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1、广义积分概念引入的几何背景分析广义积分概念引入的几何背景分析宋榕荣宋榕荣摘要 我们在研究定积分时都有直观的几何意义，定积分的被积函数的区间为有 限区间，函数为该区间上的有界函数。当我们去掉这两个限制时，就得到广义积分，我们 就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景。 关键字 定积分 广义积分 几何背景一、广义积分与定积分之间的区别和联系一、广义积分与定积分之间的区别和联系 （1）形式上：定积分的区间是有限区间，即上下限都是有限实数，且定积分 的被积函数是有界函数，而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界。 （2）内容上：定积分的被积函数是有界连续函数。无穷区间 ）的广义积分，若, a
2、( )lim( )baabf x dxf x dx存在，则广义积分收敛，否则发散。类似的有在定义在lim( )babf x dx ( ) af x dx（上的广义积分的收敛发散性。同时还有定义在（）上的广义积,b, 分的收敛性。二、无穷区间上的广义积分的几何背景二、无穷区间上的广义积分的几何背景无穷区间上的广义积分也就是被积函数的定义域无上限或无下限，这类的 广义积分在形式上可分为三种，我们用三个例子来加以说明：例 1 求曲线 f(x)= 的下方、=1 的右方、轴上方的平面区域面积。21 xxxxyO1x = a分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封闭的，故不可用定积分 直接求其面积。但
3、所给区域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、 外部或边界上是明确的）。在 x=1 的右侧做一条垂直于 x 轴的直线 x=a(a1),则曲线 f(x)= 、=1、=a、x 轴围成一个曲边梯形（阴影部分所示），其21 xxx面积用定积分表示为。要求其面积的不封闭区域可想象成右边界在无 1( )af x dx穷远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界 x=a 沿 x 轴正方向无穷远处平移得到，故其面积可从形式上类比到，而 1( )af x dx1( )f x dx其实质为（对应于阴影部分曲边梯形的右边界 x=a 向右 1lim( )aaf x dx b 平移至无穷远处）。故所求
4、面积为=。 1( )f x dx1lim( )aaf x dx 解：设曲线 f(x)= 的下方、=1 的右方、轴上方的平面区域的面积21 xxx为 A，则A= 1( )af x dx=11lim( ) ( )f x d xdx= 211limaaxdx= ()lim a1 x1a= (1)lim a1 a= 1所以曲线 f(x)= 的下方、x=1 的右方、x 轴上方的平面区域的面积为 1。 21 x例 2 求曲线 f(x)= 的下方、x=-1 的左方、x 轴上方的平面区域的面积。21 xxy0-1x = a分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封闭的，故不可用定积分 直接求其面积。但所给区
5、域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、 外部或边界上是明确的）。在 x=-1 的左侧做一条垂直于 x 轴的直线 x=a(a0，函数 f(x)在a+,b上可积，当趋向于 0 时，函数的广义积分为= 。由此可联想到广义积分的几何问 0( )bf x dx0lim 0( )bf x dx 题。如下图为无界函数 f(x)的图像，f(x) 在(a, b上有意义，在 a 附近无界， 曲线 f(x)下方、x 轴上方 y=b 右边的区域的面积为 A。x=b baxy0分析： 我们将 x=0 向左平移(a0）、x 轴、轴及x1x=a(a0)所构成，它绕 x 轴旋转一圈而成立体，求旋转体的体积。yxza
6、O分析：由于该旋转体不封闭，不能直接用定积分来求，我们作一个垂直于 x 轴的平面去截取该图形，让无限趋向于平面。yoz解：设平面为，则在区间m ,a内任何一个垂直与 y 轴的平面,0 ,y mm a x z Z 与这个旋转体相交的截面积A(y) = 22( ( )xf y由此我们得到该旋转体的体积为:V(y) =22( ( )xf y20lim( ( )ammf ydy =201lim( )ammdyy 六、广义积分的几何意义六、广义积分的几何意义（一）无穷区间上的广义积分的几何意义（一）无穷区间上的广义积分的几何意义 若在)（或（）上定义存在，在上时,( )baf x dx, a ,b, a
7、 b( )f x0定积分在几何上表示曲线、两条直线与轴所围成( )baf x dx( )yf x,xa xbx的曲边梯形的面积。我们将直线无限向左平移（或将直线无限向右xaxb平移）得到广义积分（或）的几何意义。( )bf x dx ( ) af x dx在上时，同理可得其几何意义。, a b( )f x0（二）无界函数的广义积分的几何意义（二）无界函数的广义积分的几何意义若在(上有定义，在点附近无界，且对任意小的，在( )f x, a ba0上可积，则广义积分的几何意义是曲线、两条直线,ab( )baf x dx ( )yf x与轴所围成的曲边梯形的面积。当时，即直线无限,xaxbx0xa趋
8、向于 0 时，即得广义积分的几何意义。同理可得在 b 点附近无( )baf x dx( )f x界的广义积分的几何意义。参考文献 1、宋开泰、黄象鼎、朱方生 微积分：武汉大学出版社，20052、谢盛刚、李娟、陈秋桂 微积分：科学出版社，2004 3、欧阳光中、姚允龙 数学分析, 2002 4、王永安、广义积分：定积分在极限思想下的自然延伸THETHE CONCEPTCONCEPT OFOF GENERALIZEDGENERALIZED INTEGRALINTEGRAL GEOMETRYGEOMETRY BACKGROUNDBACKGROUND ANALYSISANALYSISAbstractA
9、bstract We study the definite integral is intuitive geometric meaning, the definite integral of the interval for finite interval, the function to the interval on a bounded function. When we get rid of these limitations, the results in improper integrals, we used them in the links between the General integral geometry background.KeywordKeyword definite integral generalized integral geometry background
