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1、在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ 爱因斯坦 京翰京翰教育 五升六 第三讲 教师版 Page 26 行程之多人多次相遇第三讲教学目标教学目标行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，其中多人多次相遇问题是行程问题中的难点，本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问本讲从一般的相遇与追及问题出发，讨论在环形线路、变速变向等多种行程问题，并引伸到与行程问题相类似的钟面问题。题相类似的钟面问题。1.1.回顾火车过桥、流水行程等问题；回顾火车
2、过桥、流水行程等问题；2.2.环形路线上的相遇和追及问题；环形路线上的相遇和追及问题；3.3.速度行程问题与比例关系；速度行程问题与比例关系；4.4.钟面上的行程问题。钟面上的行程问题。专题回顾专题回顾【例例 1】 一条船顺水航行一条船顺水航行 48 千米，再逆水航行千米，再逆水航行 16 千米，共用了千米，共用了 5 小时；这知船顺水航行小时；这知船顺水航行 32 千米，再千米，再逆水航行逆水航行 24 千米，也用千米，也用 5 小时。求这条船在静水中的速度。小时。求这条船在静水中的速度。【分析分析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如
3、下：顺水顺水逆水逆水时间时间48 千米千米16 千米千米32 千米千米24 千米千米5 小时小时比较条件可知，船顺水航行比较条件可知，船顺水航行 48 千米，改为千米，改为 32 千米，即少行了千米，即少行了 48-32=16（千米）（千米） ，那么逆水行，那么逆水行程就由程就由 16 千米增加到千米增加到 24 千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的 168=2 倍。倍。所以所以“逆水航行逆水航行 16 千米千米”，可转换为，可转换为“顺水航行顺水航行 162=32（千米）（千米） ，这样船，这样船 5 小时一共顺水航行小时一共顺
4、水航行18+32=80（千米）（千米） ，船顺水速为，船顺水速为 805=16 千米，船逆水速为千米，船逆水速为 162=8（千米）（千米） 。船静水速为。船静水速为（16+8）2=12（千米）（千米） 。在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ 爱因斯坦 京翰京翰教育 五升六 第三讲 教师版 Page 27 【例例 2】 甲、乙二人分别从甲、乙二人分别从、两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑 3 米，乙每秒跑米，乙每秒跑 7 米。如果他米。如果他AB们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是 150 米，求
5、米，求、两点间的距离为多少米？两点间的距离为多少米？ABBDECA 【分析分析】（法一）画图分析知甲、乙速度比为：（法一）画图分析知甲、乙速度比为：，第四次相遇甲乙共走：，第四次相遇甲乙共走：:3:7SSVV乙乙甲甲4217（个全程）（个全程） ，甲走了：，甲走了：3721（份）在（份）在点，第五次相遇甲乙共走：点，第五次相遇甲乙共走：C5219（个全程）（个全程） ，甲走了：，甲走了：3927（份）在（份）在点点,已知已知是是 150 米，所以米，所以的长度是的长度是DCDAB1506（3+7）250（米）（米） 。（法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（法二）也有不画图又比较快的方
6、法：第四次相遇：（241）320 余数为余数为 1 则在则在的位置，第五次相遇：的位置，第五次相遇：（251）320 余数为余数为 7 则在则在的位置，的位置，表示速度基数表示速度基数x7xx， ，（米）（米） ，即全程，即全程为为 250 米。米。716xxx6150x 1010 1506250x AB【拓展】 （08 年首届奥数网杯）电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知比ABA的速度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距 58 厘米，这条B50%2007200720082008轨道长_ 厘米。9876543210【分析】、两车速度比为；AB150% :13:2第次相遇点的
7、位置在：20072007；200732200715 mod10第次相遇点的位置在：20082008 200832200813 mod10所以这条轨道长（厘米）58535145经典精讲经典精讲环形跑道行程【例例 3】 如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形。甲、乙两人分别从米的正方形。甲、乙两人分别从 两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走 90 米，乙每分走米，乙每分走 70 米，那么经过多少时米，那么经过多少时 间甲才能看到乙？间甲才能看到乙？在真理和认识方面，任何
8、以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ 爱因斯坦 京翰京翰教育 五升六 第三讲 教师版 Page 28 乙乙【分析分析】当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有米长。米长。300当甲、乙之间的距离等于当甲、乙之间的距离等于 300 米时，即甲追上乙一条边（米时，即甲追上乙一条边（米）需米）需300 （分），（分），300907015此时甲走了此时甲走了（条）边，（条）边，90 153004.5所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走条边就可以看
