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1、量子力学量子力学试题试题 A 答案答案 （闭卷）（闭卷）（电子科学与技术系 2008 级）姓名 班级 学号 题号12345678910总 分 得分1、 (10 分) 简述量子力学的 5 个基本假设答答 (1) 微观体系状体由波函数描述。波函数满足连续性、有限性和单值性。 (2) 力学量用厄米算符表示。 (3) 将体系的状态波函数 用算符 的本征函数 展开则在 态中测量力学量得到 结果为 的几率是 ,得到结果在 范围 内的几率是 (4) 体系的状态波函数满足薛定谔方程： , 为体系的哈密顿算符。 (5) 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理） 。2、(10 分
2、) 分别判断下列三个波函数所描述的状态是否为定态？并说明理由。 1( )( )( )EEix itix itxu x eu x ehh12212( )( )( )()EEititxu x eu x eEEhh3( )( )( )EEititxu x eu x ehh答答 iHthHn2 ncd 2cdF F()nnnFF nn nccd 与时间无关,是定态；21122* 222( )( )( ) (2)EEEEititxxu xee hh， 与时间有关,不是定态；2*22 111( )( )( ) (2)i xi xxxu xee，与时间有关,不是定态。222* 333( )( )( ) (2
3、)EEititxxu xeehh3、(10 分) 已知一质量为 m 的粒子在一维势场中运动 000)(xaxaxxU或（1）写出该粒子一维薛定谔定态波动方程; （2）求解该粒子的能级; （3）求解该粒子归一化后的波函数. 答答222222( )( )2( )( )( )2dxExxam dx dxxExxam dx hh令 则有222 hmEk 通解为kxBkxAxcossin)(边界条件为：解得， 能级波函数为： 000)sin(2 )(xaxaxaxn ax或 4、(10 分) (1) 设为厄米算符，且，证明为厄米算符； ,A B ,A B0()i ABBA(2) 下列算符中，哪些是线性算
4、符？ 其中哪些是厄米算符？， ， ， ，dxdx ,2 22dxdSindxdilnE 2 2 2( )0dkxdx( )sincos0 (0)cos0aAkaBka Bka 0B nka22222nEmah答答 (1)因为为厄米算符，对于任意两个波函数，有： ,A B, ，*A dAd *B dBd )* , ()()()()( , )i A Bdi ABBAdiAB diBA di AB di BA di B Adi A BdiBAdiAB BdiABiBAdi A Bd 即为厄米算符，得证。()i ABBA(2 所以线性算符和厄米算符定义可判断：线性算符： ， ， dxdx ,2 22d
5、xd dxdi厄米算符： ， 2,x22dxd dxdi5、(10 分) 根据测不准关系，估算氢原子的基态能级。答答 由测不准关系 rp h/rp h对于氢原子 ,即222peEmr222peEpmh处于基态时， 02 00p ppdEe dpmh20mep h所以242240221 2m ee memeEm hhhh6、(10 分) 设氢原子处在基态，已知氢原子基态波函数为，412/ 2/3100area计算(1)库仑势能的平均值;(2)最可几半径。rerV2 )(答 (1) 2 21( )eV rerr 1001002*2/2 3/23/2 01211 21( )444r ar aV re
6、deeer drrar a 2 2 / 3 04( )r aeV rer dra 解得222 2 /2 / 2 002( )r ar aeeeV redrdeaaa (2)电子的径向分布函数为( )w r22 100( )4w r drr dr 2222 / 10034( )4r aw rrr ea 对于最可几半径，并且，0r0( )0r rdw r dr022( )0r rd w r dr解得 。0ra7、 (10 分)设已知在的共同表象中，算符矩阵为zLL,2xL,(1)求的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵对角000200yiLiii hyL yL化;(2) 求的矩阵表示。xL 答答 (
7、1) 设的本征函数为，则的本征方程yL123ccc yL，即，112233000200icciiccicc h 1 2 30020iciicich这里 ， 2h000iiii解得：，所以的本征值依次为，。 12 20 32yLh0h时，经整理1 h1232020202iciiccih1212323222ciciccicicc ，同理得， 对角化11 1221i 211021 31 1221i 100000001yL h（2）根据,将矩阵形式带入，解得,yzxL Li L h0101012010xL h8、(10 分) (1)什么是全同性原理，全同性原理对体系波函数有何要求？(2)证 明电子具有
8、自旋的实验有哪些？自旋角动量有何特点？ 答答 （1）全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不引起体系物理状态的改变。 描写全同粒子体系的状态波函数只能是对称的或反对称的，而且其对称性（交换对称性） 不随时间改变。 （2）a、Stern-Gerlach 实验，基态（S 态）氢原子束，经过非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。b、塞曼效应。c、光谱的精细结构。自旋角动量满足与其他角动量相同的对易关系，且在任意方向投影只能取 SSi S h/2 两个值，自旋量子数 s 只有一个数值 1/2。h9、 （10 分）已知某表象中 Hamilton 量的矩阵形式120230001cHcc 和微扰
9、论方法中能级二级近似公式为 ，2 (2) (0)(0)|kn n knnkHEEE（1）讨论微扰法适用的条件， （2）设 c , |1 ,|2 ,.,|n,.则任意叠加态的能量为。nnc2 0 nnHcEE（2）试探波函数的选取原则： 根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；试探波函数要满足问题 的边界条件；为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些 参数称为变分参数；若体系 Hamilton 量可以分成两部分 H =H0 + H1，而 H0的本征函数 已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。 参考：，(x)是光滑连续的函数，关于 x = 2e 点对称；满足边界条2 2() ( )eex xA 件即当 |x| 时， 0；(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积 分，且有积分表可查。
