《[振动基础理论]07213第四章__多自由度系统振动(4-4)[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[振动基础理论]07213第四章__多自由度系统振动(4-4)[1]（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4-44-4 多自由度系统的数值方法多自由度系统的数值方法从以上各章节的分析中可以看到，求解振动系统的固有频率和主振型，是研究各类振动问题的重要内容。当系统自由度较少时，我们可以从系统的特征方程求出其特征值（即固有频率的平方值） ，从而直接解出固有频率的精确值，然后再求出特征向量（即主振型） 。n由此可见，寻找多自由度系统特征方程的特征值和特征向量的问题，一般都要用计算机来处理。但对特征值问题的各种近似解解法，在实际工作还常常是有用的。这里选择了几种常用的近似解法来加以介绍。一、瑞利法在第二章中曾介绍过，对单自由度保守系统可以用最大动能与最大势能相等的原理来求出它的固有频率。瑞利法指出，只要对
2、位移有合理分布的假设，这种方法也可以用于求多自由度系统的最低阶固有频率（基频） 。设系统的质量矩阵、刚度矩阵和位移列阵、速度列阵分别为。则多自由度系统的动能 T 与势能 U 的表达式为： xxkm为了从初始迭代向量中清除掉第一阶主振型，我们用 1A 1A（4.141） 11 1121 211 111AmACAmACAmACAmACAmATnTnTTTL令，则上式变成如下方程：01C（4.142） 0000000001 ,1 , 21 , 12111 21 1111 MMLMMMLLLnnnTAAAmmmAAAAmA即 01 ,1 1 , 22 1 21 , 111 1nnnAmAAmAAmAL
3、由上式可解出为：1 , 1A（4.143） 1 ,1 1111 , 31 11 313 1 , 21 11 212 1 , 10nnnAAA mmAAA mmAAA mmA L将上式写成：（4.144）1 ,11 , 3131 , 2121 , 1nnAAAAL式中： 1 11111 111 33 131 111 22 12,AmAm AmAm AmAmnn nL再引入等 n-1 个恒等式，连同1 ,1 ,1 , 31 , 31 , 21 , 2,nnAAAAAAL（4.144）式可得出如下矩阵：（4.145）1 ,1 , 31 , 21 , 1113121 ,1 , 31 , 21 , 11
4、000010000100nnnAAAAAAAAM LMMMMLLLM上式右边向量第一个个可看作是虚位移，它总是被零去乘。1 , 1A（4.145）式可以简写成以下形式：（4.146） 111ASA由于上列方程是条件的结果，所以第一阶主振型已被矩阵01C清除掉。我们把称为一阶清除矩阵。 1S 1S将（4.146）式代入（4.131）式的左边得：（4.147） 111AASD或（4.148） 111AAD式中，是动力矩阵被一阶清除矩阵修正后所得到一个 1D D 1S新矩阵。即（4.149） 11SDD这时，由于第一主振型已被清除，所以只要用矩阵来进行迭 1D代运算，就可以得到第二阶固有频率和主振型
5、。为了求第三阶固有频率和主振型，就必须从迭代向量中同时清除第一阶和第二阶主振型，即使。依此类推，即可求得更高021CC阶的固有频率和主振型。但假如低阶的主振型计算的不够精确，则利用主振型正交条件引出的清除矩阵，就不可能将已求出的主振 iS型以迭代向量中清除干净，从而使高阶主振型的收敛性变得越来越差。还应注意，上述清除矩阵是按质量矩阵为对角阵建立的。如 iS果质量矩阵为非对角线的，则应按类似的计算过程重新加以建立。五、传递矩阵法对于由一系列弹簧元件和质量元件一个接一个联结而成的链状结构，在计算其固有频率和主振型时，可以采用另一种很有效的计算方法，即传递矩阵法。这种方法可以使计算工作大为简化，因为
6、它以需要对一些阶次很低的传递矩阵进行连续的矩阵乘法运算即可。图 4.13 多自由度弹簧质量系统状态矢量 R iL iR iL izzzz1111a）有限单元b）无质量弹簧c）点质量现在我们用图 4.13 所示的一部分弹簧质量系统来说明如何用传递矩阵法来计算链状结构的固有频率和主振型。先从系统中截取质量元件，并分析其运动状态和受力状态。从im图中可以看出，当有振动位移时，左边弹簧对质量元件作imixikim用有弹性力；右边弹簧对质量元件作用有弹性力。若设系L iF1ikR iF统作简谐振动，其振动频率为，则质量元件所产生的惯性力为im。根据达伦培尔原理可得以下关系式：iixm2（4.152）ii
