扇形专题

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1、http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用数学用数学专页报专页报 第 1 页 共 4 页 版版权权所有所有少智少智报报数学数学专页专页例例 1如图 1，ABCD 是各边长都大于 2 的四边形，分别以它的顶点为圆心，1 为半径 画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上） ，则这 4 条弧长的和是 分析：分析：要求四条弧长的和，由于不知道每个扇形的圆心角的度数，所以只能借助四边 形的内角和，利用整体思想解决 解：解：设以顶点 A，B，C，D 为圆心的扇形的圆心角分别是 n1，n2，n3，n4，弧长分别 为 l1，l2，l3，l4，则 l1+l2+l3+l4

2、=31241111 180180180180nnnn，1234()180nnnn又 n1+n2+n3+n4=360A+360B+360C+360D =1440（A+B+C+D）=1080，所以 l1+l2+l3+l4=10806180 二、实际问题找模型二、实际问题找模型 例例 2如图 2，墙 OA，OB 的夹角AOB120，一根 9 米长的绳子一端栓在墙角 O 处， 另一端栓着一只小狗，则小狗可活动的区域的面积是 _米2 （结果保留 ） 分析：分析：本题以生活中的一个实际问题为素材，设计 的一个求扇形面积的问题，小狗活动的区域是一个以 O 为圆心，9 米为半径，圆心角是 120的扇形，所以求

3、 出扇形的面积即可解：解：小狗活动的面积是米22120927360三、探索规律写结论三、探索规律写结论 例例 3下图中，图 3（1）是一个扇形 AOB，将其作如下划分： 第一次划分：如图 3（2）所示，以 OA 的一半 OA1为半径画弧，再作AOB 的平分线，得 到扇形的总数为 6 个，分别为：扇形 AOB，扇形 AOC，扇形 COB，扇形 A1OB1，扇形 A1OC1，扇形 C1OB1； 第二次划分：如图 3（3）所示，在扇形 C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇 形的总数为 11 个； 第三次划分：如图 3（4）所示； 依次划分下去ABCDBAOABOOBAAABBOOCCC1

4、C1A1B1A1B1C2C1D2B1A1C1D2C2B1BDDhttp:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用数学用数学专页报专页报 第 2 页 共 4 页 版版权权所有所有少智少智报报数学数学专页专页（1）根据题意， 完成下表:划分次数扇形总个数1621134n（2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为 2005 个? 为什么? 分析：分析：本题是一道和扇形有关的图形分割规律探索题，主要考察考生的操作能力和探 索规律的能力 解：解：（1）第一次划分得到总扇形的个数为 6 个，第 2 次划分的扇形为 11 个，通过操 作可知第 3 次划分

5、可得 16 个扇形，第 4 次划分可得 21 个扇形，即每一次划分，都比前一 次多 5 个扇形所以第 n 次划分可得 6+5(n-1)个扇形 （2）假设可得到 2005 个扇形，则 6+5(n-1)=2005，得 5n=2004，n=400.8，这与扇形的个数 为整数矛盾所以不能得到 2005 个扇形 四、类比归纳来计算四、类比归纳来计算 例例 4某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性 质，可以拓展到扇形的相似中去例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例 的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平 方请你协助他们探索

6、这个问题 （1）写出判定扇形相似的一种方法：若_，则两个扇形相似；（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为、弧长为，另一个半径为，则它am2a 的弧长为_； （3）如图 4 是一完全打开的纸扇，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 为 30cm，现 要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图 5） ，求新做纸扇（扇形）的圆心角和 半径分析：分析：本题是一道以相似三角形知识为素材编拟的一道拓展探索试题，通过模拟相似 三角形的有关性质，得出相似扇形的性质，并利用所得到的性质解决实际问题 解：解：（1）答案不惟一，例如“圆心角相等”、 “半径和弧长对应成比例”等（2）根据相似扇

7、形的半径和弧长对应成比例，得半径为的弧长为 2a2m （3）因为两个扇形相似，所以新扇形的圆心角为 120，设新扇形的半径为 r，则，解得 r=1521 302r2即新扇形的半径为cm15 2ABCD EABCDEhttp:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用数学用数学专页报专页报 第 3 页 共 4 页 版版权权所有所有少智少智报报数学数学专页专页例 2（贵阳）如图 2，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB =，高cm12BC =，求这个零件的表面积；（结果保

8、留）cm8图 2分析：本题是一道与零件的表面的计算有关的实际问题，观察零件表面可知其表面是由圆柱的侧面，圆锥的侧面以及圆组成，分别求出圆锥侧面积，圆柱侧面和圆的面积.然后将三者相加即可.解：这个零件的底面积 =， 36)212(2这个零件的侧面积 = ， 96812圆锥母线长 OB =. 10)212(822OB这个零件的内侧面积 = ， 60101221这个零件的表面积为：.192609636例 3（南安）如图 3，半圆 M 的直径 AB 为 20cm，将半圆 M 绕着点 A 顺时针旋转 180（1）请你画出旋转后半圆 M 的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆 M 所扫过区域的面积（结果

9、精确到 1cm2） 图 3 图 4 分析：本题是一道与半圆的旋转变换有关的面积计算问题，将半圆 M 绕着点 A 顺时针旋转 180，则扫过的区域是一个以 A 为圆心，20cm 长为半径的一个半圆和一个半径为 10cm 的 半圆，只要将两个半圆的面积相加即得半圆 M 所扫过区域的面积.解：（1）如图 4; 半圆 M 所扫过的面积20 +10 250758(cm2 ) 212 212欣赏一题：（北京）将如图所示的圆心角为 90的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径 OA 与 OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是( ).http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显

10、数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用数学用数学专页报专页报 第 4 页 共 4 页 版版权权所有所有少智少智报报数学数学专页专页ABC图 2_ O FADCEB图 1答案:B.例例 1如图 1，在 RtABC 中，C=90，A30，点 O 在斜边 AB 上，半径为 2 的O 过点 B，切 AC 于点 D，交 BC 于点 E则由线段 CD、CE 及圆弧 DE 围成的阴影部分 的面积为 分析：分析：观察图 1 可知，线段 CD、CE 及圆弧围成的阴影部分的图形是不规则的，DE不能直接求它的面积，我们就要将其进行转化， 思考 1：在图 1 中，所有条件都不改变,如何求出线段 BE 和圆弧 BE

11、围成的图形的面积； 思考 2：在图 1 中，所有条件都不改变,如何求出线段 FA、AD 和圆弧 FD 围成的图形的面 积例例 2如图 2，在中，Rt ABC90C,2,4ACAB分别以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ACBC 分析：分析：观察图形，图 2 中的阴影部分是由两个半圆和一个直 角三角形互相交错组合而围成，也不能直接求出它的面积先根据勾股定理求得.而阴影部分的面积恰好等于22422 3BC S小半圆形S大半圆形所以，.在此题ABCS221212 31)()2 2 322222S 阴影（22 3中,要分别求出每一个阴影部分的面积是非常困难的,因此考虑从整体出发,将三个图形的面 积相加减,恰好减去了重叠的部分,从而简化了计算.所以,解题时要细心观察给出的图形,探 寻进行转化的途径和方法是解决此类问题的关键,而扇形的面积应用在其中的作用是不可低 估的.