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1、2009 年高考第二轮热点专题复习：不等式考纲指要：考纲指要：利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考)0( ,)(axaxxf察的重点和热点，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主.考点扫描：考点扫描： 1不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 （组）的实际背景； 2基本不等式：（a,b0） 探索并了解基本不等式的证明过程； 会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。 3常用的证明不等式的方法:（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法。 4不等式及它的解法：（1）一元一次不等式； （2）一元二次不等式； （3）分式不等式； （4）简单的
2、绝对值不等式； （5）指数不等式；（6）对数不等式；（7）二元一次不等式 （线性规划） 。考题先知：考题先知：例 1 设函数，其中。axaxxf)(0a（1）解不等式； （2）当时，求函数的最小值。0)(xf10 a)(xf分析：（1）所解不等式即为，从知，实施等价变形后对 a 分axax0a0x类讨论可得解；（2）求函数的最小值，可从单调性入手，因此，细化函数表达（即去绝对值符)(xf号）成为解决问题的第一步。解：（1）由得，原不等式可化为0)(xfaxax0aQ0x，axaxax当时，有，而，故；1aaaxaaxx110aa aa 11aax1当时，有；1a21x当时，有，而，故；10 a
3、aaxaaxx110aa aa 11aaxaa 11综上所述，当时，解集为；当时，解集为。1a),1( aa10 a)1,1(aa aa （2）由得当时，在 )( ,)1 ()( ,)1 ()(axaxaaxaxaaxaxxf10 a)(xf为增函数，在为减函数，所以；当时，),a,(a2 min)()(aafxf1a，所以 )( , 12)( , 1)(axxaxxf，综上所述，。1)(minxf2 min)()(aafxf点评：本题第（1）题也可作出函数与的图象，利用数形结合的数axyaxy 学思想求之。例 2已知：且，求证：。,Ryx1 yx225)2()2(22yx分析：观察条件不等式
4、的特征，存在不少证法，若从消元角度入手，可构造一元二次方程，用判别式法证之；若从基本不等式出发，可用放缩法证之；若着眼，则1 yx可用均值换元法证之；若无从下手，则可用分析法或反证法证之；若从不等式的几何意义 出发，又可用几何法证之。证一（判别式法）：记，则由代入得：22)2()2(yxt1 yx，整理得，得22)21 ()2(xxt013222txx0)13(84t，即。225t225)2()2(22yx证二（比较法）：225)3()2(225)2()2(2222xxyx，得证。0)21(22x证三（放缩法）：，得证。2252)2()2( 2)2()2(222yxyx证四（换元法）：设,则R
5、ttytx,21,21，得证。225 2252)2()2(222tyx证五（分析法）：欲证，仅需证，225)2()2(22yx225)3()2(22xx即证，显然成立，因上述过程可逆，故原不等式成立。0)21(22x证六（反证法）：假设，则，即225)2()2(22yx225)3()2(22xx，矛盾，故假设不成立，从而。0)21(22x225)2()2(22yx证七（几何法）：因为直线上的点到点的最小距离等于1 yx),(yxP)2, 2(，所以。2511122d225)2()2(22yx点评：在高考中，不等式的证明常作为某一综合题的其中一步，放缩与换元是两种重 要的方法，应值得注意。复习智
6、略：复习智略：例 3求使a(x0，y0)恒成立的 a 的最小值。yx yx 分析：本题实质是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中， 因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来。 解法一：由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2a2(x+y)，即 2(a21)(x+y)，xyxyx，y0，x+y2，xy当且仅当 x=y 时，中有等号成立。 比较、得 a 的最小值满足 a21=1，a2=2，a= (因 a0)，a 的最小值是。22解法二：设头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头
7、 yxxyyxxyyxyxyxyxyxu 212)(2x0，y0，x+y2 (当 x=y 时“=”成立)，1，的最大值xyyxxy 2 yxxy 2是 1。从而可知，u 的最大值为，又由已知，得 au，a 的最小值为，2112解法三：y0，原不等式可化为+1a，设=tan，(0，)。yx1yx yx 2tan+1a，即 tan+1asec1tan2asin+cos=sin(+)， 24又sin(+)的最大值为 1(此时=)，由式可知a的最小值为。4 42点评：本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围，此时我们习惯是将 x、y 与cos、sin来对应进行换元，即令=cos，=sin(0，这样
