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1、 第 5 章 弯 曲 内 力5.1 平面弯曲的概念 弯曲（bending）是杆件的基本变形之一。如果杆件上作用有垂直于轴线的外力(通常称为横向力)或 作用有位于轴线所在平面内的力偶，使变形前原为直线的轴线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。凡是 以弯曲变形为主要变形的杆件，通常称为梁（beam）。在工程实际中，杆件在外载荷作用下发生弯曲变形的事例很多。例如，火车轮轴(图 5la)和桥式吊 车的大梁(图 5lb)在垂直于轴线的载荷F和G等作用下 均发生弯曲变形。 绝大多数受弯杆件的横截面都具有对称轴，如图 5 2a 中的点划线。因而，杆件具有对称面(图 52b 中的阴 影面)，杆的轴线包含在对称面内
2、。当所有外力(或者外力 的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯 曲成一条平面曲线，这种变形称为平面弯曲（plane bending）。图 51 所示的火车轮轴、吊车大梁都是平面 弯曲的实例。5.2 梁的计算简图各种机械和结构中受弯杆件的载荷和约束是比较复杂 的。进行强度、刚度计算时，必须抓住其本质因素，对构件作出简化，得出计算简图。下面分别讨论梁 上载荷和支座的简化。一、载荷的简化梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式： 1集中力 如上面提到的火车轮轴上的F (图 5la)、吊车大梁的 G(图 5lb)等，它们的分布范 围远小于轴线或大梁的长度，因此可以简化为集中力。集中力的常用单
3、位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。图5-1(a)(b)图5-4图5-2纵向对称面图5-32集中力偶 如图 53 所示的齿轮轴，作用于斜齿轮上的啮合力可以分解为切向力、径向力 FrtF和轴向力 Fx。如果只研究 Fx对轴的作用(图 53b)，则可将 Fx平移至齿轮中心，简化为一个轴向力 Fx和 一个在圆轴对称平面内的力偶矩 Me=Fxr (图 53c)，其中 r 为斜齿轮上啮合点到圆轴轴线间的垂直距离， Me称为集中力偶。常用单位为 N m 或。kN m3分布载荷 在梁的全长或部分长度上连续分布的横向力，可简化为沿轴线的分布载荷。如吊车大 梁的自重(图 51b)为均匀分布的分布载荷,分布载荷的大小
4、可用载荷集度 q 来表示。设梁段上分布载x 荷的合力为F(图 54)，则(51) 0lim xFqxVq 的常用单位为 Nm 或 kNm。二、支座的简化根据工程结构中的约束情况，梁的支座可简化为以下三种基本形式：1固定铰支座 图 55a 所示的汽车叠板弹簧，其右端只能产生绕销轴 B 的转动，而不能产生沿水 平或垂直方向的位移，因此，简化为固定铰支座。它的约束反力为水平反力 FBx、垂直反力 FBy。2可动铰支座 叠板弹簧的左端除了可以绕销轴 A 转动外，还可产生水平方向的微小位移。因此， 可以简化为可动铰支座，它只能产生铅垂方向的约束反力 FAy。 3固定端 图 56a 所示的工件，左端被卡盘
5、夹紧，在切削力作用下，左端截面既不能发生转动， 也不能产生水平和垂直方向的位移。这样的约束可以简化为固定端。它的约束反力除 FBx、FBy外，还有阻 止转动的反力偶 MA(图 56b)。 这里必须指出，理想的“自由转动”和“绝对固定”实际上是不存在的。如叠板弹簧与销轴之间就 存在着摩擦力，只是由于它产生的阻止端面转动的力偶很小，把它忽略了。 在工程实际中还有一些支座的简化并非如此典型。例如，图 57a 所示的齿轮轴，其两支承于轴承 上,当轴在传动力作用下发生变形时，左右端面将发生微小偏转。由于轴承本身存在着间隙，不能阻止这 种微小偏转，因而，可以简化为铰支座。左端的向心推力轴承能约束轴的径向和
