巧解变动中的三力平衡问题

《巧解变动中的三力平衡问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《巧解变动中的三力平衡问题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 巧解变动中的三力平衡问题巧解变动中的三力平衡问题在中学阶段，力的平衡问题，多为三力平衡，按平衡条件，合力必 为零，将三力首尾相联即围成一封闭三角形。一般来说，只要所给条件 能满足解这个三角形的条件（如已知两边夹一角或两角夹一边）就能按 解三角形的方法解出这力三角形中要求的物理量。常遇到一类变动中的三力平衡问题。一般是其中一个力大小和方向 确定；另一个力的方向确定，大小可变；第三个力大小和方向均变化。 要依据所给条件，确定后两力的变化规律。为了帮助学生们很好地理解， 采用力三角形来解答，现举几例如下：例题 1一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图 1）， 斜面和档板对圆球的弹力随斜面

2、倾角 变化而变化的范围是：A斜面弹力 N1变化范围是（mg，）B斜面弹力 N1变化范围是（0，）C档板的弹力 N2变化范围是（0， +）D档板的弹力 N2变化范围是（mg， ）答：A、C解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆 球的弹力 N2的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力 的大小和方向均在变化中，但不论 如何变动，只要 取一个确定的 值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三 角形，如图 2 所示：由于 090，所以 mgN1，0N2解出。例题 2如图 3 所示,用两根绳子系住一重物,绳 OA 与天花板夹角 不变,且 45,当用手拉住

3、绳 OB，使绳 OB 由水平慢慢转向 OB过 程中，OB 绳所受拉力将A始终减少 B始终增大C先增大后减少 D先减少后增大答：答：DD解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA 方向不变，OB 绳受 力的大小方向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封 闭三角形，现图示如下：从图中可很直观地得出结论。由于 45,+=90所以 45,此时 TOB取得最小值。例题 3如图 4 所示，一重球用细线悬于 O 点，一光滑斜面将重球 支持于 A 点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力 T 及斜面对重球的支持力 N 的变化情况是：AT 逐渐增大，N 逐渐减小；BT 逐渐减小，N

4、逐渐增大；CT 先变小后变大，N 逐渐减小；DT 逐渐增大，N 先变大后变小。答：答：CC解：重球受三个力：重力的大小及方向均为确定，在重球由 A 运动 到 B 的过程中，每一个位置上三力均围成一个封闭的三角形（图 5）由于物体在水平面上滑动，则 f=N，将 f 和 N 合成，得到合力 F， 由图知 F 与 f 的夹角：不管拉力 T 方向如何变化，F 与水平方向的夹角 不变，即 F 为一 个方向不发生改变的变力这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由 前面讨论知，当 T 与 F 互相垂直时，T 有最小值，即当拉力与水平方向 的夹角 =90-arc ctg=arctg 时，使物体做匀速运动的拉力

5、T 最 小例 7、一质量为 50kg 的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度（r 为柱体半径）。柱体最上方 A 处施一最小的力 F，使柱体刚能开始以 P 轴向台阶上滚，求此最小 力析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图 13（a）所示先将圆柱体在 P 点所受的支持力 N 和静摩擦力 f 合成，得到合力 Q，则圆柱体受 mg、Q、F 三个力作用，这三个力必为共点力，且 Q、F 二 力的合力为定值，如图 13（b）所示，显然当 F 与 Q 垂直时，F 有最小值， 由题给条件知， OAP=30，则：Fmin=Tsin30=mgsin30=250N由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问

6、题时，常先将同一 接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的 动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会（2）利用正交分解法分析求解当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来 较繁琐最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体 受力后，利用正交分析法求解例 8、如图 14 为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板 上的 O 点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块 A 相 连当绳处在竖直位置时，滑块 A 对地面有压力作用B 为紧挨绳的一 光滑水平小钉，它到天花板的距离 BO 等于弹性绳的自然长度现用一水 平力 F 作用于 A，使

7、它向右作直线运动在运动过程中，作用于 A 的摩 擦力A、逐渐增大 B、逐渐减小C、保持不变 D、条件不足，无法判断析：取物体 A 为研究对象，分析 A 受力如图 15，并沿水平和竖直方 向建立正交坐标系 由于物体向右做直线运动，则 y 轴方向上受力平衡， 即：TsinN=mg依题意，绳的拉力 T=kx，x 为弹性绳的形变量，则地面对物体的支 持力与 A 物体在 B 正下方时地面对物体的支持力相同也就是说，在物 体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知， 正确答案为 C解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤上面我们 虽然分成几种情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障

8、碍后，其解题 的思路和步骤是完全一样的这就要求我们，在学习物理的平衡知识时， 首先要建立一个解题的基本模式，即解题基本步骤及几种常见题型的特 点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起基本模式，通过原型 启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题解平衡问题是这样， 解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会达到会学、要学、 乐学的高境界静力学中四类极值问题的求解静力学中四类极值问题的求解最（大或小）值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型 渗透在中学物理的各个部分，技巧性强，解法颇多。深入探究最值问题 的解答，能有效地提高运用数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏 捷性。1 1不