8、也得xy)2asin+cos，但是这种换元是错误的头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 其原因是：(1)缩小了 x、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y1”这样一个条件，显然这是不对的。 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数 a 满足不等关 系，af(x)，则 amin=f(x)max头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 若 af(x)，则 a max=f(x)min，利用这一基本事实，可以较
9、轻松 地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以 把原问题转化。检测评估：检测评估：1、设关于的不等式和的解集分别是、。下列x0242axx032aaxxAB说法中不正确的是（ ） （A）不存在一个常数使得、同时为.aAB （B）至少存在一个常数使得、都是仅含有一个元素的集合.aAB （C）当、都是仅含有一个元素的集合时，总有.ABBA （D）当、都是仅含有一个元素的集合时，总有.ABBA 2若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围 1 , 1x044)2(2aaxaa是（ ）ABCD31 a31aa或21 a21aa或3.已知 x、y 满足约束条件则（x+
10、3）2+y2的最小值为0, 0,1,x yxy A. B.2 C.8 D.101024已知两个正数满足，则取最小值时的值分别为（ , x y45xyxyxy, x y）A B C D 5,5510,210,510,105设定义域为的函数满足以下条件：对任意；对任R)(xf0)()(,xfxfRx意当时，有，则以下不等式不一定成立的是（ , 1 ,21axx12xx 0)()(12xfxf）A、 B、 C、 D、)0()(faf)()21(afaf)3()131(faaf)()131(afaaf6已知时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 1 , 0x2112)21()21(xaxaxa7取得，原
11、不等式化为，从而，得1 yx1) 1 (f) 1 ()(log2fxf1log02x。)2 , 1 (x8设函数 f(x)=，已知 f(a)1，则 a 的取值范围是 ) 1( 11) 11(22) 1() 1(2xxxxxx9 系数方程的一个根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则的220xaxb2 1b a 取值范围是_ 10设，则的最小值是 。1001tzyxtz yx11 已知 ; （1）.当时，求的最)0()(,)(aaxxgxxf4a|)()()(|xfxagxf小值；（2）.若不等式，对恒成立，求的取值范围。1|)()()(| xfxagxf4 , 1 xa12对 1
12、 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，）物体质量（含污物）污物质量18 . 099. 0方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用)31 ( aax18 . 0 xx) 1( ax单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次yayacy c)99. 08 . 0( c清洗后的清洁度。()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少；95. 0c()若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗
13、的用水量，使总a 用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。a点拨与全解：点拨与全解：1由得时，集合 A 仅含有一个元素；由08161a2a得或 6，01242 2aa2a集合 B 仅含有一个元素。说法中不正确的是 C。2解：记，则由条件得，解之得，44)2()(2aaxaxf 0) 1(0) 1 ( ff31aa或故选 B。 3.作出如图所示的可行区域，知（x+3）2+y2的最小值为|AC|2=10.故选 D。4由得，所以当，即54254xyyxxy0) 1)(5(xyxyyx4时，取最小值 25，故选 B。yx4xy5解：因，且，而在区间的单3143131 aaa1143131 aaa 1, 3调性无法确定，所以无法判断，故选 C。)3()131(faaf6解：原不等式可化为，当时，不等式显然成立；当2112xaxax0x时，而函数在上单调递减，故 1 , 0(xxxa2xxxf2)( 1 , 0(，所以。1) 1 ()(min fxf1a7.f(x)是定义在(0，+)上的增函数，对正实数 x,y 都有：f(xy)=f(x)+f(y)成立，则不等式 f
