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1、87第六章 投资选择理论与资产定价【学习要点及目标】均值方差投资准则。均值方差前沿组合的含义、市场组合。 基金分离定理。资本资产定价模型与套利定价理论【核心概念】均值方差原则 可行集 对偶组合 全局标准差最小组合 市场组合 证券市场线【引导案例】有这样一个故事，有位数学家，他坚信均值足以描述任何事件，因此被淹死在一条平均深度只有 2 英寸的河里。每位投资者，至少从直觉上会感到，均值不是决策时惟一的考虑因素。从证券投资分析的角度，收益均值大小只表示某证券收益的期望值。对两种证券比较优劣时，不能光凭收益均值大小来决定，还要考虑各种证券的风险程度。风险程度的大小，我们用收益率的标准差 来衡量。收益率
2、偏离均值越厉害，也就是标准差越大，它表示证券收益的变化越剧烈，风险也越大。这个认识已经是今天投资者的一个共识，可是这样的一个认识确是经历了相当漫长的时间，直到 1952 年 Markowitz 提出了均值方差原则，才被人们所认识，并迅速在金融界扩张开来。资料部分来源于 -均值-方差证券资产组合理论在第三章，我们在投资者是非厌足的前提下和金融资产的收益服从正态分布，或者假定投资者的效用函数是二次效用函数时，我们证明了投资者投资原则是均值-方差原则。即：在给定均值的条件下，投资组合的方差越小越好；在给定投资组合方差的条件下，组合收在给定均值的条件下，投资组合的方差越小越好；在给定投资组合方差的条件
3、下，组合收益的均值越大越好益的均值越大越好。满足上述两条原则的投资组合，称为有效投资组合（否则称为无效组合） ，有效投资组合的集合，称为有效集。这一章我们就从均值-方差有效投资组合开始，来逐步深入的探讨投资组合的选择和资本资产定价模型。88第一节 均值-方差前沿组合我们假设市场上存在 N 项风险资产，为了叙述方便，约定：(1). 用表示单位向量，用表示零向量，表示(1, 1, , 1)tI L(0, 0, , 0)tL( )tg向量的转置； ( )g(2). 资产收益的随机向量记为，收益率向量的期望向量记为12( , , , )t Nrrrr% %L;1212(, , , )( , , , )
4、tt NNrErErErrrr%LL(3). 收益率向量的的协方差矩阵记为，( , )E()()()t ijN NCov r rrEr rEr % % %其中表示第 项资产和第项资产的收益间的协方差;()()ijiijjE rErrEr% %ij(4). 投资在各项资产上的投资额占总投资额的比例用向量表示，12( , , , )t NxxxxL因此它满足, 如果表示卖空第 项资产。1tx I 0ix i我们假定期初财富是 1，那么向量的各个分量就代表投资在某个12( , , , )t NxxxxL资产上的财富比例，也代表投资额。那么，投资组合的收益， （1.1）ttt pEx rx Erx r
5、%投资组合收益的方差. （1.2）(, )( , )tttt pCov x r x rx Cov r r xxx% %根据均值方差原则，我们可以把投资组合问题归结为如下优化问题的解（1.3）1min 2. . 1 tttxxx rstx I 或其对偶问题的解（1.4）max . . 1tttx rxxstx I 定义定义 1.1(均值方差前沿组合均值方差前沿组合). 投资组合被称为均值-方差前沿组12( , , , )t NxxxxL合（Mean-Variance frontier portfolio）,如果它是优化问题(1.3)或者优化问题（1.4）的解。89定义定义 1.2(均值均值-方差
6、前沿边界方差前沿边界). 所有的均值方差前沿组合构成的集合称为“均值-方差前 沿边界”(Mean-Variance frontier)。一、两种资产的情形我们从两个资产组合的情形开始我们的讨论。对于两资产的情形，投资比例为,组合的收益为( , 1)xx； （1.5）12(1)rxrx r%12(1)ErxErx Er%组合收益的方差为（1.6）22222 11222 (1)(1)pxxxx 为两种资产收益之间的相关系数. 若给定收益，由（1.5）式可以得到pEr%（1.7）212prxrr则方差和收益的关系分以下三种情况。(I)当当时时1， （1.8）2 12212 12(1x)()p prx
7、rr或者， （1.9）12 22 12()pprrr图 1 两种资产完全正相关(II)当当时时1 （1.10）2 12122 12(1x)(+)-p prxrr 90或者（1.11）p212112 1212 1212121212+= =p pprrrrrrm图 2 两种资产完全负相关（III）当）当时时 11 由(1.6)我们知道，不出现卖空的情况下（1.12）2122 (1)0pxx 说明组合的方差是相关系数的增函数，因此222222222 112211222 (1)(1x)2 (1)(1x)pxxxxxx 即. (1.13)12(1x)px说明组合的标准差小于资产标准差的加权平均，投资分散
