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1、初等数论初等数论读书报告读书报告一、书名：一、书名：初等数论初等数论(第三版第三版) )二、著者：闵嗣鹤二、著者：闵嗣鹤 严士健严士健 编编三、出版社：高等教育出版社三、出版社：高等教育出版社四、页数：四、页数：216216 页页五、内容：五、内容：第一章第一章 整数的可除性整数的可除性内容：内容：1 整除的概念带余除法2 最大公因数与辗转相除法3 整除的进一步性质及最小公倍数4 质数算术基本定理5 函数x,x及其在数论中的一个应用通过本章的教学，要我们掌握整除的性质、掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法，握最大公因数和最小公倍数的基本理论，掌握算术基本定理的推导，掌握除数和函数和
2、完全数的基本理论；除数和函数和完全数的概念，掌握函数x 、 x基本理论。数论函数x 、 x和 N！的标准分解式的推导过程以及了解并掌握抽屉原则和逐步淘汰原则。并使我们了解建立这一理论的各种途径和它们之间的相互关系，并能运用这些基本理论解决相应习题和竞赛题目。掌握我认为本章的重点是整除的基本理论、带余数除法的两种表达方式；算术基本定理；除数和函数和数论函数x 、 x的基本性质和 N！的标准分解式。其中难掌握的是算术基本定理的推导；N！的标准分解式。第二章第二章 不定方程不定方程内容：内容：1 二元一次不定方程2 多元一次不定方程3 勾股数4 费马问题的介绍不定方程在历史上有极其丰富的研究，文献极
3、其丰富，也留下很多经典的难题，比如百钱买百鸡问题。另一方面，由于数学应用的空前普遍，方程及不等式的整数解问题研究，也有了应用前景。在这一章我们首先要讨论二元一次方程有整数解的条件及其解法，进而讨论多元一次方程地解法，最后了解了一些高次不定方程和著名的费马问题。第三章第三章 同余同余内容内容：1 同余的概念及其基本性质2 剩余类及完全剩余系3 简化剩余系与欧拉函数4 欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用5 公开密匙RSA 体制6 三角和的概念在本章中我接触了同余的概念，掌握同余的定义，理解并熟练掌握同余与整除的关系、同余的基本性质及其在算术中的应用；掌握它的基本性质和与整除之间的关系，掌握剩余类
4、与完全剩余系的概念和性质，掌握欧拉函数与简化剩余系熟练掌握费马欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。其中我认为重点是同余的基本性质及其在算术中的应用；余类与完全剩余系的定义和性质结构已及欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。比较难掌握的是同余的基本性质及其在算术中的应用；费马欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。第四章第四章 同余式同余式内容：内容：1 基本概念及一次同余式2 孙子定理3 高次同余式的解数及解法4 质数模的同余式 学习了这一章后了解了同余式的基本概念和一次同余式，会利用完全剩余系及费马小定理解同余式，同余式的常用变形，掌握解一次同余式两种方法；掌握孙子定理的推导，能熟练利用孙子定理解一次同
5、余式组、同余式的同解定理，掌握一般同余式的解的形式、二次剩余与二次非剩余的定义。我认为其中重点是利用完全剩余系及费马小定理解同余式，同余式的常用变形，解一次同余式两种方法；利用孙子定理解一次同余式组；同余式的同解定理，一般同余式的解的形式。比较难掌握的是同余式的同解定理，一般同余式的解的形式。第五章第五章 二次同余式与平方剩余二次同余式与平方剩余内容：内容：1 一般二次同余式2 单质数的平方剩余与平方非剩余3 勒让得符号4 前节定理的证明5 雅可比符号6 合数模的情形7 把单质数表成二数平方8 把正整数表成平方和在这一章中我主要掌握勒让德符号的定义，理解掌握勒让德符号的性质及推导，熟练掌握几个
6、基本勒让德符号的值，熟练掌握二次互反律，能利用勒让德符号判断二次同余式有无解，掌握雅可比符号的定义和性质，理解雅可比符号与勒让德符号的关系，会利用雅可比符号判定二次同余式无解；二次同余式有解的充分条件和解数，熟练掌握有解时模两种情况的解的形式，掌握模不太大时二次同余式的并且了解模为素数的高次同余式的等价定理，了解其有解的充要条件的定理和推论。掌握二次剩余与非剩余与同余式解的关系，熟练掌握欧拉判别法（判别 a 是否是模 p 的二次剩余的方法） 。我认为其中的难点是勒让德符号的性质，几个基本勒让德符号的值，二次互反律，利用勒让德符号判断二次同余式有无解，雅可比符号性质，会利用雅可比符号判定二次同余
7、式无解；二次同余式有解的充分条件和解数，模两种情况的解的形式，模不太大时二次同余式的解法；模为素数的高次同余式的等价定理，有解的充要条件的定理。二次剩余与二次非剩余的定义以及欧拉判别法。其中重点中的难点是利用勒让德符号判断二次同余式有无解，利用雅可比符号判定二次同余式无解；二次同余式有解的充分条件和解数和欧拉判别法。第六章第六章 原根与指标原根与指标内容：内容：1 指数及其基本性质2 原根存在的条件3 指标及 n 次剩余4 模 2a 及合数模的指标组5 特征函数本章主要引入了原根和指标两个概念，要掌握其概念、性质和求法，指数的基本性质，和模存在原根的必要条件并且利用这些概念讨论求解一般的二项同
8、余式。要会求最小正原根，熟练掌握模 p 的的原根与二次非剩余的关系，掌握模的原根的相关性质，会求模的全部原根。掌握模 m 的 n 次剩余和非剩余的概念，掌握 m 的 n 次剩余的充要条件，掌握二项同余式有解的充要条件，利用指标和指标组讨论求解个别二项同余式。我认为其中重点是指数的基本性质，模存在原根的必要条件；模存在原根的充要条件，会求最小正原根方法；求模的全部原根的方法；二项同余式有解的充要条件，求个别二项同余式的解。比较难掌握的是存在原根的充要条件；二项同余式有解的充要条件，求个别二项同余式的解。第七章第七章 连分数连分数内容：内容：1 连分数的基本性质2 把实数表示成连分数3 循环连分数
9、4 二次不定方程这章内容是选择性学习的，主要掌握的是第 2、3 节内容，会把 把实数表示成连分数和求循环连分数。简简 评：评：初等数论是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。我们是在大三上学期学习的这门课程。通过对初等数论的教学，我掌握初等数论的最基本的内容，同时掌握的基本理论为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。这是一门基础的课，但是他的重要性不容忽视，通过这门课的学习，我们获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强了我们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。此外，在国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养我们进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。而且也培养了我们初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。总之，学习了初等数论使我受益匪浅。
