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1、第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性透镜作为光学系统的基本光学元件之一，在光学成像系统起着成像补偿像差及调整倍 率等作用，在光学信息处理中具有位相变换和傅里叶变换作用。光学成像系统是一种最基 本的光学信息处理系统，它将输入图像信息从物面传播到输出面，输出图像信息由光学系 统的传递特性决定。光学系统是线性系统，一定条件下为空间不变线性系统，既可在空域 中，也可在频域中分析它的成橡规律和特性。这两种描述是完全等价的。对于相干和非相 干系统，可分别给出本征函数，把输入信息分解为本征函数的频率分量，考察这些分量在 系统传递过程中衰减、相移等变化，研究
2、系统空间频率特性即传递函数。这是一种全面评 价光学系统传递信息能力的方法，也是评价其成像质量的方法。与传统方法如星点法、分 辨法相比，OTF 法能全面反映光学系统成像能力，有明显的优越性。现有计算机及高性能 光电测试技术，使得 OTF 的计算和测量日趋完善。同时 OIS 的频谱分析作为光学信息处理 技术的理论基础，对光学信息处理技术的应用起着极其重要的作用。 本章首先首先研究透镜的位相变换性质，然后讨论透镜的傅里叶变换性质，分分析透 镜孔径对傅里叶变换的影响，然后讨论光学成像系统的频率特性。4.1 透镜的相位变换性质通常在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射时，要借助于透镜实现近距离的观察 夫
3、琅禾费衍射图。单色平面波垂直照射衍射屏，在夫琅禾费近似下，观察平面上的场分布 等于衍射孔径上场分布（屏函数）的傅立叶变换，透镜之所以可实现傅立叶变换，这是因 为透镜具有相位变换作用。现研究一个无像差的薄透镜的成像，如图 4.1.1 所示，轴上点 源 S 和透镜的距离为 p，不考虑透镜的孔径造成的衍射影响，由于是薄透镜，这里认为入 射光线经过透镜，出射光线在 P2面上的高度同在 P1上高度相等。从几何光学观点看，成像 过程是点物 S 成点像 S ；从波面变换的观点看，透镜将发散球面波变换成会聚球面波。 为了研究透镜的变换作用，引入透镜的复振幅透过率 t(x,y)，定义为，其中分别是 P1 和 P
4、2面上的复振幅分布，11t x,yUx,y /Ux,y11Ux,y ,Ux,y傍轴条件下，显然，S 单色点光源发出的球面波在 P1上的光场 U1(x,y)为（A 为常数） (4.1.1)22()2 1( , )kjxyjkppU x yAee 上式表明：P1上的振幅分布是均匀的，只有位相的变化。透过透镜后，成为会聚于 S的球 面波。P2上的复振幅分布为(4.1.2) 22()2 2( , )kjxyjkqqUx yAee、并不影响 P1和 P2平面上相位的相对分布，分析时可忽略，则jkpejkqe(4.1.3)2211()()221( , )( , )( , )kjxypqUx yt x ye
5、U x y图 4.1.1 透镜的位相变换作用1O2Opq1P2P1U2Uzx-yS第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性在式中令 (4.1.4)111 pqf透镜的位相变换因子 (4.1.5)22()2( , )kjxyft x ye 其中(4.1.4)式正式高斯公式。以上结果表明，由于透镜的位相变换作用，发散的球面波变 为会聚的球面波。 当单位振幅平面波垂直于 P1 入射时，1( , )1U x y P2上的复振幅分布是： (4.1.8)22()2 21( , )( , ) ( , )kjxyfUx yU x y t x ye傍轴条件下这是一个球面波的表达式。对于正透镜，f 0，上式所
6、表示的是一个向透镜后 方 f 处的焦点 F会聚的球面波；对于负透镜，f 现负值，在光学传递函数小于 0 处出现了离焦系统的光学对比度反转现象。w=0/8/4/2 1.00.50 0.51.0fx/2 fx0H(fx,0)图 4.6.3 离焦系统的光学传递函数第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性4.7 相干与非相干成像系统的比较由前面的讨论可知，对同一个成橡系统，非相干成像系统的截至频率是相干成像系统 截止频率的两倍。这好像是说，对同一个成像系统，用非相干照明比用相干照明的成像效 果更好。但是实际并非如此简单。这是因为相干截止频率确定的是像的复振幅分布中的最 高频率分量，而非相干的截止频
7、率则是像的强度分布中的最高频率分量。振幅和光强不是 同一物理量，因而不能直接进行比较。无论是相干照明还是非相干照明，通常最终接收的 是像的强度分布，因而必须将相干照明情况下对复振幅的描述转换成对光强度的描述，然 后通过强度分布来进行比较比较恰当。下面从像强度频谱与对比度和两点问的分辨率两个 方来进行比较，研究同个成像系统在两种不同类型照明情况下所成的像的某些差异。4.7.1 像的强度频谱与对比度 为了比较像强度的频谱和对比度。我们先考察相干和非相干情况下像强度分布的频谱。相 干照明和非相干照明时的像强度分别为2cgIUh=*%和i22ggIIUhIh=*=*%分别对上两式进行傅里叶变换，并应用
