《命题及其关系》导学案

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1、1第 1 课时 命题及其关系1.了解命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题、逆否命题). 2.会分析四种命题间的相互关系和等价关系.有一家主人是一个不善言辞的木讷之人,一天主人邀请张三、李四、王五三人吃饭聊天,时 间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事不能来了.”主人听到随口 说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片 刻,又道了句:“哎,不该走的走了.”李四一听大怒,拂袖而去,主人尴尬不知所措.问题 1: (1)张三和李四之所以生气走人,是因为主人的表达方式存在逻辑错误,该来的 没来这句话等价于 ,不该走的走了这句话

2、等价于 . (2)一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断 的陈述句叫 作命题.其中判断为真的语句叫作 ,判断为假的语句叫作 .命题的常见 形式是 ,其中p叫作命题的 ,q叫作命题的 . 问题 2: 四种命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 , 那么我们把这样的两个命题叫作 命题.如果把其中的一个命题叫作 ,那 么另一个命题叫作 . 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ,我们 把这样的两个命题叫作 命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题就 叫作 . 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和

3、,我 们把这样的两个命题叫作 .如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个 命题就叫作 . 问题 3: 四种命题之间的相互关系: (1)原命题的形式:若p,则q; 原命题的否命题形式: ; 原命题的逆命题形式: ; 原命题的逆否命题形式: . (2)图形关系2问题 4: 四种命题的真假性的判断情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真 真假 假真 假假 说明:(1)原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有 ; (2)互逆命题和互否命题,它们的真假性 关系; (3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来 判断原命题的真假.1.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂

4、直”的结论是( ). A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直 C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直 D.这个四边形是平行四边形 2.命题“若aA,则bB”的否命题是( ). A.若aA,则bB B.若aA,则bB C.若bB,则aA D.若bB,则aA 3.下列语句是命题的有 . (1)52,则方程x2+2x+3m=0 无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断真假.命题及其真假的判断 判断下列语句是否为命题,若是命题,则判断其真假.求证:是无理数;x2-2x+30;正三角形是等腰三角形吗?x3;方程x2+3x+3=0 无实数解;若G2=ab,则a,

5、G,b成等比数列.四种命题间的关系 将命题“a0,则函数y=ax+b的值随x的增大而增大”,写成“若p,则q”的形式,并写 出其否命题、逆命题和逆否命题.3逆否命题的应用 求证:已知函数f(x)是(-,+)上的增函数,a,bR,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.判断下列语句是否是命题. (1)求证 是无理数;(2)x2+4x+5=0;(3)若a,b都是无理数,则ab是无理数.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1)若ab,则ac2bc2. (2)两个无理数的积仍是无理数.证明:对任意非正数c,若ab+c,则ab.1.已知x,yR,下列命题中为真命题的

6、是( ). A.若xy=0,则x2+y2=0 B.若xy=0,则|x|+|y|=|x+y|C.若xy,则x2y2 D.若x0”的 条件; (3)“ f()0”是“y=f(x)的图像不是y=xcos x+sin x 的图像”的 条件. 问题 2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性有何联系?(1)若 ,则p是q的充分不必要条件; (2)若 ,则p是q的必要不充分条件; (3)若 ,则p是q的充要条件; (4)若 ,则p是q的既不充分也不必要条件. 问题 3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件? 建立与p、q相应的集合,即p:A=x|p(x),q:B=x|q(x).集合A与B的关系

7、Venn 图表示法若AB,则p是q的 ,若AB,则p是q的 5若BA,则p是q的 ,若BA,则p是q的 若AB且BA,则p既不是q的 ,也不是q的 若AB且BA,即A=B,则p是q的 1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是( ).2.在ABC中,“sin A”是“A”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知q是等比数列an的公比,则“qb,q:.(2)p:ab,q:2a2b-1.(3)p:ABC中,A60,q:sin A.已知命题p:1-c0),命题q:x7 或x0 且b0, q:ab0. (2)p:1,

8、 q:xy.(2013 年安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 第 3 课时 充分必要条件的综合应用71.能够分清充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的关系.2.利用充分必要条件的知识解决与集合、函数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何等问题.上一节课我们共同学习了充分条件、必要条件和充要条件的基本概念,并能简单地进行论证,充分必要条件是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列、平面向量等知识的综合交汇点,地位重要,本节课我们将共同探究充分必要条件的综