7、L iR ixmFF2另设质量元件为绝对刚体，则其左右两边的位移应相同，故有im以下关系式：（4.153）R iL iixXx将（4.152）与（4.153）式合并成下列矩阵形式：（4.154）LiiiRiFxmFx 1012上式可以简写成：（4.155） L iiR izpz式中：质量元件左、右两边的状态矢量，它表明 R iL izz、im了左右两边的运动状态和受力状态；im点传递矩阵，它表明了左边的状态到右边的状态的传 ipim递关系。再从系统中截取弹簧元件，并分析其运动 和受力状态。从图ik中可以看出，当弹簧元件的左端位移为，右端位移为时，则ikR ix1L ix弹簧元件的弹性力为：ik
8、iF（4.156）R iL iiixxkF1或（4.157）iiR iL ikFxx1又因为弹簧两端的端部力相等，即ik（4.158）L iR iiFFF1将（4.157）与（4.158）式合并成下列矩阵形式：（4.159）Ri iLiFxkFx11011 上式可以简写成：（4.160） R iiL iZFZ1式中：弹簧元件左、右两边的状态矢量； L iR iZZ、1ik场传递矩阵，它表明了左边的状态到右边的状态的传 iFik递关系。将（4.155）式与（4.160）式联合起来，可以建立第 i 个质量右边的状态矢量与第 i-1 个质量右边状态矢量之间的关系为：im1im（4.161） R ii
9、R iiiL iiR iZTZFPZPZ11式中：第 i 段的传递矩阵，它表明了系统第 i-1 点的状 iT态矢量到第 i 点的状态矢量的传递关系。（4.162） iiiiiikmmkkmFPT 2 22 1111011101可见，只要应用上述方法，分别求出链状结构各段的传递矩阵，就可以建立起从系统的最左端到最右端各点状态矢量之间的关系。若系统的最左端点以 0 表示，最右端点以 n 表示，则 0 点与 n 点状态矢量之间的关系成为：（4.163） RR nnR nnnR nnR nZTZTTTTZTTZTZ00121211LLLLLLLL式中：系统的传递矩阵，它是系统各段传递矩阵的乘 T iT
10、积。例 试求如图 4.16 所示的有多个集中质量的梁横向振动时的固有频率及主振型。图 4.16 具有多个集中质量的梁解：我们先从系统中截取出第 i 个集中质量及第 i 段梁，并imiL分析其运动状态和受力状态。显然，对于质量来说，左段梁对imiL其作用有弯矩及剪力，右段梁对其作用有弯矩及剪力L iML iQ1iLR iM。R iQ当系统作简谐振动时，某一瞬间质量有振动位移，此时产imL iy生惯性力。L iiym2假设质量为绝对刚体，则其左右两边的位移与转角均相等。im根据以上分析，质量左右两边的运动和受力应有如下关系：im（4.175）L iiL iR iL iR iL iR iL iR i
11、ymQQMMyy2将上式写成矩阵形式，则有：LiRiQMymQMy 1000100001000012故有集中质量的梁的点传递矩阵为： 1000100001000012mPi若质量较大，其转动惯量 不能忽略，则应考虑它的惯性力矩imiI。则有：L iiI2（4.179）L iiL iR iIMM2而（4.175）式中的其余三式均不变。故质量左右两边运动和im受力状态的传递关系变为：LiiRiQMymIQMy 1000100010000122则此时系统的点传递矩阵变为：（4.181） iimIP1000100010000122再分析第 i 段梁的运动 状态和受力状态。对于第 i 段梁来说，iL左端
12、质量对其作用有弯矩及剪力，右端质量对其作用1imR iM1R iQ1im有弯矩及剪力。在弯矩及剪力的作用下，第 i 段梁的左端产L iML iQ生位移及转角，右端则产生位移及转角（见图 4.17）由R iy1R i 1L iyL i 1于忽略梁段的质量，故可不计入惯性力和惯性力矩，因而按力的平衡条件有：图 4.17 第 i 段梁的运动和受力状态（4.182）1111 lQMMQQR iR iL iR iL i为了建立这一段梁左右两边的挠度和转角关系，要引入下列材料力学的关系式：（4.183）dxyMdxEJdxdEJdxydEJM122根据以上关系式，我们可以从图 4.17 中看出，第 i 段
13、梁左边在弯矩作用下产生转角，右边的转角除外，在弯矩的作R iM1R i 1R i 1L iM用下还要产生一个附加转角。此外，第 i 段梁左边在剪 101i ilL i idxMEI力作用下产生位移，右边的位移除外，在转角的作用下R iQ1R iy1R iy1L i还要产生一个附加位移。即：ilL idx 0（4.184）R i iiR i iR ilR iR i iR ilL i iR iL iQEJlMEJxdxQMEJdxMEJii12110111012111（4.185）R i iiR i iiR iiR iliR iiR iR iR ilL i iR iL iQEJlMEJllydxEJxQ EJxMydxMEJyyii13121102 11 11016221 将（4.182） 、 （4.184） 、 （4.185）式合并写成矩阵形式，则有：（4.186）RiiLiQMylEJl EJlEJl EJllQMy12321000100210621