8、化可以降低风险。图 3 两种资产不完全相关91当收益给定时，相当于固定，因此随着由到 ，递增， 因此时前px112 p1沿组合的机会集位于 AB（对应于的机会集）的左边，同时位于虚线(对应于1的机会集)的右侧，见图 3. 1 特别地，当第一项资产为无风险资产，第二项资产为风险资产时，此时我们用表示fr无风险资产，表示风险资产的收益，为其方差（，为什么？ ） 。 则组2r %22frErr% 合的收益为 ， （1.14）222(1)()pffxrx rrrr x组合的方差为. （1.15）22 2(1)=+pff ppfp frrrxrrr或者参见图 4.图 4 无风险资产与风险资产二、种资产的
9、情形（不存在无风险资产）n（一）（一） 、均值、均值-方差前沿组合的构件方差前沿组合的构件下面我们来考虑一般的情况，也就是有项资产的情况下的， （1.3）优化问题的解。n它直接的经济含义就是在给定收益水平的情况下，方差实现最小，也就是承担的风险最小。构造 Lagrange 如下92（1.16）121()(1)2tttLxxx rx I 一阶条件为（1.17）12120010ttLxrIx Lx rLx I 为符号简便期间，我们引入几个新的常数符号（1.18）11112; ; ; -ttttArIIrBrrCIIDBCA由于协方差矩阵是正定阵，所以，；又因为10tBrr10tCII（1.19）1
10、2220()()()tArBIArBIB CA BB BCABD由于，所以，求解（1.17）得到0B 0D （1.20）121(A C)1(A)DBD （1.21）11()() xCA rBAID则（1.21）就是优化问题（1.3）的解，也就是均值方差前沿组合。说明：说明：是一个一元函数，因此它在空间是一条直11()() xCA rBAIDnR线。 性质 1. 所有的均值-方差前沿组合的集合构成空间的一条直线。nR性质 2. 所有的均值-方差前沿组合在均值-标准差平面内是一条双曲线。我们把（1.21）代入（1.2）式得到9311122 2221()() ()() 1=()() ()() 11=
11、()()()tttttxxCA rBAICA rBAIDCA rBAICA rBAID CACA DBADDDCC 即：（1.22）222(A/C)11/CD C图 5. 均值-方差前沿组合线从图 5 可以看出，双曲线的右半支的内部为组合的可行域，外部为不可行域，可行域的边界是由均值-方差前沿组合构成的曲线。而顶点以上的上半支为有效前沿线，这是因为，如图 5 中，组合 1 和组合 2 具有相同的标准差，但是组合 1 的期望收益大于组合 2 的期望收益，因此投资者在进行投资选择时必然是选择组合 1 而不选择组合 2。在前沿组合中，有一个组合特别引人注目，那么就是方差最小的前沿组合，该组合的期望收
12、益为，由于该组合在所有最小方差组合中的方差最小，我们称其为全局标准/A C差最小资产组合(Minimum Variance Portfolio, mvp)，同样我们可以看到投资者不会选择期望收益小于 的资产组合，也就是位于全局标准差最小资产组合点下方的前沿线上的资/A C产组合。因此我们把全局标准差最小资产组合点以上的双曲线的称其为有效前沿线。一旦确定了有效前沿，那么投资者的组合选择问题就转化为根据个人对均值和方差的具体态度来选择符合他们各自需求的投资组合问题。定义定义 1.3(均值均值-方差占优方差占优).两个均值方差前沿组合两个均值方差前沿组合和和， 如果它们满足下列条件如果它们满足下列条
13、件PxQx94之一之一(1). ，且，且；PQErEr%()()PQVar rVar r%(2). ，且，且； PQErEr%()()PQVar rVar r%则称在均值在均值-方差意义上占优于方差意义上占优于。PxQx定义定义 1.4(均值均值-方差有效组合方差有效组合). 若均值若均值-方差前沿组合方差前沿组合不被别的投资组合在不被别的投资组合在“均值均值-方方Px差差”意义上占优，则意义上占优，则也被称为也被称为“均值均值-方差有效组合方差有效组合”(Mean-Variance efficient Portfolio).Px（二）（二） 、前沿组合的性质、前沿组合的性质下面我们来考察前沿
14、组合之间的关系。在概率论中，我们知道两个随机变量之间的关系是通过协方差来度量，那么在资本市场上，不管是定价还是考察两项资产之间的关系，本质上都是要通过考察资产收益之间的关系来实现，因此资产收益的协方差的计算是金融资产定价问题的出发点。1、前沿组合是凸组合当预期收益时，前沿组合为全局标准差最小组合，组合的交易策略为/A C（1.23）1gIxC当我们取（，为什么？） ，相应的前沿组合的交易策略为/B A/A C（1.24）1drxA我们不妨称为可分散化投资组合，它的方差为 。dx2/B A接下来，我们重现改写(1.21)，可以得到， （1.25）1211()()dgA CArC BAIxxxDADC其中.12()()1A CAC BA DD由此我们发现一个有趣的结论：任何一个均值-方差组合都可以由上述的可分散化的组合和全局标准差最小组合通过凸组合来实现。这就是著名的两基金分离定理。dxgx定理定理 1(两基金分离定理两基金分离定理)：任何一个均值：任何一个均值-方差前沿组合方差前沿组合都可以由两个不同的均值可以由两个不同的均值-方差方差前沿组合来生成。即，对于任意一个前沿组合前沿组合来生成。即，对于任意一个前
