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1、- 1 -高中数学竞赛辅导第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能 I排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组及naaaL21.21nbbbL则（同序和）nnbababaL2211（乱序和）jnnjjbababaL2211（逆序和）1121bababannnL其中是 1，2，n 的任一排列.当且仅当或njjj,21LnaaaL21时等号（对任一排列）成立.nbbbL21njjj,21L证明：不妨设在乱序和 S 中时（若，则考虑） ，且在和 S 中含有项njnnjn1nj则 ),(nkbank.nnjnnjnnkbabababa n事实上，左右=, 0)( njnknbbaa由此
2、可知，当时，调换（）中与njn nkjnjkjbababaSLL 11njnnb位置（其余不动） ，所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又nj.1SS nanb1na1nb得如此至多经次调整得顺序和.12SS 1nnnbababaL2211jnnjjbababaL2211这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当或时naaaL21nbbbL21中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在及 k，使这时中不njnb.,knjaab n等号成立.因而对这个排列中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II应用排序不等式可证明“平均不等式”：- 2 -设有 n 个正数的算术平均数和几何平均数
3、分别是naaa,21Lnnnn naaaGnaaaALL2121和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到，nnaaanH11121 L和平方平均（在统计学及误差分析中用到）这四个平均值有以下关系. naaaQn n22 22 1LnnnnQAGH*其中等号成立的充分必要条件都是.naaaL21下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：.nnGA 记；1,2121 21 1nn nGaaaxGaaxGaxLL.1,1,122 11 nnxyxyxyL由于数组和数组中对应的数互为倒数，由排序不等式得nxxx,21Lnyyy,21L（逆序和）nnyxyxyxL1211，1121,nnnyxy
4、xyxL即 .21nnnnGa Ga GanL从而等号当且仅当或时成立，而这两者.nnGA nxxxL21nyyyL21都可得到.naaaL21下面证明对个正数应用得.nnHG nnaaa1,1,121L,nnAG - 3 -.1111112121nnn aaanaaa LL即（符号成立的条件是显然的）.最后证明它等价于.nnHG ,nnQA . 0)()(2 2122 22 1nnaaaaaanLL而上式左边=LLL2 22 322 12 212 21)()()()()(nnaaaaaaaaaa，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，0)(2 1nnaa对一切成立.nnQA
5、 Raaan,21LIII应用算术平均数几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：设、，是任意实数，则1a2a3ana).)()(22 22 122 22 12 2211nnnnbbbaaabababaLLL等号当且仅当为常数，时成立.kkabii(), 2 , 1niL证明：不妨设不全为 0，也不全为 0（因为或全为 0 时，不等), 2 , 1(niaiLibiaib式显然成立）. 记 A=，B=.22 22 1naaaL22 22 1nbbbL且令), 2 , 1(,niBbyAaxi ii iL则于是原不等式成为. 1, 122 22 122 22 1nn
6、yyyxxxLL. 12211nnyxyxyxL即.它等价于)(22211nnyxyxyxL22 22 122 22 1nnyyyxxxLL. 0)()()(22 222 11nnyxyxyxL其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立，且等号成立的充)., 2 , 1(niyxiiL要条件是).(BAkkabii- 4 -IV利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若， ，naaaL21nbbbL21则.21212211 nbbb naaa nbababannnnLLL证明：由题设和排序不等式，有=，nnbababaL2211nnbababaL2211，132212211baba
7、babababannnLL.11212211nnnnnbabababababaLL将上述 n 个不等式叠加后，两边同除以 n2，即得欲证的不等式.赛题精讲I排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例 1：对，比较的大小.Rcba,accbbacba222333与【思路分析】要应用“排序不等式” ，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上 去分析. 【略解】 取两组数.,;,222cbacba不管的大小顺序如何，cba,都是乱序和都是同序和accbbacba222333故.accbbacba222333【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.例 2：，求证
8、Rcba,.222222222222abc cab bca bac acb cbacba【思路分析】 应先将、三个不失一般性地规定为abc. 0cba 【略解】由于不等式关于、对称，可设abc. 0cba于是.abccba111,222- 5 -由排序不等式，得（乱序和）accbbaccbbaa111)(111222222逆序和.及.111111222222 bcabcaccbbaa以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成.abcabccba111, 0333及【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入
9、手来设 计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.例 3：在ABC 中，试证：.23cbacCbBaA【思路分析】 可构造ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设，于是由排序不等式，得cba.CBA.,bCaBcAcCbBaAaCcBbAcCbBaAcCbBaAcCbBaA相加，得，)()()(3cbaCBAcbacCbBaA得 3 cbacCbBaA又由有,0 ,0 ,0bcacbaacb).(2)()3()2()2()()()()()()(0cCbBaAcbaCcBbAaCBAcBCAbACBabcaBcbaCacbA得 .2 cbacCbBaA由
10、、得原不等式成立. 【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.例 4：设是互不相同的自然数，试证naaa,21L.21 211222 1naaannLL【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将按由小到大的顺序排成其中naaa,21L njjjaaaL 21是 1，2，n 的一个排列，则于是由排序不等式，njjj,21K., 2, 1 21naaa njjjL得- 6 -.1 2112222222 121nnaaanaaanjj jnLLL例 5：设是正数的一个排列，求证nbbb,21Lnaaa,21L.2211nba ba bannL【思路分析】 应注意到), 2 , 1( 1
11、1niaaiiL【略证】不妨设，因为都大于 0. 所以有naaaL21naaa,21L，naaa11121L又的任意一个排列，于是得到nnaaabbb1,1,11,1,12121LL是.11111122 11 22 11 nn nnbababaaaaaaanLL【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例 6：设正数的乘积，试证：cba,1abc. 1)11)(11)(11(accbba【略解】设，这里都是正数，则原需证明的不等式化为xzczybyxa,zyx,中最多只有一个yxzxzyzyxxyzyxzxzyzyx,)()(显然非负数.若中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若
12、yxzxzyzyx,均为正数，则是某三角形的三边长.容易验证yxzxzyzyx,zyx,).()()(31)()(222zyxzyxzyxzyxyxzxzyzyx故得.)()(xyzyxzxzyzyx【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数、的乘积abc证明, 1abc.23 )(1 )(1 )(1222bacacbcba- 7 -证明：设，且所需证明的不等式可化为1,1,1,1xyzzcybxa则，现不妨设，则23222 yxz xzy zyxzyx，据排序不等式yxz xzy zyx 得yxz xzy zyx 222yxzyxzyxzyxz及yxz xzy zyx 22
13、2yxzxxzyzzyxy两式相加并化简可得)(2222yxz xzy zyx . 333xyzzyx例 7：设实数是的一个nnnzzzyyyxxx,212121LLLnyyy,21L置换，证明： niiiniiizxyx1212.)()(【略解】 显然所需证不等式等价于这由排序不等式可直接得到. niiiniiizxyx11,【评述】 应用此例的证法可立证下题：设是两两互异的正整数（，证明对任意正整数，均有ka), 2 , 1Lkn ninik kka112.1证明：设是的一个排列，使，则从条件知nbbb,21Lnaaa,21LnbbbL21对每个，于是由排序不等式可知kbnkk,1 niniknik kkb ka112 12.1II柯西不等式的应用 应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.- 8 -例 8：设，求证：Rxxxn,21L.21 122 132 222 1 nnnnxxxxx xx xx xxLL【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ，故由柯西不等式，得0,21nxxxL)(122 132 222 1 132xx xx xx xxxxxxnnn nLL211132 321 2)