6、轴向位移，可简化为固 定铰支座，而右端的滚柱轴承只能约束径向位移，则简化为可动铰支座(图 57b)。还有一些梁，支座的 简化是从整体的约束情况来分析的。如图 51a 所示的火车轮轴，它的两端均支承在铁轨上。若车轮凸 缘与铁轨内侧接触时，铁轨能限制轮轴沿轴线及其垂直方向的位移，而不能阻止车轴截面的转动。因此 铁轨对轮轴的约束可简化为固定铰，而另一端则简化为可动铰。这样的计算简图能与实际工况等效。三种支座形式的简图及其在平面内的反力，如图 58 所示。(a)(b)(b)(a)图5-6图5-5(a)(b)图5-7或(c)(b)(a)图5-8三、静定梁的基本形式经过对载荷及支座的简化，并以梁的轴线表示
7、梁，可以得出计算简图。图 5la、b 中分别画出了火 车轮轴和吊车大梁的计算简图。梁作平面弯曲时，所有作用于纵向对称面内的外力为一平面平衡力系，因而可建立三个独立的静力 平衡方程。如果梁上未知的支反力只有三个，则可通过静力平衡方程求解，这样的梁称为静定梁。常见 的静定梁有以下三种形式： 1。简支梁 一端为固定铰，另一端为可动铰的梁，称为简支梁（simple supported beam）。如吊 车大梁(图 51b)，叠板弹簧(图 55b)均为简支梁。两支座间的距离称为跨度。2外伸梁 当简支梁的一端或两端伸出支座之外，称为外伸梁（overhanding beam）。如火车轮轴 (图 5la)即为
8、外伸梁。3悬臂梁 一端固定、另一端自由的梁称为悬臂梁（cantilever beam）。被车削的工件(图 56b) 为悬臂梁。5.3 弯曲内力剪力和弯矩对于发生平面弯曲的梁，当作用在梁上的所有外力（包括载荷和支反力）均已知时，应用截面法可 以求出梁上任一横截面上所承受的力和力偶的大小以及方向， 这种梁内相连接部分之间的横截面上的力和力偶称为弯曲内 力，分别用符号 Fs和 M 表示。现以筒支梁为例，说明横截面上内力的计算方法和步骤。 图 59a 所示的简支梁，承受集中力 F1、F2和集中力偶 Me作 用，求 m-m 截面上的内力。首先根据整梁的静力平衡方程， 确定支反力 FAy和 FBy。然后按
9、截面法，采用假想的平面在 m- m 截面处将梁截开。在截开的横截面上，必须加上两段间相 互作用的内力 FS和 M。它们是大小相等、方向(或转向)相反 的两对内力(图 59b、c)。由于受弯杆件上的外力均垂直于 轴线，因此，mm 截面上的轴向力为零。由于 AB 梁处于平衡状态，所以截开后的左右两段仍应保 持平衡。现以左段梁为研究对象。在该段梁上，作用有内力 FS、M 和外力 F1和 FAy (图 59b)。将这些内力和外力在轴y 上投影，其代数和应为零，即，由此得0yF01SAyFFF(a)1FFFAyS若将左段梁上的所有外力和内力对 mm 截面的形心取矩，其代数和应为零，即，由此得0CM0)(
10、1xFaxFMAy(b)(1axFxFMAy由(a)、(b)两式可求得截面 mm 上的内力 FS和 M。内力 FS与横截面相切，称为 mm 面上的剪力，内力 M 位于梁的对称面内，称为 mm 面上的弯矩。 若取右段梁为研究对象(图 59c)，利用平衡方程所求得截面 mm 上的剪力 FS和弯矩 M，在数值上 与左段梁求得的结果相同，但方向相反。为了使截面左右两段梁上所求得的剪力和弯矩不但数值相等，而且符号也相同，必须联系变形现象 来规定它们的符号。为此，在截面 mm 两侧取出 dx 微段，在剪力和弯矩作用下的变形如图 510 所示， 剪力的符号规定为:使 dx 微段产生左端向上而右端向下剪切变形
