《带电粒子在有界磁场中运动的临界问题_教案[1](1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《带电粒子在有界磁场中运动的临界问题_教案[1](1)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是： 轨迹圆的缩放：轨迹圆的缩放： 当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点 所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径 R R）不确定，用圆规作出一系列大小不）不确定，用圆规作出一系列大小不 同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点
2、临界点”.”.例例 1 1 一个质量为 m，带电量为+q 的粒子（不计重力）， 从 O 点处沿+y 方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强 磁场中，磁场方向垂直于 xy 平面向里，它的边界分别是 y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当 B 满足条件 _时，粒子将从上边界射出：当 B 满足条件 _时，粒子将从左边界射出：当 B 满足条件 _时，粒子将从下边界射出： 例例 2 2 如图 9-8 所示真空中宽为 d 的区域内有强度为 B 的匀强磁场方向如图，质量 m 带电-q 的粒子以与 CD 成 角的速度 V0 垂直射入磁场中。要使粒子必能从 EF 射出，则初 速度 V0 应满足什么条件？
3、EF 上有粒子射出的区域？【审题】如图 9-9 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射 出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速 率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的 临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。 【解析】粒子从 A 点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从 EF 射出，则相应的临界轨迹必为过点 A 并与 EF 相切的轨迹如图 9-10 所示，作出 A、P 点速度的垂线相 交于 O/即为该临界轨迹的圆心。临界半径 R0 由dCosRR00有: Cos1dR0 ；
4、故粒子必能穿出 EF 的实际运动轨迹半径 RR0即: Cos1d qBmvR0有: )Cos1 (mqBdv0。图 9-8 图 9-9 图 9-102由图知粒子不可能从 P 点下方向射出 EF，即只能从 P 点上方某一区域射出； 又由于粒子从点 A 进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从 AG 直线上 方射出；由此可见 EF 中有粒子射出的区域为 PG，且由图知: cotdCos1dSincotdSinRPG0。例例 3 3 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度 为B的匀强磁场，在ad边中点O， 方向垂直磁场向里射入一速度方向跟 ad边夹角
5、= 30、大小为v0的 带正电粒子，已知粒子质量为m，电 量为q，ad边长为L，ab边足够长， 粒子重力不计， 求：（1）粒子能从ab边上射出磁场 的v0大小范围. （2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.解析解析：（1）若粒子速度为v0，则qv0B =， 所以有R =，Rvm2 0 qBmv0设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则R1R1sin =，2L将R1 =代入上式可得，v01 =qBmv01mqBL 3类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2R2sin =，2L将R2 =代入上式可得，v02 =qBmv
6、02mqBL所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足v0mqBL 3mqBL（2）由t =及T =可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角越长，T 2qBm 2在磁场中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径rR1时，运动时间最长， 弧所对圆心角为（22），所以最长时间为t =qBm)22( qBm 5abcdOv03例例 4 4 如图 7 所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？解析解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的
7、改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足， 即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得电子速率v的取值范围为：。例例 5 5、在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为的匀强磁场，有一a2ABCB带正电，质量为的粒子从距点的点垂直方向进入qma3磁场，如图所示，若粒子能从间离开磁场，求粒子速率应满足 什么条件及粒子从间什么范围内射出解析：解析：如图所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与1v边相切于点由图知，在中，由EAO111REO113RaAO得，解得，则AOEO11030c
8、os11 323RaRaR)32(31aRaAOAE)332(23 211图 5DAB C图 6DAB CE1v1o1R4又由得，则要粒子能12 1 1RvmBqv maqB mBqRv)32(31 1从间离开磁场，其速率应大于1v如图所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与边相切于2v点，与相交于点易知点即为粒子轨迹的圆心，则aAGADR32又由得，则要粒子能从间离开磁场，其速率应小于22 2 2RvmBqv maqBv32等于2v综上，要粒子能从间离开磁场，粒子速率应满足maqBvmaqB3)32(3粒子从距点的间射出aa3)332(EG 带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着
