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1、6.9 力法计算超静定拱拱结构由于造形美观，受力合理，在土木工程中被广泛应用。在桥梁史上，我国著名 的赵州石拱桥占有重要的地位。我国创造的双曲混凝土拱桥，由于两个方向均呈拱形，桥 形美观，刚度大，施工方便，因而常被采用。铁路、公路、水利工程和地下工程中的隧道 衬砌是典型的拱式结构。在建筑方面，既有落地拱结构，也有带拉杆的拱屋架。 6.9.16.9.1 两铰拱的计算两铰拱的计算 图 6.51(a)所示两铰拱是一次超静定结构，基本体系可选作简支式曲梁，水平推力 X1 为基本未知量，如图 6.51 (b)所示。在原结构中，由于 B 支座没有水平位移，由变形协调 条件得到的力法方程为： 1=0， 11
2、 X1 +1P = 0q qFp Fpy y y X1A x B A x B ll(a) (b) 图 6.51由于拱轴线为曲线，求解 11、1P不能用图乘法，应采用积分法。另外，从理论上 讲应该考虑轴线曲率对变形的影响。但是，根据计算分析表明，当拱的截面厚度与拱的h 跨度 之比，时，可以略去轴线曲率的影响，同时也可以略去剪切变形的影响。l101lh 经分析，自由项 1P只考虑弯曲变形的影响就可以满足精确度，对于 11只有在扁平 拱（）时须考虑弯曲变形的影响，一般可不考虑弯曲变形的影响。则有：51lfdsEAFdsEIMN2 12 1 11dsEIMMP P11当 X1=1 单独作用在基本体系上
3、，取隔离体可求得：(下部受拉为正) , yM1（受压为正）cos1NF由图 (b)中坐标系可知，y 表示拱轴上任意截面的纵坐标，向上为正；表示任意截面 拱轴线与水平轴的夹角，左半拱为正，右半拱为负。故有： (6-21) dsEAdsEIydsEIyMXHPP 22 111 1cos求得水平推力后，在竖向荷载作用下，任一截面的内力计算公式与三铰拱是相同的：ff(6-22) cossinsincos00HFFHFFHyMMQNQQo【例例 6 612】12】 已知图 6.52（a）所示为一等截面两铰拱，坐标原点为 A 点，拱抛物线轴曲线方程为，不计轴向和剪切变形的影响，矢高比，近似取。)(42xl
4、xlfy6fldxds 求水平推力 H 并画出弯矩 M 轮廓图。q qy f A B x A B 2l2l2l2l基本体系（a） （b）q 2ql6412 ql83ql81ql641M0 图 M 图(c)(d) 图 6.52【解】（1） dsEIydsEIyMHXPP 2 111 1（2）求 11EIlfdxxlxlf EIdsEIyl 158)(41202 2211（3）求 荷载单独作用在基本体系曲梁上，与相应简支梁相同。p1PM0M左半拱： （）20 21 83qxqlxM20lx 右半拱： （） )(80xlqlMlxl2322 02 1301)(81)21 83(1qflEIdxxlq
5、lyEIdxqxqlxyEIdsEIyMl ll P p（4）求出 HFfqlXP 16F2111 1H（5）画出弯矩 M 轮廓图HyMM0将拱轴线平均分为四段，求出分点处的弯矩，作弯矩图如图 6.52（d）所示。A0B02ql161ffX1lf6.9.26.9.2 系杆拱系杆拱 在屋盖结构中，两铰拱会对墙体或柱子产生很大的水平推力，因此，用系杆拱结构代 替两铰拱。系杆拱也称拉杆拱，如图 6.53（a）所示，利用系杆的拉力来代替两铰拱的水平 推力，图中吊杆的作用是为了防止拉杆下垂，在结构分析中一般不考虑吊杆的受力，计算 简图如图 6.53（b）所示。 F P F P F P F P吊杆 EA
6、EI E1A1 系杆 ll(a) (b) (c) 图 6.53取基本体系可以把系杆截断，如图 6.53（c）所示。X1代替两铰拱的水平推力，由于 在切口处的相对线位移为零，力法方程为：01111PX当单独作用在基本体系时，与两铰拱相比，多了系杆的变形（），因11X12 1系杆N此在求时，应该加上系杆的影响。即有：11112 12 10112 12 12 1 11AEldsEAFdsEIMdsAENdsEAFdsEIMNlN系杆当荷载单独作用在基本体系上时系杆的轴力为零。系杆拱与两铰拱求的公式相同。P1dsEIMMP P2 11由于： ，yM1cos1NF得： （6-23）1122 111 1*
7、 cos AEldsEAdsEIydsEIyMXHPP 当求出后，拱的内力计算仍然可以采用公式（6-22）的形式，且把换为。*HH*H当系杆的抗拉刚度 时， 0，系杆的拉力等于两铰拱的推力， 11AE11AEl*H。这时系杆拱与两铰拱的受力状态相同。HfX1当系杆的抗拉刚度 0 时， ，系杆的拉力 0 ，系杆拱相当于简11AE11AEl*H支曲梁。曲梁的受力状态不如拱合理，因此，为了减少拱的弯矩，系杆的抗拉刚度要11AE适当地大些。 6.9.36.9.3 无铰拱无铰拱 1. 荷载作用无铰的计算荷载作用无铰的计算图 6.54（a）所示无铰拱，可以取图 6.54（b）的基本体系，在基本体系上，X1
8、和 X3为 对称未知力，X2是反对称未知力，在力法方程中有：0211203223FP FP C x xA y B A B /2 /2 yll(a)(b) 图 6.54力法方程可以简化为：(6-24) 000333313122221313111PPPXXXXX在上式中如果 ，则方程组可以简化为三个独立的方程。下面说明这个简03113化过程： 首先，确定图 6-54（a）的等代结构图 6-54（b）所示，设想从 C 点处切开，装上两个 长度为 ys的刚臂梁，在 O 点连接。由于两刚臂及 O 点连接为绝对刚臂，不发生变形，所 以 O 点处左右截面也不会发生任何相对位移。即图 6.54（a）与图 6.55（a）的内力和变形 完全相同。FP FPx ys
