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1、第 - 0 - 页 共 9 页第第 9 9 讲讲 变换视角下的图形关系变换视角下的图形关系几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系（平行、全等、相似等）基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系 “全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所
2、显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造的眼力一、从轴对称视角识别图形与构造图形一、从轴对称视角识别图形与构造图形1题目的背景图形是轴对称图形.当背景图形是基本的轴对称图形或其复合图形时等腰三角形（包括等边三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形，有关这些图形及其复合图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的这时，相应的
3、对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径例例 1如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，P 为梯形 ABCD 外一点，PA、PD 分别交线段 BC 于点 E、F，且 PA=PD 写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）； 选择你在中写出的全等三角形中的任意一对进行证明ABCDPEF第 - 1 - 页 共 9 页.当背景图形是由非基本轴对称图形的复合而成的轴对称图形时有的题目，背景图形比较复杂些，但它仍是轴对称图形，这时对问题解决的思考，也要特别注意从这一轴对称性入手例例 2已知，RtABC RtADE，ABC=ADE=90试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你
4、把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明.沿着背景图形的轴对称性寻找需要添加的辅助线当题目的背景图形是轴对称图形时，如果需要作辅助线才能解决，那么辅助线的作法也往往是为了更好地揭示和利用这种轴对称性例 3已知，在梯形 ABCD 中，ADBC，E 为梯形内一点，且有 EA=ED，EB=EC求证：四边形 ABCD 是等腰梯形CABD F EABCDE第 - 2 - 页 共 9 页2当题目的背景不是轴对称图形时，应善于发现和运用其中的轴对称成分有的题目，整个背景图形不是轴对称图形，但某个或某些部分却具有轴对称性，如果我们善于发现并恰当地在局部运用这一对称性，也会帮我们更快
5、更好地获得解决方法例例 4将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图），得到两张三角形纸片（如图中的ABC 和DEF），再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上 求证：ABED； 若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明AEFDBCAEFDBCNMP第 - 3 - 页 共 9 页例例 5如图，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD中点）按顺时针方向旋转 如图，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相
6、交于点 N 时，通过观察或测量BM，FN 的长度，猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； 若三角尺 GEF 旋转到如图所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图 85A(G)B(E)CD(F)OCBAGDFEMONNCA GBEMDOF顺便指出：对任何一个原本的轴对称图形，绕其对称轴上一点旋转 角（0360），那么，由旋转前和旋转后两图形构成的新图形，都是一个新的轴对称图形如：在图中，等腰ABC 绕其顶点 A 逆时针旋转 角到ABC，BC与 BC
7、相交于 G，则组合起的新图形是以 AG 为轴的对称图形在图中，等腰ABC 绕其底边上的中点 H 逆时针旋转 角到ABC，AB 与 AC相交于点 K，则组合起的新图形是以 KHABGB CCABCHBCKA第 - 4 - 页 共 9 页为轴的对称图形因此，轴对称图形在一些适当的旋转下，可以产生新的轴对称图形由以上两例可以看出，在复合图形中抽取出轴对称部分，常对问题的解决有着非常重要的作用二、从二、从“旋转变换旋转变换”视角识别图形和构造图形视角识别图形和构造图形要在图形相关问题中恰当而及时地运用“旋转变换”的性质，最根本的就要搞清楚哪些基本图形、哪些复合图形、哪些指定条件的图形是和“旋转变换”相
8、关的，又是怎样相关的，掌握了这些内在的特性和规律，才有利于运用到新的问题情景中去1背景是具有“旋转对称性”的基本图形或其变形设 O 是如下正多边形的中心（即外接圆的圆心）ABCOABCODABCODEABCODEF正（等边）三角形 ABC 绕其中心旋转 120与其自身重合，所以正三角形是 120的旋转对称图形正方形 ABCD 绕其中心旋转 90与其自身重合，所以正方形是 90的旋转对称图形正五边形是 72的旋转对称图形正六边形是 60的旋转对称图形正 n 边形是(360/n)的旋转对称图形我们把这些正多边形叫做具有旋转对称性的基本图形实际上，对于等边三角形和正方形的旋转对称性，在关节四已做了较
9、详细的介绍，而这些性质和应用，大都可类比地推广到正 n 边形中去例例 6 操作与证明：如图，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值； 尝试与思考：如图、图，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正三角形或正五边形的中心 O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值 a；ABCDO图 ABCO图 ABCDEO图图
10、 87第 - 5 - 页 共 9 页 探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正 n 边形的中心 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正 n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a；这时正 n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正 n 边形面积 S 之间的关系；若不是定值，请说明理由例例 7用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD把一个含 60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合.将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转ABCDEF图ABCDEF图
11、 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时，（如图），通过观察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD 的延长线相交于点E，F 时（如图），你在中得到的结论还成立吗？简要说明理由第 - 6 - 页 共 9 页2当背景图形有“两组等边做成有公共顶点的等角”时例例 8如图，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连结 AF 和 BEABCEF图ABCEF图ABCEF图 线段AF 和 BE 有怎样的大小关系？证明你的结论； 将图中的CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图 ，中的结论还成立
12、吗？作出判断并说明理由； 将图中的ABC 绕点C 旋转一定的角度，画出变换后的图形， 中的结论是否还成立？ 根据以上的活动，归纳你的发现3.当背景图形有“有公共端点的等线段”时例 4如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，作 DE DC，且取DE=DC，连结 AE，则ADE 的面积为（ ）A1 B2 C3 D不能确定ABCDE第 - 7 - 页 共 9 页PCBADCBA4当题目的条件中含有旋转变换时一般来说，当题目条件中有旋转变换时，就要考虑如何运用旋转变换的性质使问题得以更好的解决例 5如图，在ABC 中，AB=BC，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转得到 A
13、B1C1，使点 C1落在直线BC 上（点C1与点C 不重合），判断边AB1和边CB 的位置关系，并给出证明图形性质与图形间关系的发现，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力练习题 1. ABC 中ACB =90，点 D 在 CA 上，使得 CD=1，AD=3，并且BDC=3A，求 BC的长2.如图，ABC 中，点 P 在ABC 内，且60BAC2ABAC3PA ，求ABC 的面积52PBPC，ABCB1C1第 - 8 - 页 共 9 页3.已知在ABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P.当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQPABC；当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长.