9、速度的变化而变化，带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化， 因此可以将半径放缩，运用因此可以将半径放缩，运用“放缩法放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范 围型问题，求解时关键寻找引起范围的围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹临界轨迹”及及“临界半径临界半径 R0”R0”，然后利，然后利 用粒子运动的实际轨道半径用粒子运动的实际轨道半径 R R 与与 R0R0 的大小关系确定范围。的大小关系确定范围。 轨迹圆的旋转：轨迹圆的旋转： 当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向当粒子的入射速度大小确定而
10、方向不确定时，所有不同方向 入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转 中，也容易发现中，也容易发现“临界点临界点”.”. 例例 6 6 一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于 纸面向里.许多质量为 m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方向， 由小孔 O 射入磁场区域. 不计重力，不计粒子间的相互影响. 下列图中阴影部分表示带电 粒子可能经过的区域，其中 . 正确的图是 （ A ）图 7FAB C G2oD2v2R5例例
11、7 7 在 y0 的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于图中的 Oxy 平面，方向指向纸外，原点 O 处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价正离子，对于速度在 Oxy 平面内的离子， 它们在磁场中做圆弧运动的圆心所在的轨迹，可用下面给出的四个半圆中的一个来表示， 其中 正确的是（ A ）例例 8 8 如图，在 x 轴的上方（y0）存在着垂直于纸面向外的 匀强磁场，磁感应强度为 B。在原点 O 有一个离子源向 x 轴上 方的各个方向发射出质量为 m、电量为 q 的正离子，速率都为 v。对那些在 xy 平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大 x_，最大 y_。例例 9 9 图中虚线 MN 是一垂直
12、纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧 的半空间存在一磁感强度为 B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外是 MN 上的一点，从 O 点可以向磁场区域发射电量为q、质量为 m 、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知 先后射人的两个粒子恰好在磁场中给定的 P 点相遇，P 到 0 的距离 为 L 不计重力及粒子间的相互作用 (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径 (2)求这两个粒子从 O 点射人磁场的时间间隔解析：解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R，由牛顿第二定律，有 （1）得 DCBAxyOxyOxyOxyO6（2）如图所示，以 OP 为弦可画两个半径半径相同的圆，分别表示在
13、 P 点相遇的两个粒子 的轨道，圆心和直径分别为 O1、O2 和 OO1Q1、OO2Q2，在 O 处两个圆的切线分别表示两个 粒子的射入方向，用 表示它们之间的夹角。由几何关系可知： 从 O 点射入到相遇，粒子 1 的路程为半个圆周加弧长 =R 粒子 2 的路程为半个圆周减弧长=R 粒子 1 运动的时间：粒子 2 运动的时间： 两粒子射入的时间间隔： 因 得 可解得： 例例 1010 如图 1，半径为的匀强磁场区域边界跟cmr10 轴相切于坐标原点 O，磁感强度，方向垂直纸yTB332. 0 面向里在 O 处有一放射源 S，可向纸面各个方向射出速度为的粒子已知粒子质量smv/102 . 36，
14、电量，试画出粒子kgm271064. 6Cq19102 . 3通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空 间的最大偏角 解析：解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为，由R得RvmBqv2 cmmmBqmvR2020. 0102 . 3332. 0102 . 31064. 619627 虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以 O 为圆心，半径的圆周上，如图中虚线cmR20 由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角在半径一定的条件下，为使R 粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长该弦是偏转轨道圆的弦，图 1xoy s
15、 图 2xoys oA7同时也是圆形磁场的弦显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径即粒子应从磁场圆直 径的 A 端射出如图，作出磁偏转角及对应轨道圆心，据几何关系得，得O21 2sinRr，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060060例例 1111 如图 8 所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大 小B=060T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与 磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm 处，有一个点 状的 放射源S，它向各个方向发射 粒子， 粒子 的速度都是v=30106m/s，已知 粒子的电荷与质 量之比q/m=50107C/kg，现只考虑在图纸平面中运 动的 粒子，求ab上被 粒子打中的区域的长度。解析解析： 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv2/R，由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10c
