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1、书书书考生姓名报考单位考生编号? 年全国硕士研究生入学统一考试数学?一?试题考生注意事项?考生必须严格遵守各项考场规则? 考生在考试开考 ? 分钟后不得入场? 交卷出场时间不得早于考试结束前 ? 分钟? 交卷结束后?不得再进考场续考?也不得在考场附近逗留或交谈?答题前?应按准考证上的有关内容填写答题纸上的?考生姓名?报考单位?考生编号?等信息?答案必须按要求写在答题纸上? 书写部分必须用?蓝?黑色字迹钢笔?圆珠笔或签字笔在答题纸上作答?字迹要清楚?考试结束后?将答题纸一并装入原试卷袋中?试卷交给监考人员?题型填空题选择题解答题总计分值?分?自测?分?书书书? 年全国硕士研究生入学统一考试数学?
2、一? 试题一?填空题?小题?每小题 ?分?共 ? ?分? 曲线 ?的斜渐近线方程为? 微分方程 ? ? ? ? ? ? 满足 ? ? ?的解为? 设函数 ? ? ? ? ? ? 单位向量 ?槡? 则? 设 ?是由锥面 ?槡?与半球面 ?槡?围成的空间区域? 是 ?的整个边界的外侧?则? ? ? ? ? ? ? ? 设 ?均为 ? 维列向量?记矩阵?如果? ?那么? ? 从数 ? 中任取一个数?记为 ? ?再从?中任取一个数?记为 ? ?则 ? ? ?二?选择题? ? ?小题?每小题?分?共? ?分? 下列每题给出的四个选项中?只有一个选项是符合题目要求的? 设函数 ? ? ? ? ? ? ?
3、?槡?则 ? ? ? 在? ? ? 内? ? 处处可导? ? 恰有一个不可导点? ? 恰有两个不可导点? ? 至少有三个不可导点? 设? ? ? 是连续函数? ? ? 的一个原函数? ? 表示?的充分必要条件是? ?则必有? ? ? ? 是偶函数 ? ? ? 是奇函数? ? ? ? 是奇函数 ? ? ? 是偶函数? ? ? ? 是周期函数 ? ? ? 是周期函数? ? ? ? 是单调函数 ? ? ? 是单调函数? 设函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中函数 ?具有二阶导数?具?有一阶导数?则必有? ? ? ? ? ? ? 设有三元方程? ? ? ? ?
4、? ? ? ?根据隐函数存在定理?存在点? 的一个邻域?在此邻域内该方程? ? 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? ? 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? 和 ? ? ? ? ? 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? 和 ? ? ? ? ? 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? 和 ? ? ? ? 设 ?是矩阵 ?的两个不同的特征值?对应的特征向量分别为 ?则 ? ? 线性无关的充分必要条件是? ? ? ? ? ? ? 设 ?为 ? ? 阶可逆矩阵?交换 ?的第? 行与第? 行得矩阵 ? ? ?分别为 ? ?的伴随矩阵?则? ? 交换 ?的
5、第 ? 列与第 ? 列得 ? ? 交换 ?的第 ? 行与第 ? 行得 ? ? 交换 ?的第 ? 列与第 ? 列得 ? ? 交换 ?的第 ? 行与第 ? 行得 ? 设二维随机变量? ? ? 的概率分布为? ? ? ?已知随机事件? 与? 相互独立?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? 为来自总体? ? 的简单随机样本?为样本均值?为样本方差?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三?解答题? ? ?小题?满分 ? ?分? 解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤?本题满分 ? 分?设 ? ? ?槡? ? ? ? 表示不超过? ?的最大整数?
