超细长弹性杆的结构模型及数值仿真算法的研究

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1、 1 作者:姜咏梅 题目: 青岛大学硕士学位论文 基本假定:讨论长度为 L 的超细长弹性杆的平衡问题, 曲杆的中心线为杆截面的几何中心连成的不自相交的空间曲线 C.(1)杆的中心线是 2 阶以上的光滑曲线;(2)横截面为刚性平面;(3)忽略弯曲引起的剪切变形, 横截面与中心线正交;(4)忽略中心线的拉伸变形, 任意二截面沿中心线的距离不变;(5)相邻截面可绕中心线作相对扭转, 扭角为 J 的连续函数; (6)杆为等截面, 且截面内二主轴方向有相同的几何尺度;(7)杆为均匀各向同性，弹性常数为常值, 应力和应变满足线性本构关系. 建立截面的主轴坐标系(P-xyz), 其各坐标轴的基矢量分别为岛其

2、中 z 轴与曲线 C 的切线轴123,e e eT 重合，即. 设 Z 为 x 轴与 N 轴, y 轴与 B 轴的夹角, 即截面相对 Frenet 坐标系扭转的角度，N B T 则(P-NBT)与(P 一移曙)之间的关系为：123cosxsin0 sincos0 001eNxBxxe Te 其中cosxsin0 sincos0 001x xx 为方向余弦矩阵.曲杆的中心线确定以后，只需再确定扭角 z(s)随弧坐标的变化规律，曲杆在空间中的几何形态即被完全确定, 因此曲杆的自由度为 3.设想当 p 点沿曲线 C 以单位速度朝弧坐标 S 的正向运动时，截面以角速度相对转()o动. 为截面相对定坐标

3、系的绝对角速度, 即截面相对 Frent 坐标系（P 一 NBT)的相对角()o速度与(P 一 NBT)相对定坐标系的牵连角速度之和可导出3()dxeds()oF31 12 23 3Fdxeeeeds其中123sin ,kcosx,dxkxds上式中沿切线轴的分量为挠率与相对扭角变化率 dx/ds 之和, 即截面绕切线轴的绝对转3角对弧坐标 s 的变化率, 称为杆的扭率, 以区别于前面定义的挠率 f 有. 以下几种不同情形：过扭转：与同号, dxds3f纯扭转；为零, =dxds3欠扭转：与异号, dxds3p是与杆的弯监变形和扭转变形相关的矢量, 称为杆的弯扭度矢量, 或简称弯扭度. 其物理

4、意义为截面相对定坐标系的无限小角位移对弧坐标 s 的变化率, 即()o0lim xd sds VV V弯扭度口也可用切线矢量 T 及其导数表示为3dTTTds截面的主轴坐标系(Pxyz)随弧坐标 J 的变化规律可根据弯扭度烈 s)由以下微分方程确定(i=1,2,3)i ideeds导出1122330cos(0sincossin0dxkxdseedxekxedseekxkx 弯扭度的 3 个分量(i=l，2，3)由曲秆的曲率 k、挠率和相对扭角 x 的变化率确定, 因此也可( )is将作(i=l，2，3 为确定曲杆几何形态的 3 个独立变量.( )is2作者: 邢益冰; 题目车 灯 线 光 源

5、计 算 的 初 等 模 型刊物名: 中学教研 ( 教 学) ; 2 0 0 3 年第 1 1 期 39-41问题的提出 安装在 汽车头部 的车灯 的形状 为一旋转 抛物面, 车灯的对称轴水平地指向正前方 ，其开 口半径 3 6 毫米, 深度 2 1 . 6 毫米经过车灯的焦点 , 在与对称轴 相垂直 的水平方 向， 对称地放置 长度为 4 毫米的线光源, 线光源均匀分布 在焦点 F 正前方 2 5 米处的 A 点放置一测试屏 ， 屏与 F A 垂直 请解决下列 问题 ： 1 ) 计算直射光总功率与反射光总功率之 比 2 ) 计算测试屏上直射光 的亮 区， 在有标 尺的坐 标系中画出其图形 2

6、模型的假设 1 ) 光通过旋转抛 物面的 口径时 , 不发生任何折射 、 反射现象 2 ) 旋转抛物面的材料性能好 ， 发生全反射， 即光照射到凹面镜反射时没有能量流失 3 ) 从线光源 出来 的光照 到测试 屏上 ， 保证在屏上成清晰的亮区， 即测试 屏足够大 、 高 4 ) 光在空气中传播 . 不考虑反射、 折射 、 衍射 、 能量损耗等因素 5 ) 线光源均匀分布， 且把线光源看成是由无数多个点光源组成 点光源发光时， 在各个方向上产生的光强度是一样的. 3 文中用捌符号的说明 直射光总功率 ， 即线光 源直射到测试屏上的光的总功率 w 反射光 总功率 ， 即从线光源出发通 过凹面镜反射

7、到测试屏上的光的总功率 A 点光源 的直射光所照射到 的以点光源为球心的球面面积 k 直射光总功率与反射光总功率之比模型 1 计算直射光总功率 与反射光总功率之比问题的分析根据物理光学知识可知, 一个被光照射的情况可用照度来描述, 照度与其光照到的面积的乘积为该面积上通过的总的光通量 ，光通量与其光能量成正比，光能量又与光功率成正比， 又点光源在 以点光源为球心的球面上 的照度一样，因此直 射光功率与反射光功率之 比即为等距离条件下其直射光所照面积与反射光所照面积之 比考虑线光源可看成由无数个点光源叠加而成 , 且线光源较短 , 经分析可知线光源上任意两个点光源直射光功率 与反射光功率之比的误