11、的剪力，规定为正(图 510a)，反之为 负(图 510 b)。弯矩的符号规定为：使 dx 微段产生下凸变形的弯矩为正(图 510c)，使 dx 微段产生 上凸变形的弯矩为负(图 510d)。按照上述符号规定，图 59b、c 中的剪力 FS和弯矩 M 均为正值。下面举例说明如何用截面法计算梁在指定截面上的剪力和弯矩。 例 51 图 511 所示外伸梁，自由端受集中力 F 作用，在固定铰支座 A 截面处，受集中力偶 MA=Fl 作用。试计算 11、22、33 横截面的剪力和弯矩。22 截面无限接近于 A 端面，33 截面无限接 近于 D 端面，如图 511a 所示。 解：（1）计算支反力，由平衡
12、方程 ， 0AM02eByMlFlF(b)(a)(c)图5-9, 0BM0lFMlFeAy求得 ,2FFAyFFBy3FAy为负值，表示其方向与图示方向相反，而 FBy为正值，其方向与图示方向相同。经验算，梁上的支反 力与外载荷能满足的平衡条件，故计算结果是正确的。0yF(2)计算 1-1 截面的剪力和弯矩 在截面 11 处假想地切开，选择左段为研究对象(图 511 b)，并 假定 11 截面上的剪力 FS1和弯矩均为正。由平衡条件，求得截面 11 的剪力 FS1为1M0yFFFFAyS21由平衡条件=0(为 11 截面的形心)，求得截面 1-1 的弯矩为1CM1C1M021lFMMAye(3
13、)计算 22 和 33 截面的剪力和弯矩 。 在截面 2-2 处将梁假想地截开，选择左段为研究对象 (图 511c)，由平衡条件，求得截面 22 的剪力 FS2为0yFFFFAyS22由平衡方程=0(为截面 22 的形心)，当时，求得截面 22 的弯矩为2CM2C02MlFFMMAye2同理，假想地截开截面 33 后，选择右段作研究对象(图 511d)。由平衡条和0yF(为截面 33 的形心)，当时，求得 33 截面上的剪力 FS3和弯矩为03CM3C03MFFS303FM上例是利用截面左段梁或右段梁的静力平衡方程来求解剪力和弯矩的。实际上，梁的内力还可以由 另一种方法来求解。因为梁段要保持平
14、衡，截面上的剪力 FS和弯矩 M 必须与左段梁(图 511b、c)或右 段梁(图 511d)上所有外力和外力偶保持平衡。由此，可以得到下列两个规律：(1)横截面上的剪力，在数值上等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和；(2)横截面上的弯矩，在数值上等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。采用上述规律确定截面内力时，外力方向与内力符号存在如下关系：(1)确定剪力时，截面左侧梁段上向上的外力，或右侧梁段上向下的外力(即“左上右下”的外力)， 引起正的剪力，反之，引起负的剪力；(2)确定弯矩时，截面左侧梁段上外力对截面形心取矩为顺时针转向的，或右侧梁段上外
15、力对截面形 心取矩为逆时针转向的力矩(即“左顺右逆”的力矩)，引起正的弯矩，反之，引起负的弯矩。下面举例 说明。例 52 图 512 所示简支梁 AB，承受线性分布载荷，最大载荷集度，试求 C 截面的剪力和弯矩。0q解：(1)计算支反力 在计算支反力 FAy和 FBy时， 梁上载荷可用其合力来代替。合力的大小为 2，方向向下，作用线离支点 B 的距离为lq03，如图 512 中的虚线表示，根据平衡方程l, 0AM032 20llqlFBy和 , 0BM0320llqlFAy(c)(b)(a)(d)图5-10(a)(b)(c)(d)图5-11图5-12求得 （1）,60lqFAy30lqFBy它们的方向如图所示，经验算满足的平衡条件，故所求反力是正确的。0yF(2)计算 C 截面的剪力和弯矩 C 截面上的内力可以直接利用左侧梁段 AC 上的外力来确定。由于在 C点处梁上的载荷集度为，故在 AC 梁段上分布载荷的合力为alq0(2)laqaalq 2212 00其作用线到 C 截面的距离为3，方向向下，它使 C 截面引起负的剪力和负的弯矩。而左侧梁段上向上a 的支反力 FAy，使 C 截面引起正