6、 计算二重积分? ? ? ? ? ?本题满分 ? 分?求幂级数? ? ? ? ? ? ?的收敛区间与和函数 ? ? ?本题满分 ? 分?如图?曲线 ?的方程为 ? ? ?点? 是它的一个拐点?直线?与 ?分别是曲线 ?在点? 与? 处的切线?其交点为?设函数 ? ? ? 具有三阶连续导数?计算定积分? ? ? ? ? ?本题满分 ? 分?已知函数 ? ? ? 在? 上连续?在? 内可导?且 ? ? ? ? ? 证明? 存在 ? ? ?使得 ? ? ? ? ? ? 存在两个不同的点 ? ? ? ?使得 ? ? ? ? ? ? ? ?本题满分 ? 分?设函数 ? ? ? 具有连续导数? 在围绕原点
7、的任意分段光滑简单闭曲线 ? 上? 曲线积分? ? ? ? ?的值恒为同一常数? 证明?对右半平面 ? 内的任意分段光滑简单闭曲线 ?有? ? ? ? ? 求函数 ? ? ? 的表达式?本题满分 ? 分?已知二次型 ? ? ? ? ? ?的秩为 ? 求 ? 的值? 求正交变换 ? ? ? ?把 ? ? 化成标准形? 求方程 ? ? ? 的解?本题满分 ? 分?已知? 阶矩阵 ?的第一行是? ? ? ? 不全为零?矩阵 ? 为常数?且? ? ?求线性方程组 ? ? ? 的通解?本题满分 ? 分?设二维随机变量? ? ? 的概率密度为? ? ? ? ? ? ? ?其他?求? ? ? 的边缘概率密度
8、 ? ? ?的概率密度 ? ?本题满分 ? 分?设 ? ? 为来自总体 ? ? 的简单随机样本?为样本均值?记 ? ?求?的方差 ? ?与 ?的协方差 ? ? ? ? 年全国硕士研究生入学统一考试数学?一? 试题参考答案及解析一?填空题? 曲线 ?的斜渐近线方程为?答案?考查斜渐近线方程?直接根据其基本计算公式计算即可?解析? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是所求斜渐近线方程为 ?本题直接用斜渐近线方程公式进行计算即可? 若曲线存在渐近线?其渐近线表达式为 ? ?其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 微分方程 ? ? ? ? ?
9、 ? 满足 ? ? ?的解为?答案? ? ?解析? 原方程等价为 ? ? ? ? ?于是通解为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由 ? ? ?得 ?故所求解为? ? ? ?直接套用一阶线性微分方程 ? ? ? ? ? ? ? 的通解公式? ? ? ? ? ? ? ?再由初始条件确定任意常数即可? 设函数 ? ? ? ? ? ? 单位向量 ?槡? 则?答案?槡?解析? 因为?于是所求方向导数为?槡?槡?槡?槡?本题考查方向导数? 函数 ? ? ? ? 沿单位向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的方向导数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 ?是由锥面 ?槡?
10、与半球面 ?槡?围成的空间区域? 是 ?的整个边界的外侧?则? ? ? ? ? ? ? ?答案? ?槡?()?本题 ? 是封闭曲面且取外侧?用高斯公式转化为三重积分?再应用球面?或柱面? 坐标进行计算即可?解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?本题考查高斯公式?高斯公式?()? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 ?均为 ? 维列向量?记矩阵?如果? ?那么? ?答案?将 ?写成用 ?右乘另一矩阵的形式?再用方阵相乘的行列式性质进行计算?解析? 由题设?有?于是有? ? ? ? ?矩阵的乘法?设 ? ? 是 ? 矩阵? ? 是 ? ? 矩阵?那么 ? ? 是 ? 矩
11、阵?其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ?称为 ?与 ?的乘积?记为 ? ? ? 从数 ? 中任取一个数?记为 ? ?再从?中任取一个数?记为 ? ?则 ? ? ?答案?本题涉及到两次随机试验?应该用全概率公式计算? 题中第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分?解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?全概率公式?设试验 ?的样本空间为 ?为 ?的事件?为 ? 的一个划分?且? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ?二?选择题? 设函数 ? ? ? ? ? ? ? ?槡?则 ? ? ? 在? ? ? 内? ? 处处可导? ? 恰有一个不可
12、导点? ? 恰有两个不可导点? ? 至少有三个不可导点?答案?因? 作为底数?所以 ? ? ? 是分段函数?因此需对其进行讨论?写出 ? ? ? 的表达式?再讨论其可导情况?解析? 当? ? 时? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?当? ? 时? ? ? ? ? ? ?槡? ?当? ? 时? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ?可见 ? ? ? 仅在 ? 时不可导?故应选 ? ?分段函数求导的关键是求出分界点处的导数? 常用以下三种方法? 按求导法则分别求分界点处的左右导数? 按定义求分界点处的导数或左右导数? 分界点是连续点时?求导函数在分界点处的极限值? 设? ? ? 是连续
13、函数? ? ? 的一个原函数? ? 表示?的充分必要条件是? ? 则必有? ? ? ? 是偶函数 ? ? ? 是奇函数? ? ? ? 是奇函数 ? ? ? 是偶函数? ? ? ? 是周期函数 ? ? ? 是周期函数? ? ? ? 是单调函数 ? ? ? 是单调函数?答案?本题可直接推证?但作为选择题此方法稍显繁琐?可直接通过反例用排除法确定选项?反例的选取一般是比较简单?特征明显的函数?解析? ?任一原函数可表示为 ? ? ? ? ? ? ? ?且 ? ? ? ? ? ? ?当 ? ? ? 为偶函数时?有 ? ? ? ? ? ? ?于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ?
