年五年级希望杯串讲

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1、主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 五年级希望杯知识点串讲致远教育：致远教育：62923545，63149721 中小学精品教育第一品牌！中小学精品教育第一品牌！ 爱在数学，乐在数学！爱在数学，乐在数学！ Page 1 of 140909 年年 五五 年年 级级 希希 望望 杯杯 串串 讲讲【1】 【解】试除法。200999999 余 2,所以最后三位数最大是 997，200900099 余 92,最小是 007. 【练习】 【解析】试除法。99936=2727,现要求余 8，则 999-（27-8）= 980. 【练习练习】 【分析与解分析与解】 采用试除法,一

2、个数能同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，而将这些数一一分解质因 数：，所以这个数一定能被57=8957=2520 整除3223用 1993000 试除，19930002520=7902200，余 2200 可以看成不足 2520-2200=320，所以在末三位的 方格内填入 320 即可【2】【2】 【解】6设第一次取出的球的编号之和为 a，则第二次为 2a，则第三次为 4a，编号和一共为 7a，是 7 的倍数， 又 123 1055，55649 是 7 的倍数，所以未取出的球的编号为 6. 【练习练习】 【解析】5.【3】 【解】不存在这样的填法. 理由：所有的自然数可按被 3

3、除所得的余数不同分成三类：余数是 0，余数是 1，余数是 2，所以四个自 然数中至少有两个数被 3 除所得的余数相同，这两个数的差一定能被 3 整除，因此题中所述的填法不存 在.【4】 【推荐解法】一个数是一个数是 3 3 的倍数，就是任意位一格，数（字）之和为的倍数，就是任意位一格，数（字）之和为 3 3 倍倍。 当十位为 0、3、6、9 时，个位为 1、4、7，共 34=12 种。 当十位为 1、4、7 时，个位为 0、3、6、9，共 34=12 种。 当十位为 2、5、8 时，个位为 2、5、8，共 33=9 种。 综合上共 12+12+9=33 种。 答：有 33 种不同的填法。 【练

4、习练习】 【解析解析】数字之和数字之和 2+8+2+8=202+8+2+8=20，203203 余余 2 2，则，则可填可填 1 1、4 4、7.7.如果只答其中如果只答其中 1 1 个答案不给分。个答案不给分。【5】【5】 【解析解析】同余。同余。51-23=28,72-23=49,72-51=21,51-23=28,72-23=49,72-51=21,那么这个除数应该是这那么这个除数应该是这 2828，4949，2121 的公约数的公约数 7.7.【6】【6】 【分析】 该数加上 5 以后可被 7 和 8 整除，也就是 56 的倍数 【解】 注意到 7 一 28 一 35 ，也就是说该数加

5、上 5 以后可被 7 和 8 整除，也就是 56 的倍 数因此这个数只可能是 56 一 5 , 562 一 5 , 563 一 5. 经检验发现只有 563 一 5 163 被 9 除余 1 符合要求，因此该数为 163 . 【评析】 余数不同，但余数的补数相同，这类问题经常出现【7】【7】 【分析】a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a, b 分别除以 c 的余数之和（或这个和除以 c 的余数）. 【解】 639013025 应该能被这个自然数整除，即这个自然数是 258 的约数而 2582343 主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 五年级希望杯知识点串讲致

6、远教育：致远教育：62923545，63149721 中小学精品教育第一品牌！中小学精品教育第一品牌！ 爱在数学，乐在数学！爱在数学，乐在数学！ Page 2 of 14由于 6 能整除 90，而且这个自然数不能大于 63，则这个自然数为 43可见余数最大的是 63 的余数20 . 【评析】 余数性质的典型应用 【注意】当余数之和大于大于除数时，所求余数等于余数之和再除以 c 的余数【8】【8】 【分析】 同余的性质 5 的应用若 ab ( mod m) , cd ( mod m)，那么 acbd ( mod m) （可乘性）. 【解】 4182 (mod 13), 8148 (mod 13)

7、, 16164(mod 13), 根据同余的性质 5 可得 41881416162846412 (mod 13) . 所以，乘积 418 火 81 生只 1616 除以 13 余数是 12 . 【评析】 若先求乘积，再求余数，计算量太大利用同余的性质可以使“大数化小” ，减少计算量【9】【解】 1433 ( mod7 ) 89143893( mod 7) 8964168l ,而232(mod 7) , 434(mod 7) , 83162 (mod 7) , 1634(mod 7) , 323162(mod 7) , 6434 (mod 7). 893643163833 44235 (mod

8、7) , 891435 (mod 7) . 【评析】 同余的性质能使“大数化小” ，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小这道题 先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律【10】 【分析】 这道题本身并不是很复杂，关键是要求学生理解题意，把题意转化成常规的余数问题就很简单 了可以这么说，甲数除以 36 余 11 ，乙数除以 36 余 25 ，问甲乙两数的积除以 36 余几？用到的知识 点还是性质 5 . 因为甲数除以 36 余 11 ，乙数除以 36 余 25 ，所以“甲数乙数”除以 36 的余数等于ll25 除以 36 的余数 【解】甲代表团坐满若干辆车后

