关于连续统假设的评论

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1、关于连续统假设的评论吕陈君1什么是连续统假设：这一问题的来源及其历史演变连续统假设（简称 CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就必须了解康托是怎样建立集合论的。康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。第一种方法是利用幂集合，他证明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集 N 的幂集合 P (N)与实数集 R 等势（即元素个数相等）。这样，从自然数集 N 开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大的无穷幂集合N,P(N),P(P(N),第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则。首先，他认为从 1 开始，任何序数 加 1 后仍是一个序数。这样，从 1

2、 开始，就可以形成一个无穷序数序列1，2，3，n，接着，康托认为，如果一个无穷序数序列中没有最大序数，那么必然存在一个极限序数 ，这是一个新的序数。这样，从 开始反复加 1，又可以得到一系列无穷极限序数,，2, ，2,，n,（2 表示 的平方，n 表示 的 n 次方）但这些极限序数都是等势的。最后，康托认为，这个极限序数序列中也没有最大序数，所以必然存在一个更大的超穷序数 1，它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大。这样，反复利用这三条原则，就可以形成一系列越来越大的无穷极限序数（又被称为超穷基数）1，2，n，康托自然就提出这样一个问题：实数集 R 的基数 2 到底和上述哪个超穷基数等势呢？

3、他认为 2 等于 1，这就意味着在 N 和 R 之间不存在其他无穷集合。但康托不能给出证明，这一问题就被称为连续统假设。后来人们把 CH 进行了推广，认为对于任何一个超穷基数 n,都有 2n 等于 n+1 成立，这就是广义连续统假设 GCH。但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并先后建立了几个集合论公理系统，这些系统被证明都是等价的。人们通常使用的是蔡梅罗和弗兰克尔建立的系统 ZFC。进行公理化后，基本上都能消除悖论。但是，接着又出现了新的问题。哥德尔和柯恩一起证明了：CH 在 ZFC 中是不可判定的。这一结果立即引起了人们对数学基础问题的极

4、大争论。其中哥德尔和柯恩两人的看法是具有代表性的，这有点像量子力学解释中的争论，柯恩相当于波尔，哥德尔相当于爱因斯坦。柯恩是个形式主义者，他认为 CH 问题“是没有内在的意义的”，在他看来，CH 在集合论中的地位，就类似于平行公理在几何学中的地位，它可能成立也可能不成立，因此就存在不同的集合论公理系统，就好像存在不同的几何学一样，他还把 CH 不成立的集合论称为非康托集论。柯恩的看法赢得了大多数数学家的赞同，这是主流的观点。一些极端的形式主义者甚至认为2 可以等于任何一个 n，每一种可能都描述了连续统上一种不同的流形结构。从这种意义上来说，CH 问题已经得到了解决。但哥德尔恐怕很难同意上述意见

5、，他是个客观主义者也可以说是柏拉图主义者，他认为像 CH这样一个命题是完全可以作出判定的，而 CH 在 ZFC 中的不可判定性，“只能意味着这些公理没有包括那个实在（指连续统）的完备的描述”。这种语气就很像爱因斯坦了。说得更直观一点，像“在自然数集 N 和实数集 R 之间究竟还有没有另一个无穷集合”这样的问题，似乎是应该有一个明确结论的。从这种意义上来说，CH 问题还没有得到解决。但究竟怎样来解决 CH 问题，两人的意见是一致的，那就是必须重新考察集合论基础。哥德尔认为：“这些问题的完全解决，只有通过对在它们中出现的词项（如集合、一一对应，等等）和支配这些词项的使用的公理进行（比通常所作的）更

6、深入的分析，才能得到。”柯恩也认为，如果要来“发展我们的哪些公理应当被接受”，那“我们必须整个地放弃科学的计划并且返回差不多是本能的水平，即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态。”而且两人都猜测，CH 很有可能是不成立的。对此柯恩说得很明白：“由构造幂集提供的连续统，不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程可以达到的。这样，2 将被认为大于 1，2，n 的基数。”也就是说，2 要大于任何超穷基数。而这正是我所证明的结果。2关于连续统假设的否定性证明：简单说明证明思想从 1995 年到 2004 年，我差不多花了十年时间来钻 CH 问题。我的证明思想是非常直

7、观和简洁的，但整个证明的展开却非常复杂和精致。如果不是感受到证明中的美，我是不会花这么大的精力和这么长的时间来投入其中的，这种感受也只有亲身经历过的人才能懂得。在这里，我只能简单来说说这个证明思想，有兴趣的朋友也可以和我深入交流。（我的邮箱是：）我的出发点很简单：就是要把 N 的子集合来排成一个良序集。弗兰克尔曾经指出过，由子集合公理和选择公理产生的子集合可能与幂集合公理产生的子集合有很大差别，而这也正是柯恩的猜测。根据选择公理，我们可以将 N 的子集合排成一个良序集。选择公理的直观含义是指：对于任何一个无穷集合，我们都可以从中取出一个“代表元素”来，也就是说，我们可以从无穷集合中取出它的任何

8、一个元素来组成一个新的集合。这样，按照自然数的顺序依次取出1，2，3，n，来作为“代表元素”，就可以把 N 的子集合排成如下一个良序集：1，1，2，1，3，1，2，3，1，4，2，2，3，2，4，2，3，4，2，5，n,n,n+1,n,n+2,n,n+1,n+2,n,n+3,这个良序集的排列顺序与康托的超穷序数序列是严格对应的。我们把这个良序集记做 P(N),称为“N 的超幂集合”。需要注意的是，P(N)并不一定等于 P (N)。也就是说，幂集合公理并不一定成立。这是我解决 CH 问题的一个关键性思想。这样，从 N 开始，就可以形成一系列的无穷超幂集合P(N), P(P(N), P（P(P(N