14、 ? ? ?也即 ? ? ? ? ? ? ?可见 ? ? ? 为奇函数?反过来?若 ? ? ? 为奇函数?则? ? ? 为偶函数?从而 ? ? ? ? ? ? ?为偶函数?可见 ?为正确选项?令 ? ? ?则取 ? ? ? ?排除 ? ? ?令 ? ? ? ? ?则取 ? ? ? ?排除? ?故应选 ? ?本题考查函数及其原函数的奇偶性?单调性以及周期性? 设函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中函数 ?具有二阶导数?具有一阶导数?则必有? ? ? ? ? ? ?答案?题中应先求出?再求二阶偏导数及混合偏导数? 高阶偏导数与混合偏导数与求导次序无关?解析?
15、 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?通过观察可知?应选 ? ?复合函数求导法则?()?()?()?()?()?()? 设有三元方程? ? ? ? ? ? ? ? ?根据隐函数存在定理?存在点? 的一个邻域?在此邻域内该方程? ? 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? ? 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ?
16、 和 ? ? ? ? ? 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? 和 ? ? ? ? ? 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 ? ? ? ? 和 ? ? ? ?答案?本题考查隐函数存在定理?只需令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分别求出三个偏导数?再考虑在点? 处哪个偏导数不为 ?则可确定相应的隐函数?解析? 令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ?且? ? ? ? ? ? ?由此可确定相应的隐函数 ? ? ? ? 和 ? ? ? ? 故应选 ? ?隐函数的求导公式?设函数 ? ? ? ? 在点 ? ? 的某一邻域内具有连续偏导数?且?
17、 ? ? ? ?则方程? ? ? ? ? 在点? 的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ? ? ?它满足条件 ? ?并有? ? ? 设 ?是矩阵 ?的两个不同的特征值?对应的特征向量分别为 ?则 ? ? 线性无关的充分必要条件是? ? ? ? ? ? ?答案?解析? ?令 ? ? ?则?由于 ?线性无关?于是有?当 ? 时?显然有 ?此时 ? ? 线性无关?反过来?若 ? ? 线性无关?则必然有 ? ?否则?与 ? ? ?线性相关?故应选 ? ?由于? ? ? ?可见 ? ? 线性无关的充要条件是? ? 故应选 ? ?考查向量组线性无关? 对于 ? 维向量组?如果 ? ?必
18、?有 ? ?则称此向量组线性无关? 设 ?为 ? ? 阶可逆矩阵?交换 ?的第? 行与第? 行得矩阵 ? ? ?分别为 ? ?的伴随矩阵?则? ? 交换 ?的第 ? 列与第 ? 列得 ? ? 交换 ?的第 ? 行与第 ? 行得 ? ? 交换 ?的第 ? 列与第 ? 列得 ? ? 交换 ?的第 ? 行与第 ? 行得 ?答案?本题只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可?解析? 由题设?存在初等矩阵 ?交换 ? 阶单位矩阵的第? 行与第? 行所得?使得 ? ?于是 ? ? ?即 ?可见应选 ? ?本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质? 伴随矩阵的性质? ? ? ? ? 设二
19、维随机变量? ? ? 的概率分布为? ? ? ?已知随机事件? 与? 相互独立?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?答案?本题可根据独立事件的性质以及二维离散型随机变量的联合概率分布性质得到?解析? 由题设知? ? ?由事件? 与? 相互独立?于是有? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ?由此可解得 ? ? ? ? 故应选 ? ?根据二维离散型随机变量的联合概率分布的性质可知? ? ? ? ? ?如果事件 ?与 ?相互独立?可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? 为来自总体? ? 的简单随机样本?为样本均值?为样本方差?则? ? ? ? ? ? ?