9、余 11 人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以 36 余 11 ；两代表团 余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余 36 一 1125（人） ，即乙代表团的人数（简称乙数）除以 36 余 25 ；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数乙数”张照片， 因为每个胶卷拍 36 张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数乙数”除以 36 的余数因为甲数除 以 36 余 11 ，乙数除以 36 余 25 ，所以“甲数乙数”除以 36 的余数等于 1125 除以 36 的余 数(1125 ）36723 ，即拍完了 7 个卷后最后一个胶卷还要拍 23 张，还可拍 36 一 23

10、13（张） . 【练习练习】 【分析与解】 现在要求被 11 除余 8 ，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被 11 整除了所 以我们得到“一个数被 11 除余 8 ”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加 3 ，得另一个和数，如果这两个和数之差能被 11 整除，那么这个数是被 11 除余 8 的数；否则就不是 要把 1 , 9 , 8 , 8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组，每组 2 个数 字其中一组作为千位和十位数，它们的和记为 A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上 3 记为 B 我们要适当分组，使得能被 11 整除现在

11、只有下面 4 种分组法：主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址： 五年级希望杯知识点串讲致远教育：致远教育：62923545，63149721 中小学精品教育第一品牌！中小学精品教育第一品牌！ 爱在数学，乐在数学！爱在数学，乐在数学！ Page 3 of 14经过验证， 满足要求，即 A189 , B98320 B 一 A 11 能被 11 除尽 但其余于种分组都不满足要求根据判定法则还可以知道，如果一个数被余 8，那么在奇位的任意 两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被 11 除也余 8于是，上面第分组中，1 和 8 任一个可以作为千位数，9 和 8

12、中任一个可以作为百位数这样共有 4 种可能的排法：1988 , 1889 , 8918 。8819 . 【评析】 难点在于有余数，偶位数字相加的和与奇位数字相加的和之差能被 11 整除，余数的特点互补 性【11】【11】 【分析】采用反证法，假设可以经过若干次翻动，使得所有杯子杯口全部向下，接着计算所有杯子被翻 动的次数之和一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有 7 个杯子，7 个 奇数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之和是奇数；另一方面，每次翻动 6 个杯子，因此 总次数一定是 6 的倍数，那么就一定是偶数 【解】 采用反证法，假设可以经过若干次翻动，使得所

13、有杯子杯口全部向下，下面计算所有杯子被翻动 的次数之和一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有 7 个杯子，7 个奇 数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之和是奇数；另一方面，每次翻动 6 个杯子，因此总 次数一定是 6 的倍数，那么就一定是偶数由于奇数不可能等于偶数，所以我们的假设错误，故不可能 经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下 【评析评析】翻杯子问题（翻杯子问题（1）共有奇数个杯子口向上，每次翻动其中偶数个，经过若干次操作，不能将所有）共有奇数个杯子口向上，每次翻动其中偶数个，经过若干次操作，不能将所有 杯子杯中向下。奇数个杯子，每个翻动奇数次，总次数为

14、奇数；而每次翻偶数个，总次数为偶数。杯子杯中向下。奇数个杯子，每个翻动奇数次，总次数为奇数；而每次翻偶数个，总次数为偶数。 （2）共有偶数）共有偶数 N 个杯子口向上，每次翻动其中）个杯子口向上，每次翻动其中） （N-1）个，经过若干次操作，能将所有杯子杯中向下。）个，经过若干次操作，能将所有杯子杯中向下。 第第 1 次第次第 1 个不动，第个不动，第 2 次第次第 2 个不动，第个不动，第 3 次第次第 3 个动，第个动，第 n 次第次第 n 个动。这样以能把所有杯子口向个动。这样以能把所有杯子口向 下。下。【12】【12】 【分析与解】一个 2 与一个 5 相乘可以得到一个 0，40！中

15、2 的个数远多于 5 的个数，所以只需看质因 数 5 的个数.5，10，15，20，25，30，35，40 一共 9 个 5.阶乘算末位 0 的个数也可以这么算：n！末位的！末位的0 个数：个数： 此题：=9525125nnn 4040 525【13】 【分析与解】 我们知道尾部的零，由“2” 、 “5”质因数的个数，并且我们知道多个连续自然数中偶数的个数远 多于 5 的倍数的个数于是我们知道只用计算出乘积中“5”的个数. 我们还注意到“5” 、 “25” 、 “125” 、 “625”中含“5”的个数不一样. 我们注意到： =40180163=500；2009200920092009 525125625主动学习网理念：理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育 网址：网址：www.36