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1、0JIU JIANG UNIVERSITY毕毕 业业 论论 文文 题 目 行列式的计算方法 英文题目 The Calculation Method of Determinant院 系 理学院 专 业 信息与计算科学 姓 名 熊绪沅 班级学号 A1021 指导教师 石定琴 二零一四年五月1摘摘 要要高等代数是大学数学系的一门专业基础课，而行列式又是高等代数课程里最基本的内容之一。行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不仅如此，在许多方面都有着广泛的应用，如解析几何、数值计算和工程计算等。因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文阐述了行列式计算的 12 种方法，这些方法不但可以提高我
2、们对行列式的认识，而且也有利于我们把行列式的研究推向深入。关键词关键词：行列式；拉普拉斯定理；三角形法；特征值；分块矩阵法2AbstractHigher Algebra is a basic professional course in the Department of Mathematics, and determinant is one of the most basic content of higher algebra courses. The determinant is firstly developed by the solution of linear equations a
3、nd the development of the determinant, today, has more than that, it is widely used in many aspects, such as analytic geometry, numerical calculation, engineering calculation and so on. Therefore, how to calculate the determinant is particularly important. This paper describes 12 kinds of methods to
4、 calculate determinant, these methods can not only improve our understanding of the determinant but also help us push the determinant research to deeper.Key words: Determinant; Laplace theorem; Triangle method；Block matrix method 3目 录一、n 阶行列式定义与基本性质 .11 行列式的定义.1 2 行列式的性质.2二、 n 阶行列式的计算方法 .31. 行列式性质法.
5、3 2. 化三角形法.4 3. 展开法.5 4. 范德蒙行列式法.5 5. 升阶法.7 6. 数学归纳法.9 7. 特征方程法.10 8. 拆项法.10 9. 逐行（列）相加减法.11 10. 特征值法.13 11. 分块矩阵法.13三、总结概述.16参考文献.17致谢.1840引引 言言行列式是高等数学中一个十分重要的课题，在数学理论的研究中起到了相当重要的作用。早在十七世纪末和十八世纪初，日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨在解线性方程组的过程中，就分别提出了行列式的概念；到了 1772 年的时候，法国数学家范德蒙(Vandermonde)最早把行列式独立于线性方程之外，将其作为
6、专门的理论来进行研究；而十九世纪又是行列式理论的形成和发展的重要时期，尤其在十九世纪中叶出现了行列式的大量定理。因此，在十九世纪末的时候，数学家们已经清楚的描述出了行列式的基本形式。行列式最早产生于解线性方程组的过程中，而其初步的应用也是服务于解线性方程组，不过它现在的应用范围不仅仅局限于解线性方程组的过程中，而且已经成为许多学科十分重要的计算工具。所以，对于我们来说掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的计算是数学研究中的一个十分重要的问题，也是一个复杂的问题。当行列式的阶数相对比较低（不超过 3 阶）时，通常可以按照行列式的定义和性质直接计算得出结果，而当行列式出现很多的零元素时（如某些
7、三角形行列式）也可以按行列式的定义直接进行求值。但是对于阶数比较大的阶行列式，按照其定义和性质直接去计算行列式，这几乎是不可n能的事，因此，对于研究一般的阶行列式的计算方法，是高等代数中十分必n要的。为此，我们首先要给出行列式的定义并讨论它的性质，从而引出行列式的各种计算方法。一、一、n n 阶行列式定义与基本性质阶行列式定义与基本性质1行列式的定义（1）逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排1列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。如 2513 中，21，51，5
8、3 是逆序，逆序数是 3，即为奇排列。（2）n 阶行列式记为11 21 21112121222() 1 12 2 ()12( 1)nnnnj jj jjnjn j jjnnnnaaa aaaDa aaaaaLLL LLLLLL L有时也简单记为或或，其中）为排列的逆序Adet( )Aijn na(njjL1njjL1数，就是对所有 n 级排列求和。行列式也可以表示为：1 2nj jj L.1 21 21112121222() 1 12 2 ()12( 1)nnnni ii iinin i iinnnnaaa aaaa aaaaaLLL LLLLLL L2行列式的性质1) 行与列相互对换，行列式
9、不变，即行列式与其转置行列式相等；1111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaa aaaaaaaaaaaaLL LL LLLLLLLL LL2) 如果某一行是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行相等；121111211112112121122121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbbccbcbcbcaaaaaaaaaLLL LLLLLLLLLLLLLLL LLLLLLLLLLLL LLL3) 一个数乘以行列式的某一行（或列） ，等于这个数乘以此行列式；111112
10、111212121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakkakakaaaaaaaaaaLL LLLLLLLLLL LLLLLLLL LL4) 如果行列式满足下列条件之一，则该行列式等于零；行列式两行（或列）成比例；行列式两行（或列）元素相同；行列式一行（或列）元素全为 0。25) 把一行（或列）的倍数加到另一行（或列） ，行列式不变；6) 对换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号；7) 设，那么可以按某一行（或列）展开，即有111212122212nn nnnnnaaaaaaDaaaLLLLLLLnD112211221,2,1,2,niiiiininjjjjnjnjDa Aa Aa Aina Aa Aa AjnLLLL，其中是中的元素的代数余子式。ijAnDija二、二、 n n 阶行列式的计算方法阶行列式的计算方法1. 行列式性质法行列式的性质是计算行列式的最基本的方法，其它的一切计算行列式方法都是以此为根据。通过初等行变换或列变换，或者两种变换交替使用，可以把复杂的行列式简单化，从而快速计算出来。例：一个级行列式的元素满足 那么称nnijDa, ,1,2,