20、? ? ? ? ? ? ?答案?解析? 由正态总体抽样分布的性质知?槡?槡? ? ?可排除 ? ?又?槡?槡? ? ?可排除 ? ?而? ? ? ?不能断定 ?是否是正确选项?因为 ? ? ? ? ?且 ? 与? ? ? ? ? 相互独立?于是? ? ? ? ? ? ? ? ? 故应选 ? ?利用正态总体抽样分布的性质和 ?分布? 分布及 ?分布的定义进行讨论即可? 设 ?是来自总体 ? ? 的样本?则称统计量 ? ? ?为自由度为 ? 的 ?分布?记为 ? 设 ? ?且 ? ?相互独立?则称随机变量 ? ?槡?服从自由度为? 的 ? 分布?记作 ? ? 设 ? 且 ? ?相互独立?则称随机变
21、量 ? ? ?服从自由度为? 的 ?分布?记作 ? ?三?解答题? 设 ? ? ?槡? ? ? ? 表示不超过? ?的最大整数? 计算二重积分? ? ? ? ? ?本题先用分块积分法表示出二重积分的一般式?再结合题目用极坐标变换解出二重积分? 本题难点在于取整符号?因此首先根据 ?的范围去掉取整符号?因此把积分区域分为两部分即可?解析? 被积函数分块表示?令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?利用极坐标变换? 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()
22、? ? ?考查二重积分的求解?根据二重积分的性质? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中?而且?与 ?不相互重叠? 求幂级数? ? ? ? ? ? ?的收敛区间与和函数 ? ? ?根据求收敛区域的方法求出收敛区间?和函数可利用逐项求导得到?解析? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以当 ? 时?原级数绝对收敛?当 ? 时?原级数发散?因此原级数的收敛半径为 ?收敛区间为? ?记 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因为 ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ?
23、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ? ? ? ? ? ? ? ?因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求收敛区域步骤? 求收敛半径?可使用比值法?或根值法?设? ? ? ? ?则? ? 讨论端点的敛散性?如果 ? ?则需进一步讨论? ? ?在?处的敛散性? 写出幂级数的收敛域 ? ? 如图?曲线 ?的方程为 ? ? ?点? 是它的一个拐点?直线?与?分别是曲线? 在点? 与? 处的切线?其交点为? 设函数 ? ? ? 具有三阶连续导数?计算定积分? ? ? ? ? ?题设图形相当于已知 ?
24、 ? ? 在 ? 的函数值和导数值?在 ? 处的函数值及一阶?二阶导数值? 根据分部积分法求得?解析? 由题设图形知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由分部积分?知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 函数 ? ? ? 在点 ?处的导数 ? ? ? 是曲线 ? ? ? 在点? ? 处的切线的斜率? 设 ? ? ? 在? ? ? 二阶可导? ? ? ?又 ? ? ? ?则? ? 为曲线 ? ? ? 的拐点? 定积分的分部积分法? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
25、 ? 已知函数 ? ? ? 在? 上连续?在? 内可导?且 ? ? ? ? ? 证明? 存在 ? ? ?使得 ? ? ? ? ? ? 存在两个不同的点 ? ? ? ?使得 ? ? ? ? ? ? ? ?第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理?第二部分为双介值问题?可用拉格朗日中值定理?解析? 令 ? ? ? ? ? ? ? ? ?则 ? ? ? 在? 上连续?且 ? ? ? ? ? ?于是由介值定理知?存在 ? ? ?使得 ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? 在? ? 和? ? 上对 ? ? ? 分别应用拉格朗日中值定理?知存在两个不同的点 ? ? ? ? ?使得 ? ? ? ? ?
26、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?介值定理?设函数 ? ? ? 在闭区间? ? 上连续? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且 ? ? ?那么?对于 ?与?之间的任意一个数 ? ?在开区间? ? 内至少有一点 ? ?使得 ? ? ? ? ? ? ?特别是?如果? ? 与? ? ? 异号?那么在开区间? ? 内至少有一点? ?使得? ? ? ? ? ?拉格朗日中值定理?如果函数 ? ? ? 在? ? 上可导? ? 上连续?则存在 ? ? ? ?使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设函数 ? ? ? 具有连续
27、导数?在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 ? 上?曲线积分? ? ? ? ?的值恒为同一常数? 证明?对右半平面? 内的任意分段光滑简单闭曲线?有? ? ? ? ? 求函数 ? ? ? 的表达式?证明? 的关键是如何将封闭曲线?与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系?这可利用曲线积分的可加性将? 进行分解讨论?而? 中求? ? ? 的表达式?显然应用积分与路径无关即可?解析? 如图?将 ?分解为?另作一条曲线 ?围绕原点且与 ?相接?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 ? ? ? ? ?在单连通区域 ? 内具有一阶连续偏导数?由? 知?曲线积分? ? ? ? ?