9、合应用,我们先思考并回答下面几个问题.问题 1: 充分条件与必要条件的定义:(1)若pq,则p是q的 条件; (2)若qp,则p是q的 条件; (3)若pq且qp,则p是q的 条件; (4)若pq且q/ p,则p是q的 条件; (5)若p/ q且qp,则p是q的 条件; (6)若p/ q且q/ p,则p是q的 条件. 问题 2: 充分必要条件与集合间的关系记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AB,则p是q的 条件; 若AB,则p是q的 条件; 若BA,则p是q的 条件; 若BA,则p是q的 条件; 若A=B,则p是q的 条件; 若AB,且AB,则p是q的 条件. 问题 3: 四种命题间的

10、充分必要关系:把p与q分别记作命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:(1)如果原命题真,逆命题假,那么p是q的 条件; (2)如果原命题假,逆命题真,那么p是q的 条件; (3)如果原命题与逆命题都真,那么p是q的 条件; (4)如果原命题与逆命题都假,那么p是q的 条件. 1.不等式 2x2+x-33 或xb”是“a3b3”的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件8C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“x=2k+(kZ)”是“tan x=1”的 条件.(填“充分不必要” “ 必要不充分”或“充分必要”) 4.已知集合A=y|y=x2- x+1, x ,2

11、,B=x|x+m21.若“xA”是“xB”的充分条件,求实数m的取值范围.充分必要条件的判定 已知数列an,“对任意的nN+,点P(n,an)都在直线y=2x+1 上”是“数列an为等差 数列”的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件充要条件的探求已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).(1)求点A、B、C能构成三角形的充要条件; (2)求A为直角的充要条件.充要条件的证明 设a,b,c为ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件 是A=90.设等比数列an的公比为q,前n项

12、和为Sn,则“|q|=”是“S6=7S2”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件已知关于x的一元二次方程(mZ),mx2-4x+4=0, x2-4mx+4m2-4m-5=0, 求方程和的根都是整数的充要条件.9设p是不为 0 和 1 的实数,Sn=pn+q(nN+)是数列的前n项和.求证:数列是等比数列的充要条件是q=-1.1. “=”是“cos =”的( ).A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知函数y=f(x)的定义域为D,且D关于坐标原点对称,则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函

13、 数”的( ). A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知条件p:函数g(x)=logm(x-1)为减函数,条件q:关于x的一元二次方程-2x+m=0 有解,则p是q的 条件.(填“充分不必要” “ 必要不充分”或“充分必要”) 4.求一元二次方程ax2+2x+1=0 有一个正根和一个负根的充分必要条件.(2013 年天津卷)设a,bR,则“(a-b)a2)不大于 ()小于(3,q:3=3; (2)p:0,q:0; (3)p:AA,q:AA=A; (4)p:函数x2+3x+4=0 的图象与x轴有公共点,q:方程x2+3x-4=0 没有实根.命题的否定

14、写出下列命题的否定: (1)正方形的四条边都相等; (2)已知a,bN,若ab能被 5 整除,则a,b中至少有一个不能被 5 整除; (3)若x2-x-20,则x=-1 且x=2.指出下列命题的形式及构成它的简单命题. (1)方程x2+x+1=0 没有实数根; (2)他是运动员,又是教练; (3)这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且政治上有错误.已知命题p、q,试写出p或q、p且q、非p形式的命题并判断真假. (1)p:平行四边形的一组对边平行,q:平行四边形的一组对边相等;(2)p:21,3,5,7,q:22,4,6,8; (3)p:11,2, q:11,2.12写出下列命题的否定和否命题,并判定其真假. (1)p:若x2+y2=0,则x,y全为零; (2)p:若x=3 且y=5,则x+y=8.1.已知命题p:2+2=5,命题q:32,则下列判断正确的是( ). A.“p或q”为假,“非q”为假 B.“p或q”为真,“非q”为假 C.“p且q”为假,“非p”为假 D.“p且q”为真,“p或q”为假 2.已知p:0,q:11,2.由它们构成的新命题“pq” “pq” “p”中,真命题有( ).A.1 个B.2 个C.3 个D.0 个 3.命题“若a1.5中.(2)p:方程x2-3x-1=0 有两正根,q:方程x2-3=0 有两实数根