《2010届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010 届高考数学难点突破训练数列与数学归纳法1.如图，曲线2(0)yx y上的点iP与 x 轴的正半轴上的点iQ及原点O构成一系列正三角形OP1Q1，Q1P2Q2，Qn-1PnQn设正三角形1nnnQPQ的边长为na,nN(记0Q为O),0nnQS.（1）求1a的值; （2）求数列na的通项公式na。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设 ,nnab都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有2 1,nnna b a成等差数列，22 11,nnnb ab成等比数列（1）试问 nb是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2ab，求数列1na的前n项和nS3. 已知等差数列na中，
2、2a8，6S66.（）求数列na的通项公式；（）设nnanb) 1(2 ，nnbbbTL21，求证：nT1 6.4. 已知数列na中531a ，112nnaa （n2，Nn） ，数列nb，满足11 nnab （Nn）（1）求证数列nb是等差数列；（2）求数列na中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记21bbSnnb，求1) 1(lim nn Sbn n 5. 已知数列an中，a10, 且 an+1=23na，()试求 a1 的值，使得数列an是一个常数数列；()试求 a1 的取值范围,使得 an+1an 对任何自然数 n 都成立；()若 a1 = 2，设 bn = | an+1an| (n
3、= 1，2，3，)，并以 Sn 表示数列bn的前 n 项的和，求证：Sn0.Sn 是它的前 n 项和，又441S 与661S 的等比中项是117a，441S 与661S 的等差中项是 6，求 an。26. na和nb分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为 120 和 60，而第二项与第四项的和分别是 90 和 34，令集合2 1aA ，2 2a，2 3a，2 na，1bB ，2b，3b，nb求证：BA27. 已知曲线 C：xy1 ， nC：nxy21（ Nn） 。从C上的点),(nnnyxQ作x轴的垂线，交nC于点nP，再从点nP作y轴的垂线，交C于点),(111nnnyxQ，设111
4、, 1nnnnnnyybxxax。 （I）求21,QQ的坐标；（II）求数列 na的通项公式；（III）记数列nnba 的前n项和为nS，求证：31nS答案：1. 解：由条件可得11113,22Paa ,代入2(0)yx y得2 1111312,0,423aaaaQ12nnSaaaQL11113(,)22nnnnPSaa ；代入曲线2(0)yx y并整理得2 1131 42nnnSaa ,于是当*2,nnN时,22 1113131()()4242nnnnnnnaSSaaaa即11113()() ()24nnnnnnaaaaaa* 1120,(2,)3nnnnaaaannNQ 又当2 12223
5、1421,(4233nSaaa时舍去） ；212 3aa ,故 * 12()3nnaanN所以数列na是首项为2 3、公差为2 3的等差数列, 2 3nan 。2. 由题意，得2 12nnnbaa， （1）222 11nnnab bg（2） （1）因为0,0nnab，所以由式（2）得11nnnab bg，从而当2n 时，1nnnabbg，代入式（1）得2 112nnnnnbbbb b，即1122nnnbbbn，故 nb是等差数列（2）由111,2ab及式（1） ，式（2） ，易得2233,2,2ab因此 nb的公差2 2d ，从而12112nbbndn ，得11122nann（3）又11a 也
6、适合式（3） ，得*1 2nn nanN ，所以1211211nan nnn，从而111111221.2 122311 1nnSnnnn 3. 解：（）11 18 6,26 56662 24nad adadand Q（）2211 (1)1)(24)12n nbnannnn（，1211111111 23344512nnTbbbnnLL ，=11 22n而11 22n是递增数列 ， 1111 236nTT1 6. 4. （1）1 1121 11111nnnnnaaaab，而 1111 nnab ， 111 1111 1 nnn nnaaabb )(Nn nb是首项为25 1111ab ，公差为 1