28、在该区域内与路径无关?故当 ? 时?总有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?比较? 两式的右端?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由? 得 ? ? ? ? ?将 ? ? ? 代入? 得? ? ?所以 ?从而 ? ? ? ?曲线积分的路径具有可加性?若)? ?由 ?所组成?且任何两线段之间无重叠部分?则?)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知二次型 ? ? ? ? ? ?的秩为 ? 求 ? 的值? 求正交变换 ? ? ? ?把 ? ? 化成标准形? 求方程 ? ? ? 的解?解析? 二次型对应矩阵为 ? ?
29、? ? ? ?由二次型的秩为 ?知? ? ? ? ? ?得 ? ? 这里 ?其特征值为 ?解? ? ?得特征向量 ?解? ? ?得特征向量 ?由于 ?已经两两正交?直接将 ?单位化?得?槡?槡?令 ? ?即为所求的正交变换矩阵?由 ? ? ? ?可化原二次型为标准形 ? ? ? 由 ? ? ?得 ? ? 为任意常数?从而所求解为? ? ? ?其中 ? 为任意常数? 根据二次型的秩为 ? ?可知对应矩阵的行列式为 ? 先求出特征值?特征向量?再正交化?单位化?即可找到所需正交变换?二次型化为标准形?可用配方法?正交变换法?任意的 ? 元二次型 ? ? 都可通过坐标变换 ? ? ? 化为标准形?
30、利用第二步的结果?通过标准型求解即可? 已知 ? 阶矩阵 ?的第一行是? ? ? ? 不全为零?矩阵 ? ? 为常数?且 ? ? ?求线性方程组 ? ? ? 的通解? ? 相当于已知 ?的每一列均为 ? ? ? 的解?关键问题是 ? ? ? 的基础解系所含解向量的个数?而这又转化为确定系数矩阵 ?的秩? 再讨论不同的秩?求出通解?解析? 由 ? ?知?的每一列均为 ? ? ? 的解?且 ? ? ? ? ? ? ? ? 若 ? ? ?则 ? ? ? ?于是 ? ? ? ?又 ? ? ? ?故 ? ? ? ? 可见此时 ? ? ? 的基础解系所含解向量的个数为? ? ? ? ?矩阵?的第一?第三列
31、线性无关?可作为其基础解系?故 ? ? ? 的通解为? ?为任意常数? 若 ?则 ? ? ? ?从而 ? ? ? ? ? ? ?若 ? ? ? ?则 ? ? ? 的通解为? ?为任意常数?若 ? ? ? ?则 ? ? ? 的同解方程组为? ? ?不妨设 ? ?则其通解为? ?为任意常数?考查求线性方程组 ? ? ? 的通解问题?重点是求基础解系? 其方法?可将 ?初等行列变换为阶梯矩阵?通常称每个非零行中的第一个非零系数所代表的未知数是主元?那么剩下的其他未知数就是自变量?当然也可以在加减消元后找出秩为 ? ? ? 的行列式?那么其他各列的未知数就是自变量? 对自由变量按阶梯形赋值后?再代入求
32、解就可得到基础解析? 设二维随机变量? ? ? 的概率密度为 ? ? ? ? ? ? ? ?其他?求? ? ? 的边缘概率密度 ? ? ? ?的概率密度 ? ?解析? 关于 ?的边缘概率密度? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其他? ? ?其他?关于 ?的边缘概率密度? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其他? ? ?其他? 令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则当 ? 时? ? ? ? ? ? ?当 ? ? ? 时? ? ? ? ? ? ? ?当 ? ? ? 时? ? ? ? ? ? ?分布函数为? ? ? ? ? ? ? ?故所求的概率密度为? ? ? ? ? ?其他?边缘概率密度
33、公式?设二维连续型随机变量? ? ? 的概率密度为 ? ? ? ?是连续型随机变量?其概率密度为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?同理?是连续型随机变量?其概率密度为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?求二维随机变量函数的概率密度?一般用分布函数法?即先用定义求出分布函数?再求导得到相应的概率密度? 设? ? 为来自总体? ? 的简单随机样本?为样本均值?记? ?求?的方差 ? ?与 ?的协方差 ? ? ? ?先将 ?表示为相互独立的随机变量之和?再用方差的性质进行计算即可?解析? 由题设?知 ? ? 相互独立?且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为已知 ? ? 相互独立?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?同理可知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且 ? ? ? ? 因此有 ? ? ? ? ?协方差的性质? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
