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1、 X X X X 大大 学学本科毕业论文（设计）本科毕业论文（设计）题目：矩阵分解的初等方法题目：矩阵分解的初等方法学学 院：院：学生姓名：学生姓名： 学学 号：号：专专 业：业：年年 级：级：20082008 级级完成日期：完成日期：20122012 年年 5 5 月月 1010 日日指导教师：指导教师： I 矩阵分解的初等方法摘要：矩阵是大学数学中一个重要的、有着广泛的应用的工具,它涉及到矩阵分析，线性代数和泛函分析等多个数学科目. 本文从矩阵的三角分解、 矩阵的QR分解、 矩阵的满秩分解、矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解和矩阵的极分解等几个方面，对矩阵分解的初步方法进行了概括总结性论述。关
2、键词: 矩阵；初等；分解；应用The Elementary Method of Matrix DecompositionAbstract：Matrix is an important tool in the study of university mathematics, which has a wide range of applications. It involves several mathematical subjects, such as matrix analysis, linear algebra and functional analysis. From the triang
3、ular decomposition of the matrix, the matrix of the QR decomposition, the matrix of the full rank decomposition, singular value decomposition, the spectral decomposition of the matrix , the matrix polar decomposition and other aspects, this paper discusses the initial method of matrix decomposition
4、systematically in the summary.Keywords: matrix; elementary; decomposition; applicationII 目目 录录1 矩阵的三角分解 .11.1 Gauss 消元法的矩阵形式.11.2 矩阵的三角分解 .21.3 三角分解的紧凑计算格式.31.4 矩阵的三角分解与解线性方程组 .72 矩阵的 QR 分解 .82.1 矩阵的 QR 分解基本概念、定理与方法 .82.2 直线度误差数学模型的建立及矩阵 QR 分解 .103 矩阵的满秩分解 .123.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理 .123.2 矩阵的满秩分解的方法 .13
5、4 矩阵的谱分解 .154.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理 .155 矩阵的奇异值分解与极分解 .175.1 矩阵的奇异值分解基本概念、定理 .175.2 矩阵的极分解基本概念、定理 .196 矩阵分解的应用与举例 .20参考文献 .26天津师范大学数学科学学院 矩阵分解的初等方法1引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据. 本文从矩阵的分解； 矩阵的分解；LUQR矩阵的
6、满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述: 探讨矩阵分解的初等方法. 1 矩阵的三角分解1.1 Gauss 消元法的矩阵形式定义1.1.1 形如= kL10010101, 1LLOMMMMLLOMnkkkll1, 2 , 1nkL的矩阵称为初等下三角矩阵，其中= iklkkik aanki, 1L且主对角线元素皆为 1 ，其余元素皆为零。例如当k=1时，有=，=，1L100101113121LOMMMnlll 1 1L100101113121LOMMMnlll=AL1 1)1()1( 3)1( 2)1( 3)1( 33)1( 32)1( 2)1( 23)1( 221131211000nnnnn
7、nnaaaaaaaaaaaaaLMOMMMLLL其中 =- )1 ( ijaijajial11njni, 2 , 1;, 3 , 2LL天津师范大学数学科学学院 矩阵分解的初等方法2容易看出 T kknkelEL1, 2 , 1nkL其中 TkkT nkkkkelll0, 0 ,1, 0 , 0, 0 , 0, 1LLLL且 T jjT kkjkT kkk elelELLelEL111jknjk, 1, 2 , 1,L特别的121nLLLLL1111321323121LOMMMnnnllllll称对应于的为单位下三角矩阵。LA 一般地，设Ak)( )()( 1,)( , 1)( 1, 1)1(
8、)1( 1,)1()1( 2)1( 1,2)1( 2)1( 2211, 111211k nnk knk nkk kkk knk kkk kknkknkkaaaaaaaaaaaaaaaaLMOMLLMMMMOLLLL则有 ,这样的表达方式就是Gauss消元的过 11 1AAL nn nAALAAL 11 1211 2,L程地矩阵形式。1.2 矩阵的三角分解定义定义 1.2.11.2.1 设如果存在下三角矩阵和上三角矩阵, 使得nn rCAnnCLnnCR, 则称可作三角分解.LRA A定理定理 1.2.21.2.2 设 ，且A的前 r 个顺序主子式不为零，,nn rCA0krk, 2 , 1L则
9、A可以作三角分解。定义定义 1.2.31.2.3 设.nn rCA如果A可以分解为,其中是对角元素为1下三角阵（称单位下三角阵），RLAL是上三角阵，则称为的 Doolittle分解；RA如果A可以分解为,其中是下三角阵，是对角元素为1的上三角阵（称单RLALR天津师范大学数学科学学院 矩阵分解的初等方法3位上三角阵），则称为A的 Crout分解；如果A可以分解为，其中 是单位下三角阵，为对角矩阵，为单位RDLALDR上三角阵，则称为的 分解。ALDR定理定理 1.2.41.2.4 设，则有惟一的分解的充要条件是nn nCAALDR0k.1, 2 , 1nkL此时对角阵D=的元素满足ndddd
10、iag,21L， 11d1kk kd., 3 , 2nkL1.3 三角分解的紧凑计算格式现在阐述直接计算三角分解的基本方法。以下总假设，且可以做三角分解。nn nCAA由的Doolittle分解，得ARLA=，nnnnnnaaaaaaaaaLMOMMLL2122221112111111,121nnnlllLOMM nnnnrrrrrrMOLL22211211则有 ., 3 , 2;, 2, 1, 3 , 2;, 1, 3 , 2, 2 , 11111111111nknkkirlrlanknkkjrrlanirlanjraktkkiktkitikkjkttjktkjiijjLLLLLL由上式可以
11、推导出的Doolittle分解的紧凑型计算公式为：A )., 3 , 2;, 1(1), 3 , 2;, 1,(), 3 , 2(), 2 , 1(1111111 111nknkirlarlnknkkjrlarniralnjarkttkitik kkikkttjktkjkji ijjLLLLLL与以上的推导类似，可以得到Crout分解的紧凑计算格式:天津师范大学数学科学学院 矩阵分解的初等方法4 )., 3 , 2;, 1(1), 3 , 2;, 1,(), 3 , 2(), 2 , 1(1111111 111nknkjrlalrnknkkirlalnjlarnialkttjktkj kkkjkttkitikikj jiiLLLLLL例例1.3.11.3.1 求矩阵=的Doolittle分解和Crout分解A 34