7、 的等差数列（2）依题意有nnba11 ，而5 . 31) 1(25nnbn ， 5 . 3 11nan 对于函数5 . 3 1 xy ，在 x3.5 时，y0，0y，在（3.5，）上为减函数故当 n4 时，5 . 3 11nan 取最大值 3而函数5 . 3 1 xy 在 x3.5 时，y0，0)5 . 3(12xy ，在（，3.5）上也为减函数故当 n3 时，取最小值，3a-1（3）2)5)(1( 2)252 25)(1(1 nnnn Sn ，5 . 3 nbn， n nnnnnnn Sbn2)5)(1()5 . 3)(1(2lim) 1(lim15. ()欲使数列an是一个常数数列，则
8、an+1=23na= an 又依 a10，可得 an0 并解出：an=23，即 a1 = an =23()研究 an+1an=23na231na= 23 23211nnnn aaaa(n2) 注意到 23 2321nnaa0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1 有相同的符号 7 要使 an+1an 对任意自然数都成立,只须 a2a10 即可.由11 23aa0，解得：023时，an+123, 故 Sn0，t1，11 tx原不等式等价于1ln11ttt令 f(t)=t-1-lnt，ttf11)( 当), 1 ( t时，有0)( tf，函数 f(t)在), 1 ( t递
9、增f(t)f(1)即 t-1g(1)=0tt11ln综上得xxx x11ln11（2）由（1）令 x=1,2,(n-1)并相加得11 2111ln23ln12ln1 31 21 nnn nLLL即得11 211ln1 31 21 nnLL7. (1)易求得n npa （2）nnnnnn nnn ppp SaCaCaCnf11)21(21 21)(22 11L作差比较易得：)(21) 1(nfppnf（3）当1n时，不等式组显然成立.当 12)11(111) 12()2() 1 (2n pp ppnfffnL时，先证由（2）知) 1 ()11() 1()11()(11) 1(2fppnfppnf
10、ppnfn L)2()21()()21(1nppnfppnn 1211212122)21(111211)21(121)21()21(21)(ninnn pp pppppppp pp pp ppifL再证)() 12() 12()2() 1 (nfnnfffLnnn pppp ppnffnff212)(11)21(12) 12() 1 (2) 12() 1 (Q而2212212)1 (21)(1nnnnnppppppp)(211)21)(1(211)21(12)1 (1)21(12) 12() 1 (2) 12() 1 (2nfpp pp pp pppp ppnffnffnn nnnn同理：)(
11、2)22()2(nfnff，)(2) 32() 3(nfnff，)(2) 1 () 12(nffnf以上各式相加得：)() 12(2) 12()2() 1 (2nfnnfffL即 )() 12()(121nfnifni.8. （1）263510aaaa，又Q2621aa263 7a a或 267 3a a 若267 3a a ，则9nan，101a 与0na 矛盾；若263 7a a ，则1nan，显然0na ，1nan（2）111lg2lg3,9bSb，当2n 时，119lglg910nnnnbSS，欧19910nnb 1n Q时，19nbb，199,10nnbnN 19 10nnb b数列
12、是以 9 为首项，9 10为公比的等比数列。 （3）199110nncn，设2kck 是数列 nc中的最大项，则由11kkkkcccc 可得89k数列 nc有最大项，最大项是78998110cc。9. （1）由, 32)3(32)3(11mmasmmmasmnnnn得, 3,2)3(1mmaamnn两式相减得,321 mm aann na是等比数列。（2）2,32)(, 111nNnmmmfqab.23,32 31113111.31113332 23)(23111 11 1 nbnn bbbbbbbbbbbfbnnnnnnnnn nn nn为公比的等差数列为首项是10. （）经计算33a，414a ，55a，816a 当n为奇数时，22nnaa，即数列na的奇数项成等差数列，122) 1(112nnaan； 当n为偶数，nnaa212，即数列na的偶数项成等比数列，nn naa)21()21(1 22 因此，数列na的通项公式为 )()21()( 2为偶数为奇数nnn ann （）Qn nnb)21() 12( ， nn nnnS)21() 12()21()32()21(5)21(3211132L（1）1432)21() 12()21()32()21(5)21(3)21
