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1、本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 与有理数有关的概念二. 知识要点： 1. 知识点概要 了解有理数的意义；会用正数与负数表示相反意义的量；会按要求把给出的有理数 归类。 了解数轴、相反数、绝对值的概念；会画数轴；会用数轴上的点表示整数或分数 （以刻度尺为工具）；会求有理数的相反数与绝对值。 掌握有理数大小比较的法则；会用不等号连接两个或两个以上不同的有理数。 2. 重点难点 有理数（特别是负数）和绝对值的意义。 数形结合的思想方法。三. 考点分析 （一）相反意义的量 在实际问题中区分表示相反意义的量，通常用“”、“”来区别。如今天气温是5，明天气温将下降 7，则明天的气温是（57），
2、得2，即零下 2。又如规定 向东走 3 米，记作3 米，则向西走 3 米，记作3 米，3 与3 区别了两个相反意义的 量。（二）正数与负数如1，0.5，等等，像这样的数是一种新数，叫做负数。如2，0.3，等等大于 0 的数叫做正数。正数前面的正号可以省略。负数前面的“”不能省略。负 数就是在正数前面加上“”的数。 有了正数和负数的概念，我们也同样有正整数、负整数、正分数和负分数的概念了， 即小学里学过的 1，2，3，等等这些都是正整数，而1，2，3，等等就是负整数了，同样小学里学过的，等等就是正分数，而， 等等就是负分数。 正整数、零、负整数统称为整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称为
3、有理 数。 （三）数轴 1. 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 数轴的画法 3. 数轴上的点与有理数的关系 4. 利用数轴比较有理数的大小 （四）绝对值1. 绝对值的概念 绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数点与原点的距离，数的绝对值记作“”。绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。绝对值的代数定义用式子可表示为： 2. 绝对值的主要性质：若为有理数，则| 0；绝对值为某一正数的有理数有两 个，它们互为相反数；互为相反数的两个数绝对值相等； 若|。则0；若 |b|0，则b0；绝对值没有最大的数，但
4、有绝对值最小的数：0。（五）相反数1. 相反数的概念 相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两 个点所表示的数，叫做互为相反数。相反数的代数定义：只有符号不同的两个数，我们 说其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0。 2. 相反数的表示方法 一般地，数的相反数是，这里表示任意的一个数，可以 是正数、0、负数，还可以代表任意一个代数式。 3. 相反数有下列一些重要性质：如果 a、b 互为相反数，则 ab0，反之，若 ab0，则 a、b 互为相反数；如果 a、b 互为相反数，则 a、b 在数轴上对应的点到原 点的距离相等，即互为相反数的两个数的绝对值相等。 4. 多重符号的
5、化简在一个数的前面添加一个“”号，仍然与原数相同，在一个数前面 添加一个“”号，就成为原数的相反数。（六）有理数的大小比较1. 两个负数大小的比较 因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定 在绝对值较小的左边，所以，两个负数绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是： 先分别求出两个负数的绝对值；比较这两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对 值大的反而小”作出正确的判断。 2. 有理数大小的比较法则 学习了绝对值以后，有理数大小的比较法则就完整了，也可 以不借助于数轴了。具体的法则是：“正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数， 两个负数，绝对值大的反而小”。【典型例题典
6、型例题】例例 1. 某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：10、5、0、8、3，又知记为 0 的实际成绩表示 90 分，正数表示超过 90 分，则这五位同学的平均成绩为多少分？ 分析：分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为10 的学生的实际成绩为 100，然后再求平均成绩。 解：解：依题意知，五位同学的实际成绩分别为：100、85、90、98、87，其平均成绩为：。例例 2. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”连接起来；分析：分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据 这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“”连接起来。 解：解：这些数在数轴上的表
7、示如图所示。它们从小到大的排列为：例例 3. 化简下列各数的符号： （5） （2） 分析：分析：因为（5）表示5 的相反数，即 5；（5）表示（5）的 相反数，即表示 5 的相反数，即5，所以（5）5。 因为（2）表示2 的相反数，即2；（2）表示（2）本身， 即2 本身；（2）表示（2）的相反数，即2 的相反数， 即 2，所以（2）2。 解：解：（5）5；（2）2。例例 4. 比较大小：若解析：解析：因为所以可以取，则有，这样就可以很容易的比较即 方法探究：方法探究：类似本题的已知字母取值范围，比较关于此字母的代数式值的大小常采用 特殊值和作差法。（作差法在下面讲过有理数的运算以后作详细讲解