8、卷积定理和相关定理，得到相干照明时 cgccgccFT IG HG H=（4.7.1）非相干照明时 igcgcccFT IGGHH= （4.7.2）式中是物或者理想几何像振幅分布的频谱，是相干传递函数。gcgGFT U=cH由此可见，在两种情况下像强度的频谱的确不同，但仍不能得出哪种情况更好，因为成像 结果不仅依赖于系统的结构与照明光的相干性，而且与物的空间结构有关。下面举两个例 子来说明。 例 1物体的复振幅透过率为（4.7.3）( )1xtxcos2bp=将此物通过一放大率为 1 的光学系统成像。系统的出瞳是半径为 a 的圆孔，并且 ，为出瞳到像面的距离，为照明光波长，试问对该物体成像，i
9、id / ba2 d / bll他频率分量均被挡住，所以物不能成像，像面呈均匀强度分布。 在非相干照明条件下，系统的截止频率为大于物的基频 2/b，所以零频和基频均能通cut2 f过系统参与成像，因此像面上有图像存在，尽管想的基频被衰减，高频被截至了。显然非 相干成像比相干成像好。 例 2在上题中，如果物体的复振幅透过率为( )1xtxcos2bp=第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性结论又如何？解 和的振幅分布随不同，但有相同的强度分布，下面分析它( )1tx( )2tx()2 ocos2 x / bp们通过系统的成像情况。 对于相干照明，理想像的复振幅分布为，其频率为 1/b。按题
10、设系统的截至频()icos 2 x / bp率为，且。因此这个呈余弦分布的复振幅可不受影响地通过此成()cutifa /dl=cut1/ bf即在这个频率上相干像强度频率的幅度要比非相干像强度的频率幅度大一些，所以相干像 的对比度也大一些。从这个意义上讲，相干照明优于非相干照明。4.7.2 两点间的分辨率两点间的分辨率是光学仪器的重要性能指标之一。尤其是在显微镜和天文光学仪器中， 它有着非常实际的意义。这里对比下在相干光和非相干光照明情况下成像系统对靠近的 两个点物的成像效果。 非相干成像系统所使用的是瑞利分辨率准则，用它来表示理想光学系统的分辨率。对衍射 受限的圆形光瞳情况，点光源在像面上产
11、生的衍射斑的强度分布为爱里斑。两个非相干点 光源，若一个点光源产生的爱里斑中心正好落在另一个点光源所产生的爱里斑的第一个暗 环上，则认为成像系统对这两个点光源刚好能够分辨，此时对应的分辨率称为成像系统的 极限分辨率。因此，在几何像上的最小分辨间隔为，D 和 fcuticut1.22 d / D2.44 / fdl=为出瞳直径和相干截至频率，由圆孔的夫琅和费衍射理论可知，点像的相对光强分布满足。设两个点源对称放置在光轴的两边，当它们正好处于极限分辨( )() ()21I x2Jx /xpp= 的情况，对非相干光源而言，所成像的光强分布应为两光源像光强的非相干叠加，即第四章 光学成像系统的空间变换
12、特性与频率特性（4.7.5）( )() ()() ()2211Jx0.61Jx0.61I x22x0.61x0.61pppp-+=+-+ 图 4.7.1 给出了两个非相干光源的像强度分布的曲线。由分布曲线可知，其中心凹陷的大 小约为最大强度的 9。I(x)0-22I(x)0-22=0=/2图 4.7.1 两个非相干点源的像强度分布图 4.7.1 两个相干点源的像强度分布如果是相干照明，两个点光源的像光强分布应首先由复振幅叠加，然后取其模的平方值， 即（4.7.6）( )() ()() ()211jJx0.61Jx0.61I x22ex0.61x0.61fpppp-+=+-+ 式中为两点光源之间
13、的相对位相差。显然，当值不同时，式（4.7.6）中的分布ff( )I x也不同。图 4.7.2 给出了，三中特殊情况下的像强度分布曲线，下面分别0f=/ 2pp 进行讨论。当0 时，e”1，由式（4.7.6）有fjef( )() ()() ()211Jx0.61Jx0.61I x22x0.61x0.61pppp-+=+-+显然，此时候强度分布曲线中心突起而不是凹陷因而两点无法分辨。当时，j，代入式（4.7.6） ，有f/ 2pjef( )() ()() ()() ()() ()2112211Jx0.61Jx0.61I x22 jx0.61x0.61Jx0.61Jx0.6122x0.61x0.6
14、1pppppppp-+=+-+ -+=+-+ 这表明，此时像的强度分布与非相干点光源时的分布相同。当时，-1，由式（4.7.6）得到fpjef( )() ()() ()211Jx0.61Jx0.61I x22x0.61x0.61pppp-+=-+ 在 x=0 处，即曲线在中心凹陷到零。显然这种情况下分辨两点的能力很( )I x0=( )I x高，远比非相干照明时高。 综上所述，相干照明时成像系统对两点的分辨率强烈地依赖于两点物的位相差。当两 点源同相时，分辨率低于非相干照明；当位相差时，分辨率与非相干照明时相同；/ 2fp= 当两点源反相时，分辨率又高于非相干照明。因此，瑞利判据适应于非相干成
15、像系统，对 于相干成像系统能否分辨两个点，必须考虑它们的位相关系。第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性习 题 四1一物的振幅透射率系数，用单位振幅的单色平面波垂直入射11( , )(1 cos2)2t x yx照明，通过衍射受限系统成像，若小于系统相干传递函数的截止频率。1（1）求理想成像平面的光强度分布；（2）证明在距离像平面为的一系列平面上的光强分布相同。12(1,2,3.)jdj2一个衍射受限相干成像系统的光瞳是边长为正方形，若在其光瞳中心放置一边长为L 的不透明正方形屏，试画出相干传递函数的图形。L( ,0)H 3一个衍射受限相干成像系统的光瞳是直径为 d 的圆，若在其光瞳中嵌
