迎刃而解, 值得注意的是所求角 可能是向量夹角的补角.(3) 有关距离的计算( ) 求异面直线间的距离方法: 定义法; 线面转化法; 向量法: d=AB # n n(n与

9、直线 l1、 l2公垂线方向相同, A 和B 分别为l1、 l2上的点). ( ) 求点到平面的距离方法: 转化为两点间的距离; 转化为线面间的距离; 转化为点线间的距离; 几何体的顶点转化; 向量投影法: d=PA #n n( n 为平面 A的法向量, P IA ,A |A ).( ) 求线与面间的距离转化为点面间的距 离.( ) 求面与面间的距离主要转化成点与面距离. 例6 (2007年福建卷18) 如图, 正三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长都为2, D 为CC1中点. 求点C到 平面 A1BD 的距离.分析 本题中三棱锥 A1- BCD 的体积很容易求解, 用等积转化, 可求三棱锥

10、C- A1BD 底面 A1BD 上的高, 从而求出点 C 到平面A1BD 的距离; 同时, 本题也可取 BC 的中点为O, B1C1中点O1, 以O为原点, OB、 OO1、 OA 的方向为x 、 y、 z轴的正方向建立空间直角坐标系, 用向量法求解.解法一 vA1BD 中, BD = A1D =5, A1B= 2 2, _ SvA1BD=6, Sv BCD= 1.在正三棱柱中, A1到平面BCC1B1的距离为3.设点 C 到平面A1BD 的距离为d.由 VA1- BCD= VC- A1BD得1 3SvBCD# 3 =1 3SvA1BD# d,_ d =3SvBCD SvA1BD=2 2.所以

11、点 C 到平面A1BD 的距离为2 2.解法二 取 BC 的中点为O, B1C1中点O1,以 O 为原点, OB, OO1, OA 的方向为x 、 y、 z 轴的正方向建立空间直角 坐标系, 则 B(1, 0, 0) ,D(- 1, 1, 0), A1(0, 2, 3), A (0, 0, 3), B1(1, 2, 0),_ AB1= (1, 2, -3) .设平面 A1AD 的法向量为n = (x, y, z).AD = (- 1, 1, -3) , AA1= ( 0, 2, 0). n L AD, n L AA1,_n# AD = 0,n# AA1= 0,_- x + y -3z = 0,

12、 2y = 0,_y = 0,x = -3z .令 z = 1得n= (-3, 0, 1) 为平面A1AD 的一个法向量.易知 AB1L 平面 A1BD,_ AB1为平面 A1BD 的法向量. BC = (- 2, 0, 0), AB1= ( 1, 2, -3)._点 C 到 平 面 A1BD的 距 离 d=BC # AB1 AB1=|- 2| 2 2=2 2.评析 本题用顶点转换方法去求较为方便,但向量法同样可以解决问题. 用待定系数求平面的法向量是人人必须掌握的重要方法. 例 7 ( 2007 年重庆卷 19) 如图, 在直三棱柱ABC - A1B1C1中, AA1= 2, NABC =

13、90b, AB= 1; 点 D、 E 分别在 BB1、 A1D 上, 且 B1E LA1D, 四棱锥 C- ABDA1与直三棱柱的体积之比为 3 B5. 求异面直线 DE 与 B1C1的距离;392008 年第 1 期中学数学教学分析 易知 B1C1LB1E, 又 B1E L DE, 故线段B1E 的长就是异面直线 DE与B1C1的距离, 由体积关系 可求 BD, 从而求出 B1D, 在Rt vA1B1D 中, 利用等积关系, 可求出 B1E 的长. 下面仅 给出向量解法.如图, 以 B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系 O- xyz , 则 B(0, 0, 0) , B1( 0, 0, 2

14、), A (0, 1,0), A1(0, 1, 2), 则AA1= ( 0, 0, 2), AB =(0,- 1, 0).设 C1(a, 0, 2), 则B1C1= ( a, 0, 0),又设 E( 0, y0, z0), 则B1E = ( 0, y0, z0- 2),从而B1C1#B1E = 0, 即B1E L B1C1.又B1E L DA1, 所以 B1E 是异面直线 B1C1与 DE 的公垂线. 下面求点 D 的坐标.设 D(0, 0, z), 则BD = (0, 0, z ).因四棱锥 C- ABDA1的体积为 V1,V1=1 3SABDA1#BC=1 6(BD+AA1) # AB #

15、BC=1 6(z + 2) # 1#BC .而直三棱柱 ABC - A1B1C1的体积为 V2,V2= SvABC#AA1=1 2AB#BC #AA1=BC .由已知条件 V1BV2= 3B5,故1 6(z +2) =3 5,解 得 z =8 5,即D 0, 0,8 5.从而DB1=0, 0,2 5, DA1=0, 1,2 5,DE =0, y0, z0-8 5.接下来再求点 E 的坐标.由 B1E L DA1, 有B1E #DA1= 0,即 y0+2 5( z0- 2) = 0又由DA1MDE 得 y0 1=z0-8 5 2 5联立 , , 解得 y0=4 29, z0=48 29, 即E

16、=0,4 29,48 29, 得B1E =0,4 29, -10 29.故B1E=4 292 +10 292 =229 29.评析 本题用传统方法会使学生感到困难.就本题而言建系容易, 用向量去求待定数的方法, 学生容易掌握, 复习中应加以强化, 辅以训练. (4) 有关面积、 体积计算计算几何体的体积问题, 应记住相应的几何体的体积公式, 要边证明边计算. 一般会涉及到割补问题、 特定位置问题, 涉及到多面体, 正棱柱 (锥) 以及球的性质. 求体积、 面积的最值时, 往往还会选择导数方法来处理.例 8 (2007 年天津卷 12) 一个长方体的各 顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的 长 分 别 为 1, 2, 3,则此 球 的 表 面 积为.解 球的内接长方体、 正方体中, 体对角线就是球的直径. 则球的半径 R =14 2, 故球的表面积 S = 14P.评析 球的内接长方体、 正方体中, 几何体对角线就是球的直径. 例 9 (2007 年江西卷 20