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1、初高中常用的乘法公式初高中常用的乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式）平方差公式 ；22()()ab abab（2）完全平方公式）完全平方公式 222()2abaabb我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式）立方和公式 ；2233()()ab aabbab（2）立方差公式）立方差公式 ；2233()()ab aabbab（3）三数和平方公式）三数和平方公式 ；2222()2()abcabcabbcac（4）两数和立方公式）两数和立方公式 ；33223()33abaa b
2、abb（5）两数差立方公式）两数差立方公式 33223()33abaa babb乘法公式的用法乘法公式的用法( (一一) )、套用、套用: :这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的 来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生 的观察能力。的观察能力。例例 1.1. 计算：计算： 解：原式解：原式53532222xyxy 53259222244xyxy( (二二) )、连用、连用: :连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。连续使用同
3、一公式或连用两个以上公式解题。例例 2.2. 计算：计算：111124a aaa解：原式解：原式111224aaa111448aaa例例 3.3. 计算：计算：32513251xyzxyz解：原式解：原式 25312531yzxyzx25314925206122222yzxyxzyzx三、逆用三、逆用: :学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换 位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例例 4.4. 计算：计算：57857822abcabc解：原式解：原式 57857857
4、8578abcabcabcabc10 1416140160abcabac四、变用四、变用: : 题目变形后运用公式解题。题目变形后运用公式解题。例例 5.5. 计算：计算：xyz xyz26解：原式解：原式xyzzxyzz2424 xyzzxyzxyxzyz241224422222五、活用五、活用: : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例， 经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： 12223244222222222222.abababababababab
5、abababab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知 识的能力。识的能力。例例 6.6. 已知已知，求，求的值。的值。abab45，ab22解：解：ababab2222242526例例 7.7. 计算：计算：abcdbcda22解：原式解：原式 bcadbcad222222244222222bcadabcdbcad例例 8.8. 已知实数已知实数 x x、y y、z z 满足满足，那么，那么xyzxyy592， （ ）xyz23解：由两个完全平方公式得：解：由两个完全平方公式得：ababab1 422从
6、而从而 zxyy2221 459 25 41 4529696932222yyyyyyy，zyzyxxyz22300322322308三、学习乘法公式应注意的问题三、学习乘法公式应注意的问题例 1已知，求的值。2ba1ab22ba 解： =2)(ba222baba22ba abba2)(2， =2ba1ab22ba 21222例 2已知，求的值。8ba2ab2)(ba 解： 2)(ba222baba2)(ba222baba =2)(ba2)(baab42)(baab42)(ba ， 8ba2ab2)(ba562482例 3：计算 19992-20001998 解析此题中 2000=1999+1，
7、1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-20001998 =19992-（1999+1）（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例 4：已知，求的值4abc4abbcac222abc例 5：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2和(a-b)2的值例 6：已知 x-y=2，y-z=2，x+z=14。求 x2-z2的值例 7：判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 的个位数字是几？例 8解下列各式 （1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。 （2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。（
8、3）已知aa1a2b2，求的值。222abab（4）已知，求的值。13xx4 41xx例 2填空：（1）（ ）；221111()9423abba（2） ；(4m22)164(mm)(3 ) 2222(2)4(abcabc) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ 21 2xmxkk）（A） （B） （C） （D）2m21 4m21 3m21 16m（2）不论，为何实数，的值 （ ab22248abab ）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数【公式公式 1】cabcabcbacba222)(2222证明证明：【例例 1】计算：22)312(xx解解
9、：说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式公式 2】(立方和公式立方和公式)3322)(babababa证明证明: 说明说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例例 2】计算： （2a+b）（4a2-2ab+b2）=【公式公式 3】(立方差公式立方差公式)3322)(babababa1计算 （1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）= （2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=（3）=)91 61 41(31 212 mmm（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=2利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3=（2）27m3-n
10、3=81（3）x3-125= （4） m6-n6=【例例 3】计算：（1）（2）)416)(4(2mmm)41 101 251)(21 51(22nmnmnm（3）（4）)164)(2)(2(24aaaa22222)(2(yxyxyxyx解解：说明说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公 式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例例 4】已知，求的值2310xx 331 xx 解解：说明说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较2310xx x 烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意 整体
