公平席位分配模型(

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1、公平的席位分配模型公平的席位分配模型班级：数（2） 学号：0907022015 姓名：王秀丽摘要：摘要：本文建立数学模型的方法，通过讨论某学校的学生代表席位在不同院系之间的公平分配问题。由于人数是一个整数，所以在通常情况下不能保证各个院系最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。因此席位分配不可能在任何情况下都绝对公平，我们通过建立数学模型的方法找到尽可能使分配结果的整体不公平程度降低。关键词：主要分数法 席位分配 公平度指标 正文正文 1 问题的重述问题的重述有关公平分配席位的问题，由于人数是一个整数导致在一般情况下不能保证各个院系最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。因此席位分配不可能

2、在任何情况下都绝对公平，进行了各种方法的比较，经过多次试验证明主要除数法的结果要贴近实际，不公平程度较低，最后又对所用方法的科学性进行了阐明。2 合理假设与变量说明合理假设与变量说明2.1 假定各系的人数已确定，且席位增加时各系的席位数不减少。2.2 在各系的席位数分配好的前提下，人数增加的系席位数不会减少。2.3 ：总人数； ：各方人员;i=1,2,3.n pip:总席数；各方分配数；i=1,2,3.n NiNA 的相对不公平度：；;1122 12 22/( ,)/Apnpnr n npn1122/pnpnB 的相对不公平度：;2211 21 11/(,)/Bpnpnr n npn2211/

3、pnp n3 问题的分析及模型建立问题的分析及模型建立初等模型（不可分割的实体分配）：总人数； ：各方人员; i=1，2，3npip:总席数；各方分配数；i=1，2，3n NiNA 的相对不公平度： ;1122 12 22/( ,)/Apnpnr n npn1122/pnpnB 的相对不公平度： ;2211 21 11/(,)/Bpnpnr n npn2211/pnp n为了寻求新的，公平的席位分配方法，先讨论衡量公平的数量指标。构造不公平指标：以 A，B 两个系来考察构造：， （1）1122 12 22/( ,)/Apnpnr n npn1122/pnpn称之为 1 方的相对不公平度 , ,

4、1,2,:(,)riiijijijijij iji jn ijppnnppnnn npn 构造：4 模型的求解模型的求解现在我们把12nn再加 1，若增加的 1 席分给 A，就变成，分配1n11n 给 B 就有，原分配问题就可以分为以下 2 中情况讨论：21n 4.1 若211212 121 12221)(1,),1(1. rpnpppnnnpnnn成立若显然我们可以知道增加的分配席位应该给 A 方4.2 若时，需要进行另一变量的讨论：比较1r和2r的大小，且添加的席位分配要给较大者才能达到公平。假定：12rr则我们可得到1212221122111)1)1)1)( (ppnppnnn pnpn

5、也就等价于：12 12122211 12(1)*(1)*11(ppppnppnnnnn22121122*(1)*(1)(pnpnnn我们令：2(1,2,)1)i i iipQimn nL有以下两个算式知：221212122111)11pp *(*pp nnnnnn （1）1121211212+11ppppp nnnnn （2）12qq综合以上两个式子即对第一种情况也包含在中2(1,2,)1)i i iipQimn nLpiin即当增加时不一定增加 i,iinnnnN在使相对不公平度尽量小的分配原则下，如果12121,1BAnnn nrr则增加的 1 席位应该分配给 A，反之，则增加的 1 席位

6、应该分配给 B（等号成立时可分给任一方）于是有：设方的人数为，已占有个席位（iAipin，当总席位增加 1 席时，计算(1,2,)imL （3）2(1,2,)1)i i iipQimn nL则这一席应分配给 Q 值最大的一方。5 模型讨论：模型讨论：注：计算应以开始，假定开始时每一方至少应分配到 11 (1,2,)inimL席（如果有 某一方，1 席也不应分配时，则把它排除在分配计划之外） 。6 模型应用模型应用用上面办法来讨论本节开始提出的问题：即三个方共 200 名学生分配 21 席位代表的解。首先每个方分配 1 席，然后计算：甲方 222 111 1110310315304.5(1)1(

7、1 1)2pnQn n乙方 22 222 226311984.5(1)2pnQn n丙方 .22 333 33361578(1)2pnQn n增加一席即第 4 席应分配给甲方。11,2,3max5304.5 iiQQ Q其次再计算：甲方 22 111 1110321768.2(1)2 3pnQn n乙方 2211984.5nQ丙方 .331578nQ则 21,2,3max1984.5iiQQ 于是第 5 席应分配给乙方。再计算乙方 22 222 22631661.5(1)2(2 1)pnQn n甲方 2121768.2nQ丙方 331578nQ11,2,3max1768.2iiQQ 故第 6

8、席应分配给甲方。如此计算下去，直到第 21 席分配给某方为止。如此：用值方法将 21Q个席位分配结果公布如下：其中圆卷内的数字表示第席应分配它所在的jj方方Qj甲方乙方丙方5304.5 1768.2 5804.1 530.5 353.6 (11)252.6 (13)189.4 (16)147.3 (17)117.9 (19)96.4 (20)80.41984.5 661.5 330.8 (12)198.5 (14)132.3 (18)94.5578 192.7 (15)96.3 (21)共 11 席共 6 席共 4 席表 1 席位分配由此可看出，用值方法分配代表席位，丙方保证了它险些丧失的 1 席，此方Q法较公平。参考文献参考文献1陈珽.决策分析M.北京：科学出版社，1987:325.2姜启源.数学模型D.2 版.北京：高等教育出版社，1993:10-19.3史树中.数学与经济M.大连：大连理工大学出版社，2008:115.