8、差很小 ， 所以线光源上的直射光总功率与反射光总功率的比可用焦点处的点光源直射光功率与 反射光功率之 比近似代替模型的建立及求解定义 一点光源直射到两物体上 , 以该点光源为球心作一小球面 则射在物体上的光线在球面上的投影曲面面积之比称为该光源射到两物体上的光功率之比 以焦点 F 为圆心作一半径为 r =6.6 mm 的球 , 平面图形如图所示 :其中抛 物线方程可得260 ,15,6.6,36,yx OFFDFECD2236.6.FCFDCD由直角三角形 FCD 与 FEB 相似可得6.6 6.636.6FB所 以 FB=1.2， B D =F D FB=5.4. 图形中右球冠的面积=2.A

9、rBD 右左球冠的面积2=42.ArrBD 左所以焦点处直射光所照的球表面积与反射光在球上的表面积之比为A直A反2254=0.6923.4222 6.65.4AArBDBD AArrBDrBD 右直反左可得0.6923.WkW直反3作者： 唐 帅 ， 郝 祥 辉; 题目数 学 建 模 思 想 融 入 线 性 代 数 教 学 的研 究刊名：通 化 师 范 学 院 学 报 ( 自然科学) 第 3 4 卷 第 5 期 2 0 1 3 年 1 O 月 页码：44-46某地区有三个重要企业: 一个煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 开采 1 元的煤, 煤矿要支付 0.25 元的电费及 0.25 元的运输费.

10、 生产 1 元的电力,发电厂要支付 0.65 元的煤费、0.05 元的电费及 0.05 元的运输费. 创收 1 元的运输费, 铁路要支付 0.55 元的煤费及 0.1 元的电费. 在一周内, 煤矿接到外地50000 元的订货, 发电厂接到外地金额为 2500 元的订货, 问三个企业在一周内生产总值各为多少?三个企业互相支付多少金额?(1) 模型假设余变量说明, 假设该地区三个产业间需要的资金完全由地区提供. 设本周内煤矿的生产值为, 电厂的总产值为, 铁路总产值为.1x2x3x(2) 模型的分析与建立. 煤的产值=订货值+(发电+运费)所需要煤的费用; 同理, 电厂的产值=订货值+(开采煤+运

11、输+发电); 铁路的产值=订货值+(开采煤+发电); 铁路的产值=订货值+(开采煤+发电)所需要的运输费用.综上所述, 可建立如下的线性方程组模型122123312(0.650.55 )50000(0.250.050.1 )2500(0.250.05)0xxxxxxxxxx (3) 模型求解a=1 o.65 -0.55 50000; -0.25 0.95 -0.12500; -o.25 -0.05 1 0;rref(a)Ans=1 .0 e+0 0 40.0 0 01 0 0 7 .7 8 4 30 00.0 0 0 1 0 2 .5 2 9 80 0 0.0001 2 .0 7 2 64 作

12、者: 孟方明 题目新课标下高中数学建模的教学研究刊名: 浙江师范大学 2007 级教育硕士论文 页码 1-37营养学家指出, 成人日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 006kg 的脂肪已知 lkg 食物 A 含有 O105kg 碳水化合物, 007kg 蛋白质, 0.14kg 脂肪, 花费 28 元；lkg 食物B 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.14kg 蛋白质, 0.07kg 脂肪, 花费 2l 元. 问: 需要分别食用食物 A 和食物 B 多少 kg, 能满足营养专家指出的日常饮食要求, 同时使花费最低.【建模与求解】本题是线性规划问题

13、, 设每天食用 xkg 食物 A，ykg 食物 B, 总成本为 z, 则可建立不等关系模型: 0.01050.1050.075 0.070.140.06 0.140.070.06 0 0y xy xy x y 目标函数 z=28x+21y作出上述不等式组表示平面区域，利用平移法求出 z 的最小值, 当直线 z=28x+21y 经过可行域内的点 M()时1 4,7 7=16minz5作者: 孟方明 题目新课标下高中数学建模的教学研究刊名: 浙江师范大学 2007 级教育硕士论文 页码 1-37购房中的数学下表是一位打算买房的居民的家庭经济状况及相应的购房预选方案:房需要贷款, 这位居民向一家银行

14、申请购房贷款, 银行贷款评估员根据表格信息, 向他提供下列信息和建议: 申请商业贷款, 贷款期限为 15 年比较合适, 年利率为 504购房的首期付款应不低于实际购房总额的 20, 贷款额应不高于实际购房总额的 80. 还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金和利息部分，其计算公式分别为: 本金部分=贷款本金贷款期季数，利息部分=(贷款本金一已归还贷款本金累计额)季利率根据以上购房贷款方式, 你认为预选方案 1、2 到底哪个是他的最佳选择?阐述你的建议, 并说明理由.建模与求解本题属于数列在贷款实际问题中的应用，具有较强的探究性和开放性，除就题解题外，有利于提高学生借助报纸

15、、互联网查找资料的能力，充分感受数学知识在贷款实际问题中的应用价值方案 l：如果首付 10.8 万(约为住房总价值的 30)，贷款 25.2 万，季利率为 5.044=1.26，以贷款期为 15 为例. 每季等额归还本金: 252000+(154)=4200 元, 第 1 个季度利息: 252000 126=3175. 2 元，则第 1 个季度还款额为 4200+3 1 75. 2=7375. 2 元;第 2 个季度利息：(2520004200) 1.26=3 122.28 元，则第 2 个季度还款额为 4200+3 1 22.28=7322.28 元L L第 60 个季度利息(252000-4200 59)1.26=52.92 元，则第 60 个季度(最后一期)的还款额为 4200+52.92=4252.92 元，15 年中每个季度的还款额成等差数列, 公差为 52.