计算分类—概率与统计

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1、第 1 页 共 23 页2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编概率与统计概率与统计（2010 浙江理数）浙江理数）19.(本题满分 l4 分)如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为 l，2，3 等奖（I）已知获得 l，2，3 等奖的折扣率分别为50，70，90记随变量为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动，记随机变量为获得 1 等奖或

2、 2 等奖的人次，求)2(P解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念， 同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。()解：由题意得 的分布列为507090p3 163 87 16则 =3 1650+3 870+7 1690=3 4.（）解：由()可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为3 16+3 8=9 16.由题意得 （3，9 16）则 P（=2）=2 3C(9 16)2(1-9 16)=1701 4096.（2010 湖南文数）湖南文数）17. （本小题满分 12 分） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中，抽取若干

3、人组 成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（I）求 x,y ; （II）若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 C 的概 率。第 2 页 共 23 页（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （20） （本小题满分 12 分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求p；（）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数

4、，求的期望【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学 期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】第 3 页 共 23 页【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解 答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这 应引起高度重视.（20102010 陕西文数）陕西文数）19 （本小题满分 12 分） 为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查，测得身 高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高

5、在 170185cm 之间的概率；（）从样本中身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在185190cm 之间的概率。第 4 页 共 23 页解 （）样本中男生人数为 40 ，由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。（）有统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70 ，所以样本中学生身高在 170185cm 之间的频率故有 f 估计该校学生身高在 170180cm 之间的概率（）样本中身高在 180185cm 之间的男生有 4 人，设其编号为样本中身高在 185190cm 之间的男生有 2

6、 人，设其编号为从上述 6 人中任取 2 人的树状图为：故从样本中身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15，求至少有 1人身高在 185190cm 之间的可能结果数为 9，因此，所求概率（20102010 辽宁文数）辽宁文数） （18） （本小题满分 12 分） 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做实验，将这 200 只家兔随机地分成两组。每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。 （疱疹面积单位：2mm）（）完成下面频率分布直方图，并比较

7、注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；第 5 页 共 23 页（）完成下面2 2列联表，并回答能否有 99.9的把握认为“注射药物 A 后的疱 疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。 附：2 2() ()()()()n adbcKab cd ac bd解：（）图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数。（）表 3疱疹面积小于

8、270mm疱疹面积不小于270mm合计 注射药物A70a 30b 100注射药物B35c 65d 100合计10595200n 56.2495105100100)30356570(2002 2K第 6 页 共 23 页由于828.102K，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.（2010 辽宁理数）辽宁理数） （18） （本小题满分 12 分）为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。（）甲、乙是 200

9、只家兔中的 2 只，求甲、乙分在不同组的概率； （）下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面 22 列联表，并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面 积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.表 3： 第 7 页 共 23 页解： （）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为99 198 100 2002100 199CPC 4 分（） （i）图注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图注射药物 B 后

10、皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱 疹面积的中位数。 8 分 （ii）表 3：2 2200 (70 6535 30)24.56100 100 105 95K由于 K210.828，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。 12 分（2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （20） （本小题满分 12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标

11、为 T1，T2，T3，T4，电源能通过T1，T2，T3的概率都是 P，电源能通过 T4的概率是 0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。（）求 P；第 8 页 共 23 页（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。【 【解析解析】 】本本题题考考查查了概率中的互斥事件、了概率中的互斥事件、对对立事件及独立事件的概率，立事件及独立事件的概率， （ （1） ）设设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1， ，T2， ，T3 至少有一个能通至少有一个能通过电过电流流用基本事件表示并求

12、出概率即可求得用基本事件表示并求出概率即可求得 P。 。 （ （2）将）将 MN 之之间间能通能通过电过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。（20102010 江西理数）江西理数）18. （本小题满分 12 分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。

13、（1）求的分布列；（2）求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1）必须要走到 1 号门才能走出，可能的取值为 1，3，4，61(1)3P，111(3)326P，111(4)326P，2 2111(6)() 1323PA 分布列为：（2）11117134636632E 小时（2010 安徽文数）安徽文数）18、 （本小题满分 13 分）某市 2010 年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸 入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,

14、92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,() 完成频率分布表； （）作出频率分布直方图； （）根据国家标准，污染指数在 050 之间时，空气质量为优：在 51100 之间时，为良； 在 101150 之间时，为轻微污染；在 151200 之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.1346P1 31 61 61 3第 9 页 共 23 页【命题意图】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问 题的能力，数据处理能力和运用意识

15、. 【解题指导】 （1）首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污 染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。()答对下述两条中的一条即可：（1）该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的1 15，有 26 天处于良的水平，占当月天数的13 15，处于优或良的天数共有 28 天，占当月天数的14 15。说明该市空气质量基本良好。（2）轻微污染有 2 天，占当月天数的1 15。污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的17 30，超过 50%，说明该市空气质量有待进一步改善。 【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于 1，每一小组的频 率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组 距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答，要选择 适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论. （2010 重庆文数） （17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 在甲、乙等 6