杆件的塑性变形

《杆件的塑性变形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《杆件的塑性变形（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、杆件的塑性变形杆件的塑性变形15.1 概 述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。15.2 金属材料的塑性性质图 15.1 是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 pe（15.1）弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图 15.2） 。下面是几种常见的塑性材料模型。图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线图 15.2 弹塑性应力-应变有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图 15.7 所示。nc15.3拉伸和压缩杆系的

2、塑性分析现以图 15.8 所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P逐渐增加时，杆件两端的反力是baPaRbaPbR21(a)P力作用点的位移是baEAPab EAaR 1(b)如ab 则21RR 。随着P的增加，AC段图 15.8 两端 固支 杆图15.3 理想 弹塑 性材 料模 型图15.4 刚塑 性材 料模 型图15.6 刚塑 性线 性强 化材 料模 型图15.5 线性 强化 材料 模型图15.7 幂强 化材 料模 型的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷为1P，载荷作用点的位移为1，由（a） 、 （b）两式求得 bbaAPAbabPRs 1,S1 11Eas 1由平

3、衡方程可知S2APR(c)载荷作用点c的位移为 EAbPP1 1(d)CB段也进入塑性阶段时，S2AR ，由（c）式求出相应的载荷为S22AP 载荷达到2P后，整个杆件都已进入塑性变形。例 18.1 在图 15.9a所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P、极限载荷pP。解：以1N和2N分别表AC和AD杆的轴力，3N表AB杆的轴力。令s1EE ，s1AA ，得3332212cos1,cos21cos PNPNN(e)图 15.9 三杆 桁架当载荷逐渐增加时，AB杆的应力首先达到s，这时的载荷即为1P。由（e）式的第二式得31 S3cos21PA

4、N由此解出 3 S1cos21 AP载荷继续增加，中间杆的轴力sN保持为SA,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力1N也达到SA，相应的载荷即为极限载荷PP。这时由节点A的平衡方程知1cos2cos2SSSPAAAP加载过程中，载荷P与A点位移的关系已表示于图 15.9b中。15.4 圆轴的塑性扭转圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即PIT(a)随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限s（图 15.10a） 。若相应的扭矩为1T，由（a）式知图 15.1 0 圆 轴受 扭转S3PS 121rrIT(b)极限扭矩PT，其值为 AspAdT取ddA2代入

5、上式后完成积分，得s3 P32rT (15.4)达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。例 18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图 15.11a所示，并可近似地表为Bm式中 m 和B皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用 3.4 中的（b）式，求得横截面上任意点处的剪应变为dxd(d)式中dxd 是扭转角沿轴线的变化率，为横截面上一点到圆心的距离，即为该点剪应变。 （d）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图 15.11b） 。由（c） 、 （d）两式求出dxdBm (e)或者写成图 15.1 1 剪 应力 和剪 应变

6、 的关 系m1 dxdB(f)横截面上的扭矩应为 AdAT取dAd2,并以(f)式代入上式，m13mm1m12m m1 rmm dxdBddxdBT1322ro(g)从（f）和（g）两式中消去m1 dxdB，得剪应力的计算公式m1313 2rmm rT (h)令r，得最大剪应力为mm ITr mm rT 41313 2P3max当1m时，材料变为线弹性的，上式变为PmaxIrT由（e）式知rdxdBmmax故有mPmax 4131 mm ITr rBrBdxdm积分求得相距为l的两个横截面的相对扭转为rl mm ITr BmP4131 (i)当1m，GB 时，上式化为PGIlT这就是公式（3.

7、17） 。15.5 塑性弯曲和塑性铰15155 51 1 纯弯曲纯弯曲 根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为y(a)式中1是曲线的曲率。静力方程： A0Ad(b) AMAdy(c)在线弹性阶段，有IyM(d)若以1M表示开始出现塑性变形时的弯距，由（d）式知maxS 1yIM (e)载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为S（图 15.12b） 。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有S如以1A和2A分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（b）化为21AAA21sss 120AAAAAdAdAd

8、若整个横截面面积为A，则应有AAA21故有221AAA(15.5)极限情况下的弯矩即为极限弯矩pM，由静力方程（c）得 A2121sAAssp 12yAyAydAydAAdyM式中1y和2y分别是1A和2A的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成图15.1 2 纯 弯曲图 15.1 4 矩 形截 面梁 的横 力弯 曲和 塑性 铰21SP21yyAM(15.6)【例 15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩1M和极限弯距pM。解：对矩形截面梁（图 15.13） ，由（e）式得开始出现塑性变形的弯矩1M为S2maxS 16bh yIM由公式（15.

