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1、哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字关于力矩分配法在刚架问题上求解方法的几点讨论关于力矩分配法在刚架问题上求解方法的几点讨论邓佛丹11 哈尔滨工业大学土木学院土木工程专业 08 级, 学号 1083310224, 150001摘摘 要要：本文主要讨论了力矩分配法用于求解刚架弯矩图问题的应用的几种情况，由单层刚架的最简单情况入手，并且对于一些由其扩展而来的问题进行了讨论。关键词关键词：力矩分配法，刚架，讨论力矩分配法是由位移法衍生而来的用于解答超静定问题的一个方法，它的优点是能够将较为复杂的超静定问题以一种较为简单的、近似的方法解答，并且在一定条件下，这种方法给出的
2、解答是一个精确值。所以，力矩分配法在解答结构方面，特别是实际工程问题方面有十分明显的优势。但是因为刚架在某些荷载下会出现未知线位移，故这些情况不能直接应用力矩分配法。本文就是通过解决力矩分配法不能直接应用于有未知线位移的结构的问题，并进一步将解答过程推广，得到了最终的结论。一、一、 单层刚架在已知单位荷载下弯矩图的力矩分配法解答单层刚架在已知单位荷载下弯矩图的力矩分配法解答本部分主要包括怎样对于有线位移的单层刚架运用力矩分配法解答，并总结了解答过程中的几个阶段并做了推广。（一）（一）单层单跨刚架在已知集中荷载下的几种情况单层单跨刚架在已知集中荷载下的几种情况情况： 所有杆件长度均是，抗弯刚度均
3、为，集中力加载 在杆件的中部，大小为100，、两点的约束均是固 定端约束。 求作该情况的弯矩图。分析： 此情况为正对称结构，杆不会产生水平位移（线位 移） ，故可以直接应用力矩分配法对整体求解。也可以根 据对称结构特征，将它化为两个半结构进行计算。下面分哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字两种情况分别计算，比较分配系数的差异。 图1-1-1解法（对整体直接应用力矩分配法）： 应用力矩分配法首先需要作出结点、处的分配系数。结点处，两端杆件情况完全一样，故分配系数为，对于结点，情况也完全一样。0.5和0.5其次考虑在荷载下杆件两端的弯矩，根据载常数可以确定在图示荷载下
4、，杆左端受弯矩为详细解答过程如下： 12.5，右端受到的弯矩为 + 12.5。图 1-1-2 其他杆端（、固定端结点）可以根据力矩一次传递而得出，再将荷载处弯矩图的变化考虑入内，最终得到弯矩图如下：图 1-1-3哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字解法（运用对称性先将结构进行拆分）：显然该结构是一个正对称结构，可以拆分为半结构进行计算。在计算结束后将弯矩图扩展即得最终弯矩图。拆分为半结构： （集中力大小为 50）图 1-1-4 查形常数表可知，半结构中结点分配系数为；查载常0.67（左）和0.33(右)数表可知结点力矩为。力矩分配法求解： 12.5和 12.5图
5、1-1-5 得到半结构弯矩图（如图 1-1-6）后，应用对称性，直接得出总体结构的弯矩图（图 1-1-7） 。总结：在两种解答的过程中，我们很容易发现利用对称性解答有下列几点优势：简化计算过程；提高了力矩分配法的计算精度。哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字图 1-1-6 半结构弯矩图 图 1-1-7 总体结构弯矩图 其中第二点优势是值得我们注意的，因为力矩分配法在一些书籍中被称为“近似法” 。如果分配结点是两个或两个以上，那么力矩分配法求得的结果只能是一个近似值，而无法得到一个精确的值，这是由力矩分配法的特点而决定的。但是若我们利用对称性将多个结点变为个结点，则
6、力矩分配法就能够求得精确值，从而给出一个准确的答案，这在理论研究上是非常有帮助的。同时我们也应该注意到，力矩分配法只能求得在只有一个分配结点的情况下的精确值，所以，若对称性不能将结构化为只有一个分配结点，那么就无法用对称性联合力矩分配法求得精确值了。情况： 所有杆件长度均是，抗弯刚度均为 ，集中力加载在杆件的距左端0.25倍 杆长处，大小为100，、两点的约束 均是固定端约束。 求作该情况的弯矩图。分析： 该结构在所给定的荷载下杆件会产 生水平方向的未知位移（未知线位移） ， 故不能直接应用力矩分配法解出答案。但是若 图1-2-1 引入位移法的基本方程，对于这种有线位移的结构仍然可以借助力矩分
7、配法解 答。其主要思想是，将有线位移的结构变为无线位移的结构并作为位移法的基 本结构，对此基本结构列出位移法基本方程，可以利用力矩分配法求得方程中 的系数，最终得到答案。解： 首先将该结构分为两个结构的叠加，其中一个结构为添加一个刚链杆支座 而成为的无线位移的结构，此结构作为位移法基本结构，荷载情况与原题相同；哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字另一个结构为添加一个刚链杆支座，并附加上一个支座移动，该支座移动大小 需要抵消前一结构附加的额外的支座反力。分得的两个结构的具体情况如图1- 2-2及图1-2-3。图1-2-2 图1-2-3 于是根据位移法典型方程结合图形
