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1、（2011 高考备战冲刺指导）高考数学必胜秘诀在哪？高考备战冲刺指导）高考数学必胜秘诀在哪？ 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 二、函二、函 数数 1.映射: AB 的概念。在理解映射概念时要注意：理解映射概念时要注意：A 中元素必须都有象且唯一；fB 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（如（1 1）设是集合到:fMNM的映射，下列说法正确的是 A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个NMNN 元素在中必有原象 C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中MNMNM 所在元素的象的集合（答：A） ；（2 2）点在映射的作用下的象是，则),(b
2、af),(baba在作用下点的原象为点_（答：（2，1） ） ；（3 3）若，f) 1 , 3(4 , 3 , 2 , 1A，则到的映射有 个，到的映射有 个，到,cbaB , ,a b cRABBAA的函数有 个（答：81,64,81） ；（4 4）设集合，映射B 1,0,1,1,2,3,4,5MN 满足条件“对任意的，是奇数” ，这样的映射有_个:fMNxM( )xf xf（答：12） ；（5 5）设是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则一定是2:xxfBAI_（答：或1）. 2.函数函数: : A AB B 是特殊的映射是特殊的映射。特殊在定义域定义域 A A 和值域和值域
3、B B 都是非空数集都是非空数集！据此可知f 函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任xy 意个。如（如（1 1）已知函数，那么集合( )f xxF中所含元素的个数有 个（答： 0 或 1） ；( , )|( ),( , )|1x yyf x xFx yxI（2 2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 （答：42212xxy2 , 2bb2） 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函 数数。如
4、如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数” ，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个（答：9）2yx4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中logax且，三角形中, 最大角，最小角等。如（如（1 1）函数0,0xa1a 0A33的定义域是_(答：)；（2 2）若函数 24lg3xxy x (0,2)(2,3)(3,4)UU的定义域为 R，则_(答：)；（3 3）函数的定义域27 43kxykxkxk30,4( )f
5、 x是，则函数的定义域是_(答：)； , a b0ba ( )( )()F xf xfx ,aa（4 4）设函数，若的定义域是 R，求实数的取值范围；2( )lg(21)f xaxx( )f xa若的值域是 R，求实数的取值范围（答：；）( )f xa1a 01a（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义( )f x , a b ( )f g x域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，( )ag xb ( )f g x , a b( )f x相当于当时，求的值域（即的定义域） 。如（如（1 1）若函数的 , xa b( )g
6、x( )f x)(xfy 定义域为，则的定义域为_（答：） ；（2 2）若 2 ,21)(log2xf42| xx函数的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5） 2(1)f x 2,1)( )f x 5.求函数值域（最值）的方法： （1）配方法配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问二次函数的最值问 , m n 题，勿忘数形结合题，勿忘数形结合，注意“两看两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ，如（如（1 1）求函数的值域（答：4,8） ；（2 2）当时，225, 1,2
7、yxxx 2 , 0( x函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：3) 1(4)(2 xaaxxf2 xa） ；（3 3）已知的图象过点（2,1） ，则21 a( )3(24)x bf xx的值域为_（答：2, 5）1212( )( )()F xfxfx （2）换元法换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（如（1 1）的值域为22sin3cos1yxx_（答：） ；（2 2）的值域为_（答：） （令17 4,8211yxx (3,)，。运用换元法时，要特别要注意新元运用换元法时，要特别要注意新元 的范围的范围） ；（3 3
8、）1xt 0t t的值域为_（答：） ；（4 4）sincossincosyxxxxg1 1,22的值域为_（答：） ；249yxx1,3 24 （3）函数有界性法函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如如求函数，2sin1 1siny ，的值域（答： 、 （0,1） 、） ；3 1 3xxy 2sin1 1cosy 1(, 23(, 2（4）单调性法单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如如求，的值域为1(19)yxxx2 29sin1 sinyxx5 32log1xyx_（答：、）
9、；80(0,)911,922,10（5）数形结合法数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（如（1 1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：( , )P x y221xy2y x2yx、） ；（2 2）求函数的值域（答：33,335, 522(2)(8)yxx） ；（3 3）求函数及10,)2261345yxxxx的值域（答：、）注意注意：求两2261345yxxxx 43,)(26,26) 点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使x 两定点在轴的同侧。x （6）判别式法判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用
10、，但这类题型 有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利 用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如如求的值域（答：）2bykx23 2yx3(0, 2型，先化简，再用均值不等式，如（如（1 1）求的值域（答：2bxyxmxn21xyx） ；（2 2）求函数的值域（答：） 1(, 22 3xyx10, 2型，通常用判别式法；如如已知函数的定义22xm xnyxmxn2328log1mxxnyx 域为 R，值域为0，2，求常数的值（答：）,m n5mn型，可用判别式法或均值不等式法，如如求的值域2xm xnymxn21 1xxyx （答：）(, 31,) U（7
11、）不等式法不等式法利用基本不等式求函数的最值，其题型特2( ,)abab a bR 征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、 添项和两边平方等技巧。如如设成等差数列，成等比数列，则12,x a ay12,x b by的取值范围是_.（答：） 。212 21)( bbaa (,04,)U（8）导数法导数法一般适用于高次多项式函数，如如求函数，32( )2440f xxxx的最小值。 （答：48） 3,3x 提醒提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最 值与值域之间有何关系？ 6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子
12、集上，分别用几个不同的式子来 表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值求分段函数的值时，一定首先要时，一定首先要0()f x判断判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内0x不同子集上各关系式的取值范围的并集不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（如（1 1）设函数，则使2(1) .(1)( ) 41.(1)xxf x xx 得的自变量的取值范围是_（答：） ；（2 2）已知( )1f x x(, 20,10 U，则不等式的解集是_（答：1(0)( )1(0)xf xx(
13、2) (2)5xxf x）3(, 27.求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：2( )f xaxbxc2( )()f xa xmn，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式） 。12( )()()f xa xxxx如如已知为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线( )f x)2()2(xfxf段长为 2,求的解析式 。（答：）2( )f x21( )212f xxx（2）代换（配凑）法代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（如（1 1）( ( )f g x( )f x
14、已知求的解析式（答：） ；,sin)cos1 (2xxf 2xf242()2,2,2f xxxx （2 2）若，则函数=_（答：） ；（3 3）若函数221)1(xxxxf) 1( xf223xx是定义在 R 上的奇函数，且当时，那么当)(xf), 0( x)1 ()(3xxxf时，=_（答：）. 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的)0 ,(x)(xf3(1)xx定义域的等价性，即的定义域应是的值域。( )f x( )g x（3）方程的思想方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特( )f x征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（如（1 1）已知( )f x，求的解析式（答：） ；（2 2）已知是( )2 ()32f xfxx( )f x2( )33f xx ( )f x奇函数，是偶函数，且+= ,则= _（答：） 。)(xg( )f x)(xg11 x( )f x21x x 8. 反函数： （1）存在反
