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1、沈 阳 大 学教 案课程名称 机械振机械振动动 编写时间：2009 年 8 月 20 日授课章节第二章 单自由度系统振动的理论基础 2.42.5目的要求了解具有粘性阻尼单自由度系统的自由振动，掌握等效系统的质量和刚度计算等。了解具有粘性阻尼单自由度系统的自由振动，掌握等效系统的质量和刚度计算等。重点难点等效系统的质量和刚度计算等。等效系统的质量和刚度计算等。教案内容： 【复习复习】 1单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普通式及其几种常见形式？ 2何谓无阻尼自由振动？应用什么定律可以建立运动微分方程式？ 3单自由度系统无阻尼自由振动的通解形式、固有频率、周期等的表达式？ 4固有频率的计算方法
2、主要有哪两种？原理？2.42.4 等效质量与等效刚度（等效质量与等效刚度（equivalent mass and equivalent stiffness )一、等效质量：一、等效质量：引言：引言：实际振动系统通常由多个构件组成，因而其质量是分散的，为方便进行振动分析，对于实际振动系统中那些相关的质量，可以采用等效质量代替实际的分散质量，来简化力学模型。但在进行质量折算求解等效质量时，应保持系统的振动动能不变。例如：杠杆弹簧系统，如图，不计弹簧质量不计弹簧质量用等效质量用等效质量 m 代替杠杆的分散质量代替杠杆的分散质量 m板书设计：板书设计： 转换前的动能： 转换后的动能：保持系统的动能不变
3、，得到：大约需要 810 分钟。第 4 次 第 1 页222487)4(21mLLmIIITbaa&2 21xmT&mmmLILxa277 487,432&沈 阳 大 学教 案（续页）课程名称 编写时间：20 年 月 日若计弹簧质量若计弹簧质量，除了考虑质体 m 的质量，还要考虑弹簧自身质量的影响。如图，系统的动能为：它应等于等效质量 m的动能，即：从而得到该弹簧质量系统振动时的等效质量：二、等效刚度：二、等效刚度：对于实际振动系统中那些相关的弹性元件，可以采用等效弹簧代替系统 的组合弹簧，且系统的刚度保持不变。这个等效弹簧的刚度称为等效刚度。等效刚度的 求解可以直接利用刚度特性，也可以采用势
4、能守恒原则。 例如：悬臂梁，如图所示。其中，k1为悬臂梁的刚度，k2为弹簧的刚度。可可 转换为：转换为： 看看 作作 为为 板书设计：板书设计： 质体 m 的作用下，弹簧的总伸长量应等于等效弹簧的伸长量，即：即：串联弹簧的等效刚度串联弹簧的等效刚度这部分要求 同学简单了 解。大约需要 10 分钟。对比电路 学中并联 电路总电阻 的计算公式。第 4 次 第 2 页202322202)3(21321 21)(21 21xlmlyxxmxlydyxmTll&22 21)3(21xmxlm&3lmm212121kkkkkkmg kmg kmg21111 kkk沈 阳 大 学教 案（续页）课程名称 编写
5、时间：20 年 月 日同理，一个弹簧并联系统，如图转换为：转换为： 在质体 m 的作用下，设原系统与等效系统弹簧的伸长量均为 ，通过受力分析得到：并联弹簧的等效刚度并联弹簧的等效刚度 板书设计：板书设计： 例：例：如图，一个并联弹簧杠杆系统，AB 为刚性杆，在 C 点又连接一个弹簧质 量系统，试求解其等效刚度。对比电路 学中串联 电路总电阻 的计算公式。板书讲解， 大约需要 58 分钟。第 4 次 第 3 页j2121,kkkmgkmgkkjjj 211kkk321321321312)(11111 kkkkkk kkkkkk321321 2)( kkkkkkk沈 阳 大 学教 案（续页）课程名
6、称 编写时间：20 年 月 日2.52.5 具有粘性阻尼单自由度系统的自由振动具有粘性阻尼单自由度系统的自由振动引言：引言：简谐振动是一种等幅振动，它是不计阻力作用的理想情况。实际上，振动系统总 要受到各种阻力，系统在振动中要克服阻力做功并消耗自身能量。因此，如果没有能量 补充，振动的振幅就要衰减。 板书设计：板书设计：系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动称为阻尼振动。系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动称为阻尼振动。 如图所示为单自由度有阻尼自由振动系统的力学模型。 在物体振动速度不大时，它所受到的阻尼力大小通常与速度成正比，且方向相反。因受阻力作用振幅不断减小的振因受阻力作用振幅不断减
7、小的振动动叫阻尼振叫阻尼振动动。把。把弹弹簧振子放在水、甘油、簧振子放在水、甘油、沥沥青中，振子青中，振子 所做的振所做的振动动就是三种不同的阻尼振就是三种不同的阻尼振动动。 。令，代入上式得mrnmkn2 ,2二阶齐次常系数线性微分方程二阶齐次常系数线性微分方程022xxnxn&设其特解为： 把它的一阶、二阶导数代入微分方程中，得到：考虑到est不为0，必有： 特征方程特征方程特征方程有两个根为：令： 则原微分方程的通解为:其中，c1和c2待定，由初始条件确定。 显然，系统运动状态决定于显然，系统运动状态决定于 是实数还是虚数，即取决于阻尼大小。根是实数还是虚数，即取决于阻尼大小。根 据微分
8、方程理论，其解（即运动学方程）按据微分方程理论，其解（即运动学方程）按n大小有三种情况：大小有三种情况： 引入一个无量纲系数：阻尼比nn1、nn或 ， （强阻尼状态，也称过阻尼状态，如放在沥青中）无往复性无往复性, 经较长时间蠕变地单调返回平衡位置，是一种非周期运动，可见，系统不产经较长时间蠕变地单调返回平衡位置，是一种非周期运动，可见，系统不产 生振动。生振动。 3、n=n或 ， （临界阻尼状态，如放在甘油中）无往复性，能很快地返回平衡位置。无往复性，能很快地返回平衡位置。 结合 PP 讲解。n 为衰减系 数。结合 PP 讲解。结合 PP 讲解。第 4 次 第 5 页tn rAeAr jTt
9、ntn nTAA jAeAer11 )(ln1lnT nTnnrr 22222沈 阳 大 学教 案（续页）课程名称 编写时间：20 年 月 日例：已知一弹簧质量系统，质体的质量为 10kg，在粘性阻尼中振动频率为 10Hz，相隔 5 个周期振幅衰减 50%，试计算系统的阻尼系数及阻尼比。解：对数衰减系数：衰减系数：阻尼系数： 阻尼比：此例和小结 全部板书讲 解！要求同学们 记住这些公 式，并会应 用。作业： 课后习题7、10、11、14、15、17-20第 4 次 第 6 页139.0)5.01ln(51ln111jAA j)(39.110139.01sfTnr r)/(8 .272msNmnr022. 02rrfnn