8、所示正方向可以得到： 111= 1 显然，可以通过图1-2-2这个无线位移的结构以力矩分配法求出，而1则可以通过图1-2-3这个有已知线位移的结构以力矩分配法求出。于是，这11个问题就变成可解的了。的计算：的计算：1在图1-2-2所示结构中，杆的杆端力矩可以通过载常数确定。左= 0.25 0.75212= 14.06右= 0.75 0.25212= 4.69哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字图1-2-4 于是可以求得此情况弯矩图图1-2-5 根据弯矩图可以求得（1） 、 （3）杆件的剪力1=(8.12 + 4.06) 1= 12.183=(4.38 + 2.19
9、) 1= 6.57取（2）杆单独分析其轴力哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字图1-2-6 受力平衡得 1 3 1= 0 于是 1= 1 3= 5.61的计算：的计算：11在图1-2-3所示结构中，假设基本结构的刚链杆产生了一个按图示箭头方向的单位位移，于是可以用力矩分配法各结点在该单位位移影响下的弯矩。1= 1在求杆端弯矩时可以用到形常数。图1-2-7写出了详细的力矩分配法解答过程。 需要注意到的是，在计算过程中须乘EI（抗弯刚度） ，而本题中EI恰好等于， 于是在图1-2-7的绘制过程中为书写方便将EI省略了。1 41= 1 14= 1 （62）= 61 32
10、= 1 23= 1 （62）= 6图1-2-7哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字并作出图1图1-2-8 于是可得11= 1 41+ 1 32而由图可知1 41= 1 32=(3.80 + 4.80) 2= 8.4011= 1 41+ 1 32= 16.80代入位移法典型方程变式 111= 1 可得1=111=5.61 16.80= 0.334于是总弯矩图可以由下式得出 = 1 1+ 最终得到最后弯矩图 （图1-2-9）哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字图1-2-9 总结： 在整个计算过程中，总体思路是位移法，但是位移法中两个系数是
11、通过力 矩分配法来求得的。相比于单独使用位移法的解答，将力矩分配法与位移法结 合使用的优点在于可以减少联立方程的个数。例如此题中，若直接使用位移法 解答将需要解一个三元一次方程组，计算过程将十分复杂，但是利用力矩分配 法，使方程个数变为一个，求解得到了简化。不过既然用到了力矩分配法，那 么它所带来的误差是无法避免的。所以我们在遇到实际问题时，首先需要确定 精度要求，再选择方法。 另一点值得注意的是，在运用力矩分配法解答的过程中，需要特别注意图 形、列式中的各个未知量的符号以及意义，将图形自行规定的正方向与列式的 正负同意，避免出现混淆、导致错误。 另外，因为本情况刚架的刚度完全对称，也可以使用
12、对称法将结构简化之 后（一个正对称结构及一个反对称结构）再进行计算，并且会使得精度提高。以上两种情况均是刚度对称、荷载点已知、约束为固定端的情况，若刚度 不对称，其求解方法也十分类似，仅仅是替换了过程中的分配系数而已；若约 束替换（非固定端） ，则其不仅仅是分配系数的改变，传递系数也会相应改变。（二）（二）单层多跨刚架在已知集中荷载下情况单层多跨刚架在已知集中荷载下情况单层多跨刚架的位移法解答十分繁琐，若杆件刚度不对称，则解答过程更加复杂且容易出错。究其原因所在，是结点过多导致。但若采用力矩分配法与位移法结合，则解答过程会变得容易许多。哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文
13、键入文字情况： 如图所示刚架结构，各杆长均为1， 各杆刚度如图所示。集中力加载在杆件的中点位置，大小为100。 求解结构的弯矩图。分析： 图示结构在此荷载下有未知水平位移 （线位移） ，故不能直接用力矩分配法解 答。解决方法与单跨刚架类似，将有线 位移的结构变为无线位移的结构并作为 位移法的基本结构，然后利用位移法典 型方程求解。 图1-3-1 由于此结构刚度不对称，故不能利用对称性简化计算。解： 首先将该结构分为两个结构的叠加，其中一个结构为添加一个刚链杆支座 而成为的无线位移的结构（图1-3-1） ，此结构作为位移法基本结构，荷载情况 与原题相同；另一个结构为添加一个刚链杆支座，并附加上一
14、个支座移动（图 1-3-2） ，该支座移动大小需要抵消前一结构附加的额外的支座反力。图1-3-2 图1-3-3 因为本结构只有一个线位移，只需附加一个刚链杆支座。并按图示所取正 方向列出位移法典型方程 111+ 1= 0的计算：的计算：1取图1-3-2进行分析，结点、的杆端分配系数均可以通过形常数求 得，在求形常数过程中须注意杆件刚度。杆件的两端力矩可以通过载常数求 得。 45= 8= 12.5哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字 54= 8= 12.5图1-3-4 做得图图1-3-5 通过弯矩图可以求得11 = 41 52 63= (7.33 + 3.66) + (4.31 + 2.16) (2.16 + 1.08) = 7.76哈尔滨工业大学土木工程学院土木工程系 08 级结构力学论文键入文字的计算：的计算：11取图1-3-3进行分析，假设基本结构的刚链杆产生了一个按图示箭头方向的单位位移，则各杆件因此支座移动而产生的弯矩可以利用形常数求得。1= 11 41= 1 14= 1 （62）= 61 52= 1 25= 1 （62）= 61 63= 1 36= 1 （122）= 12图1-3-6作出图（图1-3-7） ，并列式计算11111+ 1