9、)），通过重新考察集合论基础，我发展出一种非常精致的方法来描述超幂集合序结构的逻辑关系，但这里就不展开讨论了，并最后证明了两个定理：定理（16） 超幂集合 P(N), P(P(N), P（P(P(N)）,的基数是逐次增大的。定理（20） 所有 P(N), P(P(N), P（P(P(N)）,的基数都小于2。我的证明中还包含了许多重要的内容，其中定理（4）和定理（5）就相当于两个较强的哥德尔不完备性定理，而定理（18）就相当于勒文海姆斯科伦定理，这就说明它决不是孤立的，与原来的集合论之间肯定存在着某种内在的联系。3判定连续统假设对数学的重大意义：一点哲学评论数学基础中最主要的问题就是如何处理自然

10、数和实数的关系，即如何用离散的方法来构造连续统。自从古希腊人发现这原创关于连续统假设的评论吕陈君1什么是连续统假设：这一问题的来源及其历史演变连续统假设（简称 CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就必须了解康托是怎样建立集合论的。康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。第一种方法是利用幂集合，他证明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集 N 的幂集合 P (N)与实数集 R 等势（即元素个数相等）。这样，从自然数集 N 开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大的无穷幂集合N,P(N),P(P(N),第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则。首

11、先，他认为从 1 开始，任何序数 加 1 后仍是一个序数。这样，从 1 开始，就可以形成一个无穷序数序列1，2，3，n，接着，康托认为，如果一个无穷序数序列中没有最大序数，那么必然存在一个极限序数 ，这是一个新的序数。这样，从 开始反复加 1，又可以得到一系列无穷极限序数,，2, ，2,，n,（2 表示 的平方，n 表示 的 n 次方）但这些极限序数都是等势的。最后，康托认为，这个极限序数序列中也没有最大序数，所以必然存在一个更大的超穷序数 1，它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大。这样，反复利用这三条原则，就可以形成一系列越来越大的无穷极限序数（又被称为超穷基数）1，2，n，康托自然就提

12、出这样一个问题：实数集 R 的基数 2 到底和上述哪个超穷基数等势呢？他认为 2 等于 1，这就意味着在 N 和 R 之间不存在其他无穷集合。但康托不能给出证明，这一问题就被称为连续统假设。后来人们把 CH 进行了推广，认为对于任何一个超穷基数 n,都有 2n 等于 n+1 成立，这就是广义连续统假设 GCH。但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并先后建立了几个集合论公理系统，这些系统被证明都是等价的。人们通常使用的是蔡梅罗和弗兰克尔建立的系统 ZFC。进行公理化后，基本上都能消除悖论。但是，接着又出现了新的问题。哥德尔和柯恩一起证明了：CH

13、 在 ZFC 中是不可判定的。这一结果立即引起了人们对数学基础问题的极大争论。其中哥德尔和柯恩两人的看法是具有代表性的，这有点像量子力学解释中的争论，柯恩相当于波尔，哥德尔相当于爱因斯坦。柯恩是个形式主义者，他认为 CH 问题“是没有内在的意义的”，在他看来，CH 在集合论中的地位，就类似于平行公理在几何学中的地位，它可能成立也可能不成立，因此就存在不同的集合论公理系统，就好像存在不同的几何学一样，他还把 CH 不成立的集合论称为非康托集论。柯恩的看法赢得了大多数数学家的赞同，这是主流的观点。一些极端的形式主义者甚至认为2 可以等于任何一个 n，每一种可能都描述了连续统上一种不同的流形结构。从

14、这种意义上来说，CH 问题已经得到了解决。但哥德尔恐怕很难同意上述意见，他是个客观主义者也可以说是柏拉图主义者，他认为像 CH这样一个命题是完全可以作出判定的，而 CH 在 ZFC 中的不可判定性，“只能意味着这些公理没有包括那个实在（指连续统）的完备的描述”。这种语气就很像爱因斯坦了。说得更直观一点，像“在自然数集 N 和实数集 R 之间究竟还有没有另一个无穷集合”这样的问题，似乎是应该有一个明确结论的。从这种意义上来说，CH 问题还没有得到解决。但究竟怎样来解决 CH 问题，两人的意见是一致的，那就是必须重新考察集合论基础。哥德尔认为：“这些问题的完全解决，只有通过对在它们中出现的词项（如

15、集合、一一对应，等等）和支配这些词项的使用的公理进行（比通常所作的）更深入的分析，才能得到。”柯恩也认为，如果要来“发展我们的哪些公理应当被接受”，那“我们必须整个地放弃科学的计划并且返回差不多是本能的水平，即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态。”而且两人都猜测，CH 很有可能是不成立的。对此柯恩说得很明白：“由构造幂集提供的连续统，不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程可以达到的。这样，2 将被认为大于 1，2，n 的基数。”也就是说，2 要大于任何超穷基数。而这正是我所证明的结果。2关于连续统假设的否定性证明：简单说明证明思想从 1995 年到 2004 年，我差不多花了十年时间来钻 CH 问题。我的证明思想是非常直观和简洁的，但整个证明的展开却非常复杂和精致。如果不是感受到证明中的美，我是不会花这么大的精力和这么长的时间来投入其中的，这种感受也只有亲身经历过的人才能懂得。在这里，我只能简单来说说这个证明思想，有兴趣的朋友也可以和我深入交流。（我的邮箱是：）我的出发点很简单：就是要把 N 的子集合来排成一个良序集。弗兰克尔曾经指出过，由子集合公理和选择公理产生的子集合可能与幂集合公理产生的子集合有很大差别，而这也