9、到乙了，即甲从条边就可以看到乙了，即甲从0.5出发走出发走条边后可看到乙，共需条边后可看到乙，共需5（分），即（分），即分分秒。秒。23005901631640【例例 4】 甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形，其中，其中米，米，ABCD100AD 米，已知水流从左到右，速度为每秒米，已知水流从左到右，速度为每秒 1 米，甲乙两名选手从米，甲乙两名选手从处同时出发，甲沿顺时处同时出发，甲沿顺时80AB A 针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒
10、快 1 米，米， （、边上视边上视ABCD 为静水）为静水） ，两人第一次相遇在，两人第一次相遇在边上的边上的点，点，那么在比赛开始的，那么在比赛开始的 5 分钟内，两分钟内，两CDP4CPCD 人一共相遇几次？（人一共相遇几次？（5 次）次）PCDAB【分析分析】设乙的速度为设乙的速度为米米/秒，则可列得方程：秒，则可列得方程：x 8080410010080-804 +1+1+1+1xxxx解得：解得：。所以甲的速度为。所以甲的速度为米米/秒。秒。3x 4甲游一圈需要甲游一圈需要秒，乙游一圈需要秒，乙游一圈需要秒。秒。1933112835 分钟内，甲游了分钟内，甲游了 3 圈还多圈还多 20
11、 秒，乙游了秒，乙游了 2 圈还多圈还多秒。秒。1433多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了 5 圈。圈。所以两人共相遇了所以两人共相遇了 5 次。次。【例例5】 （2005年年小学生数学报小学生数学报优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长厘米，短跑道长300厘米，且有厘米，且有200厘米的公厘米的公在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ 爱因斯坦 京翰京翰教育 五升六 第三讲 教师版 P
12、age 29 用跑道用跑道( (如下图如下图) )。机器人甲按逆时针方向以每秒。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒时针方向以每秒厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点出发，那出发，那4A么当两个机器人在跑道上第么当两个机器人在跑道上第 迎面相遇时，机器人甲距离出发点迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米点多少厘米? ?3A200100200A【分析分析】第一次在第一次在点相遇，甲、乙共跑了点相遇，甲、乙共跑了 400 厘米厘米( (见左下图
13、见左下图) )。 1BB1AB2B1A第二次在第二次在点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件）点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件） ，甲、乙共跑了，甲、乙共跑了2B700 厘米厘米(见右上图见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了 700 厘米。共用时间厘米。共用时间(400+700+700)(6+4)=180(秒秒)，甲跑了甲跑了 6180=1080(厘米厘米)，距，距点点A40031080=120(厘米厘米)。注：处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法注：处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法分段考虑。分段考虑。
14、【例例 6】 （第五届（第五届“走进美妙的数学花园走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从点出发，甲沿长方点出发，甲沿长方A 形形逆时针爬行，乙沿逆时针爬行，乙沿逆时针爬行若逆时针爬行若，且两，且两ABCDAOD10AB 14BC 10AODO 只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为 多少多少? ?在真理和认识方面，任何以权威者自居的人，必将在上帝的戏笑中垮台！ 爱因斯坦 京翰京翰教育 五升六 第三讲 教师版 Page 30 CB
15、OBA【分析分析】很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值线的两端，那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值. .对角线有两条所以也应该分为两种情对角线有两条所以也应该分为两种情况：况：情况一；甲在情况一；甲在点，乙在点，乙在点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条CA长边，设乙走了长边，设乙走了圈，甲已走了圈，甲已走了圈圈. .则可以列出不定方程：则可以列出不定方程：xy 101014101410141014xy化简为化简为，由于等式右边是，由于等式右边是 24 的倍数，所以的倍数，所以 x x 至少应该取至少应该取 12，此时，此时，两只，两只344824xy8y 蜗牛共走了蜗牛共走了 816。情况二：甲在情况二：甲在点，