9、等式法：不等式法：例例 1 1 无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力足够大。如图 1 示，用长为 L 的绳拉电杆，若所用拉力 T 恒定时，绳栓在电线杆的何处 最容易拉倒？分析与解：分析与解：设绳线栓在离地 h 高处，则拉力 T 的力矩最大时，最容 易拉倒电杆，如图 1，cos=h/L，则 T 的力矩观察此式，T、L 一定，因 h2+（L2-h2）=L2是一常数，故当 h2=L2-h2评点：评点：解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特 征，发掘其隐含条件，若 a0，b0,ab=常数,则当 a=b 时，ab 积最大。这里运用了不等式的一个重要性质（ab）/22.2.三角函数法：三

10、角函数法：例例 2 2 重量为 G 的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地面之间如图 2 示。分析与解：分析与解：物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：水平方向： Fcos=N竖直方向： NFsin=G解得 F=G（cossin）为使 F 最小，只需 cossin 最大，因为 （cos+sin）=（cossin+cossin）/sin=sin（+）/sin而 =ctg-1，故当 =30时，F 最小，最小值为Fmin=GsinG2。评点：评点：求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表 达式，再根据三角函数的有界性：|sin|1 或|cos|1 求最值。3 3极限推理法：极限推理法：例

11、例 3 3 如图 3，用力 F 推质量为 M 的物体，物体与地面间的摩擦因数 为 ，求外力 F 与水平方向交角 最小为多大时，无论外力 F 多么大 均不能使物体前进？分析与解：分析与解：物体受共点力作用，当不动时必满足：Fcos（MgFsin）化简得：F（cso-sin）Mg。因为无论 F 多大，上式均成立，则当 F时，不等式也成立，此 时 取最小值 0因此最小角满足方程cos0-sin0=0，tg0=1/，0=arctg1/。评点：评点：此类题通过对关系式的推理分析、=0时 F 无论多大物体 都不能被推动，因而 F时所满足的 角便是最小值。这是一种极限 推理分析的方法。4 4矢量三角图示法矢

12、量三角图示法例例 5 5 一重为 G 的光滑球放在倾角为 的斜面上，被一挡板 PQ 挡住， Q 处为固定转轴，如图 4 示，挡板可以逐渐放平，何时球对挡板的压力 最小。分析与解：分析与解：小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作 用而平衡。由挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。如图 5 所示，由图知当挡板逐渐放平的过程中，斜面对球的支持力 N1一直逐渐 减小，而挡板对球的支持力 N2将先减小后增大，故当挡板与斜面垂直时 球对挡板压力最小。评点：评点：质点在三个共点力作用下而平衡，各力之间的动态变化的规 律，由力矢量三角形可直观地作出判断。这是处理此类平衡问题常用的 一种方法。共

13、点力作用下物体的平衡典型例题共点力作用下物体的平衡典型例题 例例 11质量为 m 的物体，用水平细绳 AB 拉住，静止在倾角为 的 固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图 1（甲）。 分析分析 本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受 力如图 1 乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件F0，即找准边角关系，列方程求解。 解解 解法一：以物体 m 为研究对象建立图 1 乙所示坐标系，由平衡 条件得： Tcos-mgsin0 （1）N-Tsin-mgcoo0 （2）联立式（1）（2）解得 Nmgcos据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为Nmgcos解法二：以物体为研究对象

14、，建立如图 2 所示坐标系，据物体受共 点力的平衡条件知：Ncos-mg=0 Nmgcoc同理 N=mgcos 说明说明 （1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但 结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简 不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建 坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象正确正确受力分析合理巧建坐标系根据平衡条件（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提， 角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，

15、题目中物 体受重力 G，斜面支持 N，水平细绳拉力 T 三个共点力作用而平衡，这三 个力必然构成如图 3 所示的封闭三角形力图。这一点在解物理题时有时 很方便。例例 22如图 1 所示，挡板 AB 和竖直墙之间夹有小球，球的质量为 m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角 缓慢增加时，AB 板及墙对球压力如 何变化。 分析分析 本题考察当 角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正 交分解法。选定某特定状态，然后，通过 角变化情况，分析压力变化， 我们用上题中第四条结论解答此题。 解解 由图 2 知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构 成一个封闭三角形，且 封闭三角形在变化，当增加到 时，由三 角形边角关系知 N1，N2。 说明说明 封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。 本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断， 如把 AB 板与竖直墙壁夹角 增到 90时，可知 N1=0，过程中 N1一直减 小，N2=mg，N2也一直在减小。 例例 33如图 1 所示，用一个三角支架悬挂重物，已知 AB 杆所受的最 大压力为 2000N，AC 绳所受最大拉力为 1000N，=30，为不使支架 断裂，求悬挂物的重力应