9、13）求得极限弯矩pM为S2S21SP44421 21bhhhbhyyAM 1M和pM之比为5 . 11PMM所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了 50%。对圆截面梁,S3maxS 14r yIMS3S3 21SP34 34 34 21 21rrrryyAM 7 . 13161PMM从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加 70%。15.5.215.5.2 横力弯曲横力弯曲 图 15.1 3 矩 形截 面和 圆截 面横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14a中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为x的横截面上的应力分布情况放大成图 1

10、5.14b。在这一截面的塑性区内，S；弹性区内，yS 。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为S22 3422 A0Sh/2ShbbdyyybdyydAyM(15.7)还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为xlPM22令以上两式相等，得S223422 hbxlP(f)这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为a，在（f）式中，令ax ，2h，得S2622bhalP 由此求得塑性区的长度为 max1 S2 14 612MMlPlbhla式中4,6maxS21PlMbhM随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值pM。15.6 梁的塑性分析对图

11、15.14a中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为4maxPlM。当maxM达到极限弯矩pM时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性铰。这就是梁的极限状态，这时的载荷也就是极限载荷pP。若梁的截面为矩形，S2P4bhM，于是极限载荷为lbhPS2P对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。以图 15.15a所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。根据塑性铰上的力偶矩为pM，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。由图 15.15d所示极限状态为例，由BC段的平衡方程0Cm，得lMRP B2再由整条梁的平衡方程0Am，得021PPBMPlR把BR的值代入上式后，解出图 15.1 5 静 不定

12、梁受 集中 载荷lMPP P6例 154 在均布载荷作用下的静不定梁如图 15.16a所示。试求载荷q的极限值pq。解：梁的极限状态一般是跨度AB或跨度BC变成机构。现将上述两种情况分别进行讨论。要使AB跨变成机构，除A、B两截面形成塑性铰外，还必须在跨度内的某一截面D上形成塑性铰（图 15.16b） 。由于对称的原因，塑性铰D一定在跨度中点，且2BAqlRR。再由AD部分的平衡方程0Dm，得 022222PA lqMlR将AR代入上式，解出2P16 lMq （a）这是使AB跨达到极限状态时的均布载荷。现在讨论跨度BC。要使它变成机构，除支座截面B要成为塑性铰外，还要在跨度内的某一截面E上形成

13、塑性铰。设截面E到支座C的距离为a。这样可把BC跨分成图 15.16d中的BE和EC两部分。对这两部分分别列出以下平衡方程：图 15.1 6 静 不定 梁受 均布 载荷 022, 0m2, 02 PB2 PalqMaqMm（b）从以上两式中消去PM，得lallaa 210222显然应取2前的正号，即 la12 将a的值代入（b）式的第一式，即2 P22P/6 .11 122lM lMq （c）这是使BC跨达到极限状态时的均布载荷。比较（a） 、 （c）两式，可见整个静不定梁的极限载荷是2 PP/66.11lMq 。 15.7 残余应力的概念载荷作用下的构件，当其某些局部的应力超过屈服极限时，这

14、些部位将出现塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷解除，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相互作用的应力，这种应力称为残余应力。例 15.6 在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应力。设材料是理想弹塑性的。解：当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图 15.14b。根据公式（15.7） ，截面上的弯矩为 3422ShbM这时梁内的最大应力为S。卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且它引起的应力按线弹性公式计算，即最大应力为 22 s22s2432346 hhbbhWM叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为 22 S S412h由正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图15.18d所示。15.8 塑性条件和塑性曲面受力构件一点处的应力状态，由它的三个主应力来表示。按照第三强度理论，如对主应力的记号采取321的规定，材料开始屈服的塑性条件为公式（15.2） 。如对主应力的记号不采取321