8、） 已知：a0，b0，且|b|a，试比较 a，b，a，b 的大小。 解：解：a0，b0，这说明表示 a、b 的点分别在原点的右边和左边；而|b|a 说明表 示 a 的点到原点的距离大于表示 b 的点到原点的距离。四个数在数轴上的位置如图所示。abba 方法点拨：方法点拨：本题借助数轴对两个有理数及其相反数的大小进行比较，是用数形结合的 数学思想来解决数学问题的典型范例。例例 5. 已知 |a2|b3|0，求 a 和 b 的值. 分析：分析：由绝对值的非负性可知，|a2|0，|b3|0，而且只有当|a2|和|b3|都等于 0 时，|a2|b3|0 才成立，因为只有 0 的绝对值等于 0，所以 a
9、2，b3。 解：解： |a2|b3|0，又 |a2|0，|b3|0， |a2|0，|b3|0。 a20，b30。 a2，b3。例例 6. 有理数 a、b、c 在数轴上表示的点如图请化简 分析：分析：通过数轴可知，然后可以分析出：这样就可以化简得，最后的结果是。例例 7. 有一座三层楼房不幸起火了，一名消防队员搭梯子准备爬上三楼抢救物品，当他爬 到梯子正中一级时，二楼的窗口喷出火来，他就往下退了 5 级；等到火过去后，他又爬上 9 级，这时楼顶有两块砖掉下来，他又往后退了 3 级，躲过砖块后他又爬了 8 级，这时他 离最高一层还有 2 级，这个梯子共有几级？ 解：解：根据题意可画出示意图梯子的级
10、数为：2（59382）123 点评：点评：通过建立数轴，用线段示意图形象解答。例例 8. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，它的每一项可用式子 2n（n 是正整 数）来表示。有规律排列的一列数：1，2，3，4，5，6，7，8， 它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ 它的第 100 个数是多少？2006 是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 分析：分析：观察 1，2，3，4，5，6，7，8，我们可以发现逢奇数即为“正数” ，逢偶数即为“负数”，所以可以得到其一般式子为（1）n1n，进而可以求解后面的问 题。 解：解：观察数列可以发现：如果不考虑符号，这是一个连续整数组，同时，
11、它的奇数 项为正，偶数项为负，所以它的每一项可用式子（1）n1n 来表示（n 是正整数）来表示。由（1）可知它的第 100 个数是100。2006 不是这列数中的数.理由是：这列数中的偶数全是负数。 说明：说明：求解这种类型的问题是在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否 存在的问题，解这类题时的一般思路是：假设对象存在，运用条件进行逻辑推理，若得到 相容的，合理的结论，则先前的假设成立，对象存在；若出现矛盾，则先前的假设不成立。例例 9. （1）阅读下列材料，A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表 示为|AB|；当 A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A
12、在原点，如图 1，|AB|OB|b|ab|；当 A、B 两点都不在原点时： 见图 2，点 A、B 都在原点的右边，|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|； 见图 3，点 A、B 都在原点的左边，|AB|OB|OA|b|a|b（a） |ab|； 见图 4，点 A、B 在原点的两边，|AB|OA|OB|a|b|a（b）|ab|。（2）回答下列问题： 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_；数轴上表示2 和5 的两点之间 的距离是_；数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是_； 数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是_；如果|AB|2，那么 x 为 _； 当代数式|x1|x2
13、|取最小值时，相应的 x 的取值范围是_。 分析：分析：|25|3|3，|（2）（5）| 3 |3，|1（3）| 4 |4；|x（1）|x1|，若|AB|2，则|x1|2，由绝对值的几何意义知 x12，因此 x3 或 x1； 设和数轴上点 A、B、C 对应的数分别为1、2、x，对 x 的取值分类讨论，由数轴 上两点间距离公式，得： （a）当 x1 或 x2，即点 C 与点 A 或点 B 重合时，如图 5，|x1|x2|3； （b）当1x2 时，点 C 在线段 AB 上，如图 6（不与 A、B 重合），此时： |x1|x2|AC|BC|AB|2（1）|3； （c）当 x1 时，点 C 在线段 B
14、A 的延长线上，如图 7，此时： |x1|x2|AC|BC|AC|AC|AB|AB|3； （d）当 x2 时，点 C 在线段 AB 的延长线上，如图 8，同样有| x1 | x2 |3。因此，| x1 | x2 |的最小值为 3，此时 x 的取值范围是1x2。 点拨：点拨：本题要求学生通过阅读，理解绝对值的几何意义，能用数轴上两点间的距离公 式直接求距离，并能逆向运用公式求数轴上的坐标，还要求学生有分类讨论的思想和数形 结合的思想，是一道难题。数学思想方法的学习 1. 引进负数后，只要提到数就要确定它是正数，是负数，还是零.条件复杂了考虑问题的 方法也要随之变化，注意克服小学习惯的单一考虑问题
15、的方法，否则就建立不起负数概念。2. 对“零”要有新的认识，零是正数与负数的分界数；零不是正数，也不是负数，但它 是整数；零是自然数，零不是奇数，但它是偶数；零在有理数的运算中有着特殊意义，在 今后学习中逐步理解，在学习有理数概念时也要注意它的作用。 3. 数形结合顾名思义就是将数学问题图形化、直观化.数形结合思想是初中数学中一种重 要的解题思想，而从有理数开始第一次引入了数形结合这一解题思想，它的引入使学生意 识到解决数学问题中图形的重要性。【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟）一. 精心选一选。 1. 今年二月份某市一天的最高气温为 11C，最低气温为6C，那么这一天最高气温 比最低气温高（ ） A.
