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1、1988 年 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 数 学（试卷一） 一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求幂级数1(3) 3nn nx n 的收敛域.解：解：因11(3) 1(1) 3limlim33 ,(3)3(1)3 3nnnnnnx nnxxxn n 故131 063xx即时，幂级数收敛. 3 分 当0x 时，原级数成为交错级数11( 1)nnn，是收敛的. 4 分 当6x 时，原级数成为调和级数11nn，是发散的. 5 分 所以，所求的
2、收敛域为0,6.(2) 已知 f(x)= e2x,f( )x=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域.解：解：由2 ( )1xex ，得 ( )ln(1)xx. 3 分 由ln(1)0x，得11x即0x . 5 分 所以( )ln(1)xx，其定义域为(,0). (3)设 S 为曲面1222zyx的外侧， 计算曲面积分sdxdyzdxdxydydzxI333. 解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 2223()Ixyz dv（其中是由S所围成的区域） 2 分 21220003dsindrrdr4 分 12 5.5 分 启航考研 只为一次考上研天任启航考研 h t t
3、p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn1988 年 第 2 页 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若 f(t)= xlimttx x2)11 ( ，则( )f t2(21)tte(2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1 , 1上的定 f(x)= 01, 210 ,3xxx,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于2 3. (3) 设 f(x)是连续函数，且103 ,)(xxdttf则 f(7)=1 12. (4) 设 4*4 矩阵 A=),(4, 3, 2，B=),(4, 3, 2，
4、其中，4, 32,均为 4 维列向量， 且已知行列式 , 1, 4BA则行列式BA=.40. 三、选择题三、选择题 ( 本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 若函数 y=f(x)有21)(0 xf，则当0x时，该函 x=0x处的微分 dy 是 (B) (A) 与x等价的无穷小(B) 与x同阶的无穷小 (C) 比x低阶的无穷小(D) 比x高阶的无穷小(2) 设( )yf x是方程042 yyy的一个解，若( )0f x ，且0)(0 xf，则函数 ( )f x在点0x(A) (A) 取得极大值(B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减少(3
5、) 设有空间区域2222 1:Rzyx,; 0z及2222 2:Rzyx, 0, 0, 0zyx则 (C) (A)124xdvxdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4) 若nnnxa) 1(1在 x=-1 处收敛， 则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛(B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组12,(3)ssn 线性无关的充分必要条件是(D) (A) 有一组不全为 0 的数12,sk kk使11220sskkk. (B) 12,s 中任意两个向量都线性无关.(C) 12,s 中存在一个向量，它不能用其余
6、向量线性表出.(D) 12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四四(本题满分本题满分 6 分分) 启航考研 只为一次考上研天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn1988 年 第 3 页 设)()(xyxgyxyfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求222uuxyxx y . 解：解：.uxyyyfggxyxxx2 分 22231.uxyyfgxyyxx3 分 222.uxxyyfgx yyyxx 5 分 所以2220uuxyxx y . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数 y=y(x)满足微分方程,22
7、3xeyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线 12xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为2 12xxYCeC e. 2 分 设原方程的特解为*,xyAxe3 分 得2A . 4 分 故原方程通解为22 12( )2xxxy xCeC exe. 5 分 又已知有公共切线得00|1,|1xxyy， 7 分 即12121, 21cc cc 解得121,0cc. 8 分 所以2(1 2 ).xyx e六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为2rk(k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)， 质点 M
8、沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到 O(0， 0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解：解：0,1MAxy 2 分 22(1) .rxy因引力f 的方向与MA 一致， 故3,1kfxyr . 4 分 启航考研 只为一次考上研天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn1988 年 第 4 页 从而3(1) BOkWxdxy dyr6 分 1(1)5k. 9 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分)已知PBAP ,其中 112012001 , 100000001 PB求 A 及5A.解：解：先求出1100 210
9、 411P . 2 分 因PBAP ，故1100100100 210000210 211001411APBP 100100100 200210200 201411611 . 4 分 从而55 5111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个 （）() ()=.6 分八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 已知矩阵 xA 10100002与 10000002 yB相似， (1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足BAPP1的可逆矩阵P. 解：解：(1) 因A与B相似，故| |EAEB，即 1 分 200200 0100 01001y x ， 亦即22(2)(1)(2)(1)x
10、yy.启航考研 只为一次考上研天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn1988 年 第 5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时200 001 010A ，200 010 001B . 3 分 (2) 从B可以看出A的特征值2,1, 1.4 分 对2，可求得A的特征向量为1100p . 对1，可求得A的特征向量为2011p . 对1 ，可求得A的特征向量为30 1 1p . 7 分 因上述123,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100 (,)011 011p pp P，则P可逆，且有BAPP1. 8 分 九、
11、九、(本题满分本题满分 9 分分)设函数)(xf在区间ba,上连续， 且在),(ba内有0)( xf.证明： 在),(ba内存在唯一的， 使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍. 证：存在性证：存在性 在 , a b上任取一点t，令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()( )()( )3( )( )()tbatf t taf t dxf x dxf t b t3 分 则( )F t在 , a b上连续. 又因0)( xf,故( )f x在 , a b上是单调增加的. 于是在( , )a
12、b内取定点c，有 ( )3 ( )( )3 ( )( )3 ( )( )bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx 113 ( )( )3( )( ) ()0,bcf xf a dxff abccb . 启航考研 只为一次考上研天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn1988 年 第 6 页 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx ( )( )caf bf x dx22( )() ()0,f bfcaac. 5 分 所以由介值
13、定理知，在( , )a b内存在 ,使0)(F，即.321SS 6 分 唯一性唯一性 因( )( )()3()0F tf ttabt， 8 分 故)(tF在( , )a b内是单调增加的.因此，在( , )a b内只有一个 , 使.321SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分) (1) 设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为1 3. (2) 在区间) 1 , 0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为17 25. (3) 设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221，9938. 0)5 . 2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876. 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设随机变量X的概率密度函数为)1 (1)(2xxfx，求随机变量